南宫市第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

南宫市第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 若为纯虚数，其中R
，则
（ ）(z a ai =+∈a 7
i 1i
a a +=+A ． B ． C ． D
．i 1i -
1
-2． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（
）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
3． 下列4个命题：
①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”；②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2；其中正确命题的个数是（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4． 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大,A B
O 60AOB ∠=︒C O ABC -值为，则球的体积为（
）
O A ． B ． C ． D ．81π128π144π288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
5． 设直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2的三个交点分别为A （a ，t ），B （b ，t ），C （c ，t ），且a ＜b ＜c ．现给出如下结论：
①abc 的取值范围是（0，4）；②a 2+b 2+c 2为定值；③c ﹣a 有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
6． 已知复数,，,是虚数单位，若是实数，则（ ）
11i z a =+232i z =+a ∈R i 12z z a = A ． B ． C ．
D ．2
3
-
1
3
-
1
3
23
7． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（
）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（，﹣3，﹣2
）
8． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ）
A ．命题p 一定是假命题
B ．命题q 一定是假命题
C ．命题q 一定是真命题
D ．命题q 是真命题或假命题
9． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
　10．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为
（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π1492+π1482+π2492+π
2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的
运用，难度中等.
11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ﹣2）=f （x+2），当0＜x ＜2时，f （x ）=1﹣log 2（x+1），则当0＜x ＜4时，不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（ ）
A ．（0，1）∪（2，3）
B ．（0，1）∪（3，4）
C ．（1，2）∪（3，4）
D ．（1，2）∪（2，3）
12．若多项式 x 2+x 10=a 0+a 1（x+1）+…+a 8（x+1）8+a 9（x+1）9+a 10（x+1）10，则 a 8=（ ）
A ．45
B ．9
C ．﹣45
D ．﹣9
二、填空题
13．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．14．设集合 ,满足
{
}{
}
2
2
|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,,求实数__________.
A B =∅I {}|52A B x x =-<≤U a =15．已知函数，且，则，的大小关系()f x 2
3(2)5x =-+12|2||2|x x ->-1()f x 2()f x 是 ．
16．曲线C 是平面内到直线l 1：x=﹣1和直线l 2：y=1的距离之积等于常数k 2（k ＞0）的点的轨迹．给出下列
四个结论：
①曲线C 过点（﹣1，1）；②曲线C 关于点（﹣1，1）对称；
③若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则|PA|+|PB|不小于2k ；
④设p 1为曲线C 上任意一点，则点P 1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P 1、P 2、P 3，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值4k 2．其中，所有正确结论的序号是 ．　
17．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5
，则复数ω= ．
18．已知向量、
满足
，则|+|= ．
三、解答题
19．如图，在四棱柱中，
底面
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
；
（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若
，判断直线
与平面
是否垂直？并说明理由．
20．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数，其中，是()()
2x f x x ax a e =++a R ∈e 自然对数的底数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；1a =()y f x =0x =（2）求函数的单调减区间；
()f x （3）若在恒成立，求的取值范围.
()4f x ≤[]4,0-a 21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，若存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *都成立．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a ，b ，使得{S n }成等比数列？若存在，求出常数a ，b 的值，若不存在，请说明理由．
22．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其中a ＜c ，f （A ）=，且a=，b=，求△ABC
的面积．
23．（本题满分15分）
正项数列满足，．
}{n a 12
12
23+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；
*
N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．
}{n a n n S *
N n ∈32
121
<≤-
-n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为，
．
（1）求tan （α+β）的值； （2）求2α+β的值．
南宫市第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】∵为纯虚数，∴z a =
∴
．7i 3i
i 1i 3
a a +-====-+2． 【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x 的图象上．故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．　
3． 【答案】C
【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”，①正确；
②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确；③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，
由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C ．　
4． 【答案】D
【解析】当平面平面时，三棱锥的体积最大，且此时为球的半径．设球的半径为
OC ⊥AOB O ABC -OC
，则由题意，得，所以球的体积为，故选D ．
R 211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =34
2883
R π=π5． 【答案】C
【解析】解：令f （x ）=x （x ﹣3）2=x 3﹣6x 2+9x ，f ′（x ）=3x 2﹣12x+9，令f ′（x ）=0得x=1或x=3．当x ＜1或x ＞3时，f ′（x ）＞0，当1＜x ＜3时，f ′（x ）＜0．
∴f （x ）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f （x ）取得极大值f （1）=4，当x=3时，f （x ）取得极小值f （3）=0．作出函数f （x ）的图象如图所示：
∵直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2有三个交点，∴0＜t ＜4．
令g （x ）=x （x ﹣3）2﹣t=x 3﹣6x 2+9x ﹣t ，则a ，b ，c 是g （x ）的三个实根．∴abc=t ，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2﹣2（ab+bc+ac ）=18．
由函数图象可知f （x ）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c ﹣a 的值先增大后减小，故c ﹣a 存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C ．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．　
6． 【答案】A
【解析】，1232(32)i z z a a =-++∵是实数，∴，∴．12z z 320a +=23
a =-7． 【答案】C
【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．　
8． 【答案】D
【解析】解：∵命题“p 或q ”真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p ”也是假命题，∴命题p 为真命题．故命题q 为可真可假．故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．　
9． 【答案】 A
【解析】解：考虑当向高为H 的水瓶中注水为高为H 一半时，注水量V 与水深h 的函数关系．如图所示，此时注水量V 与容器容积关系是：V ＜水瓶的容积的一半．对照选项知，只有A 符合此要求．
故选A．
【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
10．【答案】A
11．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），
∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，
又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），
故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，
由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．　
12．【答案】A
【解析】解：a 8 是 x 10=[﹣1+（x+1）]10的展开式中第九项（x+1）8 的系数，
∴a 8=
=45，
故选：A ．
【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．　
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得10×2＋×c ＝200，∴c ＝4.
10×92
答案：4
14．【答案】7
,32
a b =-=【解析】
考
点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学
生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.
15．【答案】]
12()()f x f x 【解析】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
16．【答案】　②③④　．
【解析】解：由题意设动点坐标为（x ，y ），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y ﹣1|=k 2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x 被﹣2﹣x 代换，y 被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；对于③，由题意知点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y ﹣1|
∴|PA|+|PB|≥2=2k ，③正确；
对于④，由题意知点P 在曲线C 上，根据对称性，
则四边形P 0P 1P 2P 3的面积=2|x+1|×2|y ﹣1|=4|x+1||y ﹣1|=4k 2．所以④正确．
故答案为：②③④．
【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．
17．【答案】　±（7﹣i ）　．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴
．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b 代入化为b 2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i ）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．　
18．【答案】　5　．
【解析】解：∵=（1，0）+（2，4）=（3，4）．
∴==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】垂直平行
【试题解析】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面，底面，
所以．
又因为，，
所以平面．
又因为底面，
所以．
（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直．
证明：假设平面，
由平面，得．
由棱柱中，底面，
可得，，
又因为，
所以平面，
所以．
又因为
，所以平面，所以
．这与四边形为矩形，且矛盾，故直线与平面不垂直．
20．【答案】（1）（2）当时，无单调减区间；当时，的单调减区间
210x y -+=2a =()f x 2a <()f x 是；当时，的单调减区间是.（3）()2,a --2a >()f x (),2a --244,4e ⎡⎤-⎣⎦
【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极
()4f x ≤值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为，()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦当时，，所以无单调减区间.2a =()()2
'20x f x x e =+≥()f x 当即时，列表如下：
2a ->-2a <所以的单调减区间是.
()f x ()2,a --当即时，，列表如下：2a -<-2a >()()()'2x
f x x x a e =++
所以的单调减区间是.
()f x (),2a --综上，当时，无单调减区间；
2a =()f x 当时，的单调减区间是；
2a <()f x ()2,a --当时，的单调减区间是.
2a >()f x (),2a --（3）.()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦
当时，由（2）可得，为上单调增函数，
2a =()f x R 所以在区间上的最大值，符合题意.
()f x []4,0-()024f =≤当时，由（2）可得，要使在区间上恒成立，2a <()4f x ≤[]4,0-只需，，解得.()04f a =≤()()2244f a e
--=-≤2442e a -≤<当时，可得，.24a <≤()4a a f a e
-=≤()04f a =≤设，则，列表如下：()a a g a e =()1'a a g a e
-=
所以，可得恒成立，所以.()()max 114g a g e ⎡⎤==
<⎣⎦4a a e
≤24a <≤当时，可得，无解.4a >()04f a =≤综上，的取值范围是.
a 244,4e ⎡⎤-⎣⎦21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，
存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *都成立，
由题意得当n=1时，（1﹣a ）b=b ﹣a 2，∴a 2=ab=aa 1，
当n ≥2时，（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1，（1﹣a ）S n+1=b ﹣a n+1，
两式作差，得：a n+2=a •a n+1，n ≥2，
∴{a n }是首项为b ，公比为a 的等比数列，
∴．
（Ⅱ）当a=1时，S n =na 1=nb ，不合题意，
当a ≠1时，，
若，即，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a，b，使得{S n}成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（﹣）=π，
∴ω==2，
又x=时，2×+φ=+2kπ，得φ=2kπ﹣，（k∈Z）
又∵|φ|＜，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（2x﹣）…6分
（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣）=，
∵a＜c，
∴A为锐角，
∴2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，得A=，
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣2，即：c2﹣3c﹣4=0，
∵c＞0，∴解得c=4．
∴△ABC的面积S=bcsinA==…12分
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．
23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
24．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：．∵α，β为锐角，∴．
∴．∴．
（2）∵，∴
．
∵α，β为锐角，∴，
∴．。