【解析】湖北省黄冈市麻城市2020届高三上学期10月月考数学(文)试题

高三数学考试（文科）
一、选择题:
1.若集合M ={x |-1<2-x ≤1}，N ={x |2<x <4}，则M ∪N =（ ） A. (
2.3] B. (2，3)
C. [1，4)
D. (1，4)
【答案】C 【分析】
先化简集合M ,在和N 取并集。

【详解】解：{|121}={|13}M x x x x =-<-≤≤<，{|24}N x x =<<，所以
{|14}M N x x =≤<U ,
故选C .
【点睛】本题考查集合的并运算，属于基础题。

2.命题“0x ∃∈(0，+∞)，2
0012x x +≤”的否定为（ ）
A. x ∀∈(0，+∞)，21x x +>2
B. x ∀∈(0，+∞)，212x x +≤
C. x ∀∈(-∞，0]，212x x +≤
D. x ∀∈(-∞，0]，21x x +>2
【答案】A 【分析】
根据特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【详解】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“0x ∃∈(0，+∞)，2
0012x x +≤”的
否定为“x ∀∈(0，+∞)，21x x +>2”， 故选：A ．
【点睛】本题考查命题的否定，注意特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题．
3.函数()ln ||f x x =的定义域为（） A. [)1,-+∞
B. [)()1,00,-⋃+∞
C. (],1-∞-
D.
()()1,00,-+∞U
【答案】B 【分析】
分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.
【详解】函数()ln ||f x x
∵3300x
x -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩
，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞U .
故答案选B
【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力 4.已知25a b m ==,现有下面四个命题:
P 1:若a b =,则1m =；2P :若10m =,则
11
1a b
+=； P 3:若a b =,则10m =；4P :若10m =,则111
+a b 2
=.
其中的真命题是（ ） A. 14,p p B. 12,p p
C. 23,p p
D. 34,p p
【答案】B 【分析】
根据实数指数幂的运算，可得1p 为真命题，根据对数的运算性质，可得命题2p 是正确的，即可求解.
【详解】由题意,当a b =，由25a b =，可得215a
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则0a =，此时1m =，所以1p 是真命题；
当10m =时，由25a b m ==，可得25log 10,log 10a b ==，则11
lg 2lg51a b
+=+=， 所以2p 是真命题. 故选：B
【点睛】本题考查指数幂与对数的运算的应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质，以
及对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算求解能力，属于基础题 5.若函数3
()f x ax x =-在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A. (-∞，3] B. (-∞，27] C. [3，十∞) D. [27，十
∞) 【答案】D 【分析】
对函数求导，可得极值点的横坐标，在结合函数图像，可得
33
a
≥，解出即可。

【详解】解：当0a ≤，时3
()f x ax x =-在[1，3]上单调递减，不符合题意，故0a >。

其图像如图，令2
'()30f x a x =-=，解得3a
x =，所以极值点E 3
a 又因为函数3
()f x ax x =-在[1，3]上单调递增， 33
a
≥，解得27a ≥; 故选D .
【点睛】本题考查函数的导函数及其单调性，属于基础题。

6.将曲线2sin 45y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲
线的一条对称轴方程为（ ）
A. 380x π
= B. 380x π=-
C. 320
x π=
D. 320
x π
=-
【答案】C
【分析】 根据2T π
ω
=
,横坐标伸长为原来的2倍,即周期T 变为原来的2倍，故ω变为原来的一半，可
得函数解+析式，再结合正切函数的对称轴，即可得解。

【详解】解：依题意得变换后的函数解+析式为2sin 25y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，令2()5
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈,解得3()202
k x k Z ππ=
+∈,再结合选项， 故选C .
【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+函数的伸缩变换，及其对称轴的求法，属于基础题。

7.下列不等式正确的是（） A. 3sin130sin 40log 4︒>︒> B. tan 226ln0.4tan 48︒<<︒ C. ()cos 20sin65lg11-︒<︒< D. 5tan 410sin80log 2︒>︒>
【答案】D 【分析】
判断每个式子与0,1的大小关系，排除A,B,C ，再判断D 选项得到答案. 【详解】∵3sin 401log 4︒<<
ln0.40tan 226<<︒，
()cos 20cos20sin70sin65-==>︒︒︒︒，
∴排除A ，B ，C
51
tan 410tan 501sin80log 22
︒=︒>>︒>
> 故答案选D .
【点睛】本题考查三角函数与对数的大小比较，考查推理论证能力
8.函数2
2cos ()x
x x f x e
-=在[]π,π-上的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A 【分析】
根据奇偶性排除C ，根据取值02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭
，()1f π>-排除B,D ，故选A 【详解】易知()f x 为偶函数，排除C
因为02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，22
x
322()1e e
f πππ++=->->-，所以排除B ，D 故答案选A .
【点睛】本题考查函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，考查推理论证能力
9.已知cos 270.891︒=)2cos72cos18︒+︒的近似值为（） A. 1.77 B. 1.78
C. 1.79
D. 1.81
【答案】B 【分析】
化简式子等于2cos27︒，代入数据得到答案.
【详解】
()cos72cos18sin18cos182********=+=︒+︒︒︒︒=︒+︒︒ )2cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，
)2cos72cos18︒+︒的近似值为1.78. 故答案选B
点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力
10.设函数1()ln 1x f x x x +=--，则“()0f a =”是“1
()0f a
=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【
详
解
】
解
：
1
1
1111
()0ln 0ln 0ln 0()01111a a a f a a a f a a a a
a
+++=⇔-=⇔--=⇔-=⇔=---
则“()0f a =”是“1
()0f a
=”的充要条件，
故选C .
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．
11.已知定义在R 上的
函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当
12x 剟时，3 ()2log (43)f x x x =++，则1609
()2
f =（）
A. 4-
B. 4
C. 5-
D. 5
【答案】C 【分析】
由()f x 的图象关于点(3,0)对称，则()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-， 则可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099()()22f f =，又9
()52
f =-， 即可得解.
【详解】解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又
()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，则
()(8)f x f x =+，
即函数()f x 的周期为8，所以160999
(
)(1008)()222
f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393
()()3log 952
2
f f =-=-+=-，
所以1609
(
)52
f =-， 故选C.
【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力.
12.已知函数()f x 的导函数()f x '
满足1()()f x x f x '++＞对[0,2]x ∈恒成立，且
(0)1f =-，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. 2
(1)2(2)e e ef e f ---+＜＜ B. 2
2(2)(1)e f ef e e -+--＜＜ C. 2
1(1)(2)e f e f ---+＜＜2 D. 2
2(2)(1)1e f f e -+--＜＜
【答案】A 【分析】 先构造函数()()x
f x x
g x e
+=
，结合已知条件得到'()0g x >对[0,2]x ∈恒成立，从而得到()g x 在区间[0,2]单调递增，最后通过(0)(1)(2)g g g <<，即可求得答案。

【
详
解
】
解
：
令
()()x
f x x
g x e +=
，则
[][]()
2()1()()()x x
x x 'f'x e f x x e f x x g'x e e +-++⎛⎫== ⎪⎝⎭[][]()1()x f'x f x x e +-+=，又因为'()f x 满足1()()f x x f x '++＞对[0,2]x ∈恒成立，所以'()g x 在区间[0,2]恒大于0，即
()g x 在区间[0,2]单调递增，故有(0)(1)(2)g g g << ，展开化简
得:2
(1)2(2)e e ef e f ---+＜＜， 故选A .
【点睛】本题考查了利用导函数判断原函数的
单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，使抽象问题变得迎刃而解，此题是中档题． 二、填空题
13.设函数2lg ,0()1,04x
x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭
⎩，则((10))f f -=________.
【答案】16 【分析】
直接代入数据得到答案.
【详解】2
((10))(2)416f f f -=-== 故答案为16
【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力
14.函数24cos y x x =+在,62ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的极________(填“大”或“小”)值点为________.
【答案】 (1). 大 (2). 6
π 【分析】
求得函数的
导数24sin y x '=-，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解. 【详解】由题意，函数24cos y x x =+，可得24sin y x '=-， 当,26x ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
时,0y '>，函数单调递增；当,62x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时,0y '<，函数单调递减，
所以函数24cos y x x =+在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的极大值点为6π.
故答案为：大， 6
π
【点睛】本题考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，熟记函数的极值的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 15.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价
格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x (2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x =________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____.
【答案】 (1). 10 (2). 18.5 【分析】
①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。

【详解】解： ①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付12070180x +-=元，则10x =. ②设顾客一次购买干果的总价为M 元，当0150M <<时，张军每笔订单得到的金额显然不
低于促销前总价的七折.当150M ≥时，0.8()0.7M x M -≥.即8M x …
对150M …恒成立，则8150x „，18.75x „，又2x ∈Z ,所以max 18.5x =.
【点睛】本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养.属于基础题。

16.
函数()f x =
________.
【答案】[]22-,
【分析】
对原函数进行化简得到()2sin(2)6
f x x π
=-+
，即可得到答案。

【详解】解：2sin(4)2sin(2)cos(2)
366()2sin(2)sin (2)362x x x f x x x πππ
πππ+++===⎡⎤-+-⎢⎥
⎣
⎦
2sin(2)cos(2)
662sin(2)6cos(2)6
x x x x ππ
ππ++=
=-+-+，所以[]()2,2f x ∈-. 故答案为[]22-,
【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式、辅助角公式，以及三角函数的值域，属于中档题。

三、解答题: 17.已知函数2()2x
x f x a
a a =-+(0a ＞且1a ≠)的图象经过点A (1.6).
(1)求()f x 的解+析式； (2)求()f x 的最小值. 【答案】（1）2()224x
x f x =-+；（2）
15
4。

【分析】
（1）将点的坐标带入到函数中即可得到2a =或3-（舍去）。

（2）利用换元法，再结合一元二次函数的性质，即可求解。

【详解】解：
（1）由题意得2(1)26f a a a =-+=，解得2a =或3-（舍去），故所求解+析式为
2()224x x f x =-+。

（2）令2,(0,)x
t t =∈+∞，得 2
2115()424f t t t t ⎛⎫=-+=-+
⎪⎝⎭
，当 12t = 时，()f t 取得
最小值
154，故()f x 的最小值为15
4。

【点睛】本题考查函数解+析式和函数最值，属于基础题。

18.已知函数3
()16f x x x =+-. (1)证明：()f x 有3个零点； (2)求()f x 在[-1，2]上的值域.
【答案】（1）证明见解+析；（2）4,1⎡⎤-⎣⎦
【分析】
（1）通过求导，证明函数的极大值大于0，极小值小于0，即可得证。

（2）求出函数在区间上的端点值和极值，进行比较，即可求得值域。

【详解】解：（1）2
()36f'x x =-+，令'()0f x =，解得x =
当(),2x ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减，当()
2,2x ∈-时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(
)
2,x ∈
+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，又函数的极大值为
(2)4210f =+>，函数的极小值为(2)1420f -=-<，故()f x 有3个零点。

（2）由（1）得：()f x 在[]1,2-上先增后减，所以max ()(2)421f x f ==+，[]min min ()(1),(2)4f x f f =-=-，所以()f x 在[-1，2]上的值域为4,421⎡⎤-+⎣⎦。

【点睛】本题考查利用导函数，来求函数零点的个数以及函数的值域，属于中档题。

19.已知函数()3sin()(,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的部分图象如图所示.
（1）求ω，ϕ； （2）若925f α⎛⎫=
⎪⎝⎭，5,36
a ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求sin α. 【答案】（1）2ω=，3
π
ϕ=-（2343
+ 【分析】
（1）根据图像得到πT =，22T π
ω=
=，代入点5,312π⎛⎫
⎪⎝⎭
得到3πϕ=-. （2）由（1）知，()3sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，代入数据化简得到3sin 35
πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，4cos 35πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦代入数据得到答案.
【详解】解；（1）由图可知3
534
1234
T πππ⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭
故πT =，则22T
π
ω=
= 又()f x 的图象过点5,312π⎛⎫
⎪⎝⎭，则5312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，得5sin 16⎛⎫
+= ⎪⎝⎭πϕ. 而||2
ϕπ<
，所以3π
ϕ=-
（2）由（1）知，()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，则
93sin 235f απα⎛⎫⎛
⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
则3sin 35
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭ 因为5,36ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭，所以0,32ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以sin sin sin cos cos sin 333333ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
1343252510
+=⨯+=
. 【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中sin sin 33ππαα⎡⎤
⎛
⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
是解题的关键.
20.已知函数()sin x
f x e x =+.
(1)求曲线()y f x =在点(0，(0)f )处的切线方程； (2)证明:()cos f x x ＞对x ∈(0，+∞)恒成立. 【答案】（1）21y x =+；（2）证明过程见解+析。

【分析】
（1）由题意，求出导函数，得切线斜率，再根据函数，得到切点，即得答案。

（2）分段求解，当02
x π
<<
时，sin cos 0x e x x +->，当2
x π
≥
时，2x e e >>，得
04x e x π⎛
⎫+-> ⎪⎝
⎭，即可求证。

【详解】解：（1）()cos x
f'x e x =+，所以切线的斜率(0)2k f'==，又因为(0)1f =,所以
曲线()y f x =在点(0, (0))f 处的切线方程为21y x =+。

（2）令()sin cos x
g x e x x =+-，当02
x π
<<
时，1cos x e x >>，所以cos 0x e x ->，又
sin 0x >，所以()sin cos 0x g x e x x =+->，
当2x π
≥
时，2x e e >>
，sin cos 4x x x π⎛
⎫⎡-=-∈ ⎪⎣⎝
⎭，
所以()sin cos 204x
g x e x x x π⎛
⎫
=+->-
> ⎪⎝
⎭
，综上所述，命题得证。

【点睛】本题考查导函数求切线方程以及恒成立问题，属于中档题。

21.将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝
⎭
的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
<≤
⎪⎝
⎭
个单位长度后得到()f x 的图象.
（1）若()f x 为偶函数，tan 2α>，求()f α的取值范围.
（2）若()f x 在7,
6
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是单调函数，求ϕ的取值范围. 【答案】（1）113,5⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭（2）,62ππϕ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）化简得到()2sin 216g x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭，得到()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫
=++- ⎪⎝⎭
，根据偶函数得到6π=
ϕ，化简得到24
()31tan f αα
=
-+，代入数据得到答案. （2）计算2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，根据单调性得到262
02π
πϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤
⎪⎩
，计
算得到答案. 【详解】解：（1）
1()4sin sin 2(1cos 2)2sin 21226g x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴()2sin 2216f x x π
ϕ⎛
⎫=+
+- ⎪⎝
⎭
又()f x 为偶函数，则
2()6
2
k k π
π
ϕπ+=
+∈Z ，∵02
π
ϕ<≤
，∴6
π
=
ϕ ∴()()222222
2cos sin 21tan ()2sin 212cos 21112cos sin 1tan x x x f x x x x x x π--⎛⎫=+-=-=-=- ⎪++⎝
⎭ ∵tan 2α>，∴224411
()331tan 125
f αα=
-<-=-++
又2
4()331tan f αα=
->-+，∴()f α的取值范围为113,5⎛
⎫-- ⎪⎝⎭. （2）∵7,
6
x ππ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭
∵02π
ϕ<≤
，∴72,666π
ππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤
+∈ ⎥⎝⎦
∵()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭上是单调函数，∴26202π
πϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤
⎪⎩
∴,62ππϕ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和对于三角函数公式性质的灵活运用. 22.已知函数2
21()2ln (0)2
f x ax x a x a =
-+≠. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)当13a =时，设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明:
1212
12()()11f x f x x x x x -+-＜. 【答案】（1）详见解+析（2）证明见解+析。

【分析】
（1）利用导函数分子的判别式分情况讨论，即可，注意参数0a <时，函数图像开口也会发生相应的变化。

（2）利用对数平均不等式，证明即可。

【
详解】解：（1）22222()1(0)a ax
x a f'x ax a x
x
-+=-+=≠，(0,)x ∈+∞，
对于一元二次方程2202ax x a -=+，318a ∆=- ， ①当
0∆≤时，即1
2
a ≥
时，2202ax x a -=+无解或一个解， 有(0,)x ∈+∞
时，'()0f x ≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增，
②当>0∆时，即1
2
a <
时，2202ax x a -=+有两个解， 其解为
12x a ±=， 当102a <<时，102x a ±=>，
故在102x a << 及
x >'()0f x >
x <
时，'()0f x <，即()f x
在及)+∞上单调递增，在上单调递减，当0a <时，一个实根小于0，一个实根大于0，所以在102x a -<<时，'()0f x >，
在12x a >，'()0f x <，即()f x 在(0,)1 2a
-上单调递增，在
(12)a
+∞上单调递减。

综上所述：即1
2
a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当102a <<时，即()f x 在(0,)1 2a
-及(
1,2)a +∞上单调递增，在上单调递减；当0a <时，()f x 在上单调递增，
在)+∞上单调递减。

（2）当13a =时，22()ln 691f x x x x =-+，2392
()9x x f'x x
-+=，又因为()f x 的两个极值
点为1x ，2x ，则1x ，2x 是方程23920x x -+=的两实数根，12122
3,,3
x x x x +==
设12x x >。

121212*********()()()ln ln )2(()()69=x x x x x x f x x x f x x x x x -++------12212(12
n ln 9l )
x x x x ---= 又因为121212119
2x x x x x x ++==，故要证121212
()()11f x f x x x x x -+-＜， 只需证2121ln ln )
2
2
(1992x x x x -<--，
只需证21212
l n 5
l 4n x x x x <--，
只需证
12
1212ln ln 0)x x x x x x -<>>-，
下面证明不等式
12
12
ln ln x x x x -<-12
0x x >>
，要证1212
ln ln x x x x -<-，即
证12ln ln x x -<
1
2
ln
x x <
，令1)t t =>，设()12ln (1)f t t t t t =-+>，则()()22212110t f t t t t
-+'=--=<，所以，函数()f t 在()1,+∞上递减，而()10f =，因此当1t > 时，()1
2ln 0f t t t t
=-+<恒成立，
即
12ln x x <
成立，即
12
1212ln ln 0)x x x x x x -<>>-成立，
所以12122l n ln 45
x x x x <=<
--，得证。

【点睛】本题考查利用导函数讨论、求解带参函数的单调性，以及证明不等式，属于难题。