[试卷合集3套]长沙市某实验中学2021年九年级上学期数学期末调研试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，若AB=4，=22AC ，则O 到AC 的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
【答案】C 【分析】连接OC ，BC,过点O 作OD ⊥AC 于D ，可得OD//BC ，利用平行线段成比例可知
12AD AO AC AB == 和AD=122AC =，利用勾股定理，可得2
22AD OD OA ，列出方程
222(2)2OD +=， 即可求出OD 的长.
【详解】解：连接OC ，BC,过点O 作OD ⊥AC 于D ，
∴∠ADO=90°，
∵AB 为O 的直径，AB=4，=22AC ，
∴∠ACB=90°，OA=OC=
122
AB =， ∴OD//BC， ∴
12
AD AO AC AB ==， ∴AD=122AC = 在t R ADO ∆中，2
22AD OD OA ，
∴2222)2OD +=，
解得2；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了平行线段成比例，勾股定理，掌握平行线段成比例，勾股定理是解题的关键.
2．若关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）
A ．-1
B ．-3
C ．3
D ．6 【答案】C
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．
【详解】∵关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，
∴()()22424120b ac a =-=--⨯⨯-=，
解得：3a =．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 【答案】B
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22sin 0x x a -+=有两个相等的实数根，
∴△=()224sin 0α--=，解得：sinα=12
，∵α为锐角，∴α=30°．故选B ． 4．如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =（ ）
A ．12
B ．22
C 31
D 21
【答案】D
【分析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，根据正方形的性质得到
2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，根据折叠的性质得到∠EDF ＝∠CDF ，设OM ＝PM ＝x ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，
∵ 2 ，
∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ 2 ,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM,
设OM ＝PM ＝x
∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD
∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO,
∴△CMP ∽△COQ ∴MP CM OQ CO =, 121x -= ， 解得x 2－1
∴OM ＝PM 2－1.
故选D
【点睛】
此题考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线
5．若关于x 的方程260x mx +=+的一个根是2x =﹣，则m 的值是（ ）
A ．5
B ．6-
C ．2
D ．5-
【答案】A
【分析】把2x =﹣代入方程，即可求出m 的值.
【详解】解：∵方程260x mx +=+的一个根是2x =﹣，
∴2(2)260m --+=，
∴5m =，
故选：A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤.
6．若不等式组11324x x x m
+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（ ）
A ．2m ≤
B ．2m <
C ．2m ≥
D ．2m > 【答案】A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．
【详解】解不等式1132
x x +<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A ．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B 、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C 、不中心对称图形，故本选项不合题意；
D 、不中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．
8．若a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=5cm ，b=2.5cm ，c=10cm ，则线段d 的长为（ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．
【详解】已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb ，
代入a=5cm ，b=2.5cm ，c=10cm ，
解得：d=5.
故线段d 的长为5cm.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查成比例线段，解题突破口是根据定义ad=cb ，将a ，b 及c 的值代入计算.
9．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．（x+1）（x+2）=18
B ．x 2﹣3x+16=0
C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18
D ．x 2+3x+16=0
【答案】C 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =1．
故选C ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（ ）
A ．3.2
B ．2
C ．1.2
D ．1
【答案】C
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=22
68
+=10，
由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB=90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴AF DF
AB BC
=，即
4
108
DF
=，解得：DF=2.1．
∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．
故选：C．
【点睛】
本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题
11．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC
∆相似的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比
相等判定两个三角形相似，由此得到答案.
【详解】如图，22
3110
AB=+=，AC=2，22
212
BC=+=, A、三边依次为：22，5，1，
∵
102
1
225
≠≠，∴A选项中的三角形与ABC
∆不相似；
B、三边依次为：5、2、1，
∵102
1
52
==，∴B选项中的三角形与ABC
∆相似；
C、三边依次为：3、5、2，
∵102
352
≠≠，∴C选项中的三角形与ABC
∆不相似；
D、三边依次为：13、5、2，
∵102
2
135
≠≠，∴D选项中的三角形与ABC
∆不相似；
故选：B.
【点睛】
此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.
12．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则满足4
ac≤的概率为()
A．1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】C
【分析】根据题意列出树状图，得到所有a、c的组合再找到满足4
ac≤的数对即可．【详解】如图：符合4
ac≤的共有6种情况，
而a、c的组合共有12种，
故这两人有“心灵感应”的概率为61 122
=．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．为估计全市九年级学生早读时间情况，从某私立学校随机抽取100人进行调查，在这个问题中，调查的样本________（填“具有”或“不具有”)代表性.
【答案】不具有
【分析】根据抽取样本的注意事项即要考虑样本具有广泛性与代表性，其代表性就是抽取的样本必须是随机的，以此进行分析．
【详解】解：要估计全市九年级学生早读时间情况，应从该市所以学校九年级中随机抽取100人进行调查，所以在这个问题中调查的样本不具有代表性.
故此空填“不具有”.
【点睛】
本题考查抽样调查的可靠性，解题时注意：样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
14．如图，ABC 的顶点均在O 上，4,30AB C =∠=︒，则O 的半径为_________．
【答案】1
【分析】连接AO,BO ，根据圆周角的性质得到60AOB ∠=︒,利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】连接AO,BO ，
∵30C ∠=︒
∴60AOB ∠=︒
又AO=BO
∴△AOB 是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1
即O 的半径为1
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．
15．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得 1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．
【答案】10.5
【解析】先证△AEB ∽△ABC ，再利用相似的性质即可求出答案.
【详解】解：由题可知，BE ⊥AC ，DC ⊥AC
∵BE//DC ，
∴△AEB ∽△ADC ， ∴BE AB CD AC
=， 即：1.2 1.61.612.4
CD =+， ∴CD ＝10.5（m ）.
故答案为10.5.
【点睛】
本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.
16．若a 是方程22410x x --=的一个根，则式子2201924a a +-的值为__________．
【答案】1
【分析】将a 代入方程中得到2241a a -=，将其整体代入2201924a a +-中，进而求解．
【详解】由题意知，22410a a --=，即2241a a -=，
∴2201924201912020a a +-=+=，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．
17．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，
，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.
【答案】（1，2）
【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12
），即（1，2）．故答案为（1，2）． 18．已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．
【答案】1．
【分析】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，则DM=DE=2，在Rt △OEF 中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt △DMF 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．
【详解】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，如图所示．
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴DM ＝DE ＝2．
在Rt △OEF 中，∠OEF ＝90°，∠EOF ＝60°，
∴∠OFE ＝30°，即∠DFM ＝30°．
在Rt △DMF 中，∠DMF ＝90°，∠DFM ＝30°，
∴DF ＝2DM ＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°
角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
【答案】（1）60°；（2）41
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=1，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=1．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=2．
∵∠BOC=120°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=2222
AD OD
+=+=．
4541
【点睛】
本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.
20．装潢公司要给边长为6米的正方形墙面ABCD进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形MNPQ，用材料乙进行装潢）．
两种装潢材料的成本如下表：
设矩形的较短边AH 的长为x 米，装潢材料的总费用为y 元．
（1）MQ 的长为 米（用含x 的代数式表示）；
（2）求y 关于x 的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于2米时，预备资金1760元购买材料一定够用吗？请说明理由．
【答案】（1）（6﹣1x ）；（1）y ＝﹣40x 1+140x+2；（3）预备资金4元购买材料一定够用，理由见解析
【分析】（1）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；
（1）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；
（3）利用二次函数的性质和最值解答即可．
【详解】解：（1）∵AH=GQ=x ，AD=6，
∴MQ=6-1x ；
故答案为：6-1x ；
（1）根据题意，得AH ＝x ，AE ＝6﹣x ， S 甲＝4S 长方形AENH ＝4x （6﹣x ）＝14x ﹣4x 1，
S 乙＝S 正方形MNQP ＝（6﹣1x ）1＝36﹣14x+4x 1．
∴ y ＝50（14x ﹣4x 1）+40（36﹣14x+4x 1）＝﹣40x 1+140x+2．
答：y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣40x 1+140x+2．
（3）预备资金4元购买材料一定够用．理由如下：
∵y ＝﹣40x 1+140x+2＝﹣40（x －3）1+1800，
由﹣40＜0，可知抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大．
由x －3=0可知，抛物线的对称轴为直线x=3．
∴ 当x ＜3时，y 随x 的增大而增大．
∵ 中心区的边长不小于1米，即6﹣1x≥1，解得x≤1，又x ＞0，∴0＜x≤1．
当x=1时，y ＝﹣40（x －3）1+1800=﹣40（1－3）1+1800=4，
∴ 当0＜x≤1时，y≤4．
∴ 预备资金4元购买材料一定够用．
答：预备资金4元购买材料一定够用．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求最值和正方形的性质等知识，正确得出各部分的边长是解题关键．
21．计算:
(1)()3122;x x x -=-
(2)23740x x -+=
【答案】 (1)1221,3x x ==-;(2) 1241,3
x x == 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解:()()3121x x x -=-
()()31210x x x -+-=
()()3210x x ∴+-=.
320x ∴+=或10x -=
解之: 1221,3
x x ==- （2）解:将原方程整理为:
()()3410x x --=
10x ∴-=或340x -=，
解之: 1241,3
x x ==
【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22．关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0
（1）求出方程的根；
（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【答案】（1）∴12m 1x x 1m 1+=
=-，． （2）ｍ=2或3 ．
【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．
（2）利用（1）中x 的值来确定m 的值．
【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，
△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，
∴()()
122m 2m 12m 2x x 12m 1m 12m 1++-====---，． （2）由（1）知1m 12x 1m 1m 1
+=
=+--， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 1-是正整数． ∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．
考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．
23．如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在-起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图，
(1)在图①中画一个60的角，使点C 或点E 是这个角的顶点，且以CE 为这个角的一边：
(2)在图②画一条直线AP ，使得//AP CE ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】(1)连接CF,EF ，得到△ECF 为等边三角形，即可求解：
(2)连接CF,BD ，交点即为P 点，再连接AP 即可.
【详解】() 1FCE ∠或FEC ∠即为所求；
()2直线AP 即为所求.
【点睛】
此题主要考查四边形综合的复杂作图，解题的关键是熟知正方形、等边三角形的性质.
24．为了测量山坡上的电线杆PQ 的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A 处测得信号塔顶端P 的仰角是45°，信号塔底端点Q 的仰角为30°，沿水平地面向前走100米
到B 处，测得信号塔顶端P 的仰角是60°，求信号塔PQ 得高度．
【答案】100米
【分析】延长PQ 交直线AB 于点M ，连接AQ ，设PM 的长为x 米，利用锐角三角函数即可求出x ，再利用锐角三角函数即可求出QM ，从而求出结论．
【详解】解：延长PQ 交直线AB 于点M ，连接AQ ，如图所示：
则∠PMA ＝90°，
设PM 的长为x 米，
在Rt PAM 中，∠PAM ＝45°，
∴AM ＝PM ＝x 米，
∴BM ＝x ﹣100（米），
在Rt PBM 中，
∵tan ∠PBM PM BM
=
， ∴tan60°3100x x ==- 解得：x ＝50（33，
在Rt QAM 中，
∵tan ∠QAM QM AM
=， ∴QM ＝AM •tan ∠QAM ＝50（33tan30°＝5031）（米），
∴PQ ＝PM ﹣QM ＝100（米）
答：信号塔PQ 的高度约为100米．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． 25．如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB ＝6m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC ＝4m （1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影．
（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为9m ，请你计算DE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）13.5m.
【分析】（1）直接利用平行投影的性质得出答案；
（2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为9m，
∴6
4＝
DE
9
，
解得：DE＝13.5m，
答：DE的长为13.5m．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质.
26．一名大学毕业生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为80元/件，经市场调查发现，该产品的日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间满足一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W(单位：元)与销售单价x之间的函数关系式，并求出每件销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）这名大学生计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价
仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【答案】（1）5600y x =-+(80120x ≤≤)；（2）25100048000W x x =-+-，每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元；（3）该产品的成本单价应不超过65元．
【分析】（1）设y 与x 之间的函数解析式为：y ＝kx ＋b ，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设产品的成本单价为b 元，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+．
由图象，得85175,95125.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得5,600.
k b =-⎧⎨=⎩ 即y 关于x 的函数解析式是5600y x =-+(80120x ≤≤)．
（2）根据题意，得
()()()2
2560080510004800051002000W x x x x x =-+-=-+-=--+，
∴当100x =时，W 取得最大值，此时2000W =．
即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元．
（3）设科技创新后成本为b 元．
当90x =时，()()590600903750b -⨯+-≥．
解得65b ≤．
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数和一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 27．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直半径OA ，C 为垂足，DE ＝6，连接DB ，30B
，过点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M ．
（1）求的半径；
（2）求证：EM 是⊙O 的切线；
（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠APD ＝45°时，求图中阴影部分的面积．
【答案】⑴ OE ＝3；⑵ 见详解 ⑶36π-
【分析】（1） 连结OE,根据垂径定理可以得到AD AE =，得到∠AOE =60º，OC=
12
OE ，根据勾股定理即可求出. （2） 只要证明出∠OEM=90°即可，由(1)得到∠AOE =60º，根据EM ∥BD ，∠B=∠M=30°，即可求出. （3） 连接OF,根据∠APD ＝45°，可以求出∠EDF ＝45º，根据圆心角为2倍的圆周角，得到∠BOE ，用扇形OEF 面积减去三角形OEF 面积即可.
【详解】（1）连结OE
∵DE 垂直OA ，∠B=30°∴CE ＝
12
DE ＝3，AD AE = ∴∠AOE ＝2∠B=60º，∴∠CEO=30°，OC=12OE
由勾股定理得OE ＝（2） ∵EM ∥BD ，
∴∠M ＝∠B ＝30º，∠M+∠AOE=90º
∴∠OEM ＝90º，即OE ⊥ME ，
∴EM 是⊙O 的切线
（3）再连结OF ，当∠APD ＝45º时，∠EDF ＝45º， ∴∠EOF ＝90º
S 阴影＝((221142π- ＝36π- 【点睛】
本题主要考查了圆的切线判定、垂径定理、平行线的性质定理以及扇形面积的简单计算，熟记概念是解题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，⊙O 外接于△ABC ，AD 为⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
【答案】D 【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD 为⊙O 的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC ，通过计算即可求出结果．
【详解】解：∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=30°，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC 和∠DCA 的度数．
2．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．20°
【答案】B 【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.
【详解】解：连接AD ，
∵AB 为O 的直径，
∴90ADB ∠=︒．
∵40BCD ∠=︒，
∴40A BCD ∠=∠=︒，
∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
3．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）
A ．65°
B ．50°
C ．30°
D ．25°
【答案】D 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，1252
A BOC ∠=∠=︒， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．如图，要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A ．A
B =AD 且A
C ⊥B
D B ．AB =AD 且AC =BD C ．∠A =∠B 且AC =BD D ．AC 和BD 互相垂直平分
【答案】B
【解析】解：A ．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD 是正方形；
B ．根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD 是正方形；
C ．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABC
D 是矩形，不能判断四边形ABCD 是正方形；
D ．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD 是正方形．
故选B ．
5．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，过对角线交点O 作EF AC ⊥交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是( )
A ．1
B ．74
C ．2
D ．125
【答案】B 【分析】连接CE ，由矩形的性质得出90ADC ∠=，6CD AB ==，8AD BC ==，OA OC =，由线段垂直平分线的性质得出AE CE =，设DE x =，则8CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】如图：连接CE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴90ADC ∠=，6CD AB ==，8AD BC ==，OA OC =，
∵EF AC ⊥，
∴AE CE =，
设DE x =，则8CE AE x ==-，
在Rt CDE ∆中，由勾股定理得：()22268x x +=-，
解得：74x =
， 即74
DE =；
故选B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6．一元二次方程240
x-=的解是（）
A．2-B．2C．2
±D．2±
【答案】D
【分析】这个式子先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．
【详解】移项得，x2=4
开方得，x=±2，
故选D．
【点睛】
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
7．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.
8．某人从A处沿倾斜角为α的斜坡AB前进600米到B处，则它上升的高度BC是（）
A．600sinα米B．
600
sinα
米C．600cosα米D．
600
cosα
米
【答案】A
【分析】利用坡角的正弦值即可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=α，AB=600， ∴sinα=600BC BC AB =， ∴BC=600sinα． 故选A ． 【点睛】 此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键． 9．我们把宽与长的比等于黄金比512⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
的矩形称为黄金矩形.如图，
在黄金矩形ABCD (AB <)BC 中，ABC ∠的平分线交AD 边于点E ，EF BC ⊥于点F ，则下列结论错误．．
的是（ ）
A ．AE BE AD AE =
B ．CF BF BF B
C = C ．AE BE BE BC =
D ．D
E AB E
F BC
= 【答案】C
【分析】设()51AB a =-，则2AD a =，根据黄金矩形的概念结合图形计算，据此判断即可．
【详解】因为矩形ABCD 宽与长的比等于黄金比
512-， 因此，设()
51AB a =-，则2AD a =， 则选项A.512AE DE AD AE -==，B.512CF BF BF BC -==，D.512
DE AB EF BC -==正确， C.选项中等式
22AE BE =，1022BE BC -= ， ∴AE BE BE BC
≠； 故选：C.
【点睛】
51-是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，对于二次函数()2
21y x =-+，下列说法中错误的是（ ）
A ．y 的最小值为1
B ．图象顶点坐标为()21，，对称轴为直线2x =
C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而增大
【答案】C
【分析】根据()221y x =-+，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，进行判断选择即可.
【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，所以答案选C.
【点睛】
本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键. 11．关于x 的方程22370x x +-=的根的情况，正确的是（ ）．
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况.
【详解】解：∵22370x x +-=，
∴2342(7)956650∆=-⨯⨯-=+=>，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.
12．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下
B ．抛物线经过点()1,1-
C ．抛物线的对称轴是直线1x =
D ．抛物线与x 轴有两个交点 【答案】D
【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．
【详解】A. a=2,则抛物线y=2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
【答案】增大．
【分析】根据二次函数的增减性可求得答案
【详解】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，开口方向向上，
∴当y随x的增大而增大，
故答案为增大.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
14．方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于_____，两根积等于_____．
【答案】4 ﹣6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案．
【详解】设方程的两个根为x1、x2，
∵a=1，b=-4，c=-6，
∴x1+x2=-b
a
=4，x1·x2=
c
a
=-6，
故答案为4，﹣6
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的两个根为x1、x2，那么，
x1+x2=-b
a
，x1·x2=
c
a
；熟练掌握韦达定理是解题关键．
15．计算：2sin45︒=______．
【答案】
【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：2sin452
2
︒=⨯--
故答案为：
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．
16．下列四个函数：①21y x =-+②32y x =-③3y x =-
④22y x =+中，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大的函数是______（选填序号）．
【答案】②③
【分析】分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的单调性分别进行判断即可．
【详解】解：
①在y=-2x+1中，k=-2＜0，则y 随x 的增大而减少；
②在y=3x+2中，k=3＞，则y 随x 的增大而增大；
③在3y x
=-中，k=-3＜0，当x ＜00时，在第二象限，y 随x 的增大而增大； ④在y=x 2+2中，开口向上，对称轴为x=0，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；
综上可知满足条件的为：②③．
故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查函数的增减性，掌握一次函数、反比例函数的增减性与k 的关系，以及二次函数的增减性是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y x =，点1Q 的坐标为(1,0)，以1O 为圆心，1O O
为半径画圆，交直线l 于点1P ，交x 轴正半轴于点2O ，以2O 为圆心，2O O 为半径的画圆，交直线l 于点
2P ，交x 轴的正半轴于点3O ，以3O 为圆心，3O O 为半径画圆，交直线l 与点3P ，交x 轴的正半轴于点4O ，
… 按此做法进行下去，其中弧20192020P O 的长为_______．
【答案】20172π.
【分析】连接11PO ，22P O ，33P O ，易求得n n P O 垂直于x 轴，可得1n n P O +弧为
14
圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．
【详解】连接11PO ，22P O ，33P O ⋯。