2020届高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数2_2函数的单调性与最值课件文新人教A版

1 调递增，结合 a＞b＞0 可得 log2a＞log2b；函数 y＝x2在(0，＋∞)
上单调递增，结合
a＞b＞0
可得
11 a2＞b2；函数
y＝12x是单调递
减函数，所以21a＜12b.故选 D.
【答案】 D
角度 3 求解函数不等式 【例 5】 已知函数 f(x)＝x22x＋－2xx2， ，xx≥ ＜00， ，函数 g(x)＝|f(x)|－ 1.若 g(2－a2)＞g(a)，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)
(2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞ ，4]，则a的值为________．
【解析】 (1)函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－ a≥4，得a≤－3.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－a＝4，得a ＝－3.
【答案】 (1)a≤－3 (2)－3
考点一 函数单调性的判断 【例 1】 (2019·佛山联考)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－ 1，1)上的单调性．
【答案】 A
角度 2 比较函数值或自变量的大小
【例 4】 已知 a＞b＞0，则下列命题成立的是( )
A．sin a＞sin b
B．log2a＜log2b
11 C．a2＜b2
D.21a＜21b
【解析】 函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，所以
不能判断出 sin a 与 sin b 的大小；函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上单
－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M
＋m＝( )
A．4
B．2
C．1
D．0
【解析】 设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1 ＝(t2－1)sin t＋t＋2，t∈[－2，2]．记g(t)＝(t2－1)sin t＋t ＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sin t＋t是奇函数．由已知 得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－ 2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.
M为函数y＝f(x)的最大
结论
M为函数y＝f(x)的最小值
值
题组一 常识题 1．(教材改编)函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数， 则a的取值范围是________．
【解析】 当 2a－1<0，即 a<21时，f(x)是 R 上的减函数．
【答案】
1 a<2
2．(教材改编)函数f(x)＝(x－2)2＋5(x∈[－3，3])的单调 递增区间是________；单调递减区间是________．
【解析】 由函数f(x)＝(x－2)2＋5(x∈[－3，3])的图象 即可得到单调区间．
【答案】 (2，3] [－3，2]
3．(教材改编)函数 f(x)＝x＋3 1(x∈[2，5])的最大值与最小值 之和等于________．
【解析】 函数 f(x)＝x＋3 1在[2，5]上是减函数，所以最大值 为 f(2)＝1，最小值为 f(5)＝12.所以最大值与最小值之和为 1＋21＝ 3 2.
【解析】 法一：(定义法) 设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1 ＝ （x1a－（1x）2－（x1x）2－1），
由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1 ＜0，
角度 4 利用单调性求参数的取值范围
【例 6】 已知函数 f(x)＝a（x，a－x＜3）0，x＋4a，x≥0满足对任意
x1≠x2，都有f（x1）x1－－fx（2 x2）＜0 成立，则实数 a 的取值范围是
()
A.0，14
B．(1，2]
C．(1，3)
D.12，1
【解析】 由f（x1）x1－ －fx（2 x2）＜0，得 f(x)在定义域上是减函
令 x1＝x2＝x0，1－xa20＝0 可得到 x0＝± a，这样就把 f(x)的 定义域分为(－∞，－ a]，[－ a，0)，(0， a]，[ a，＋∞)四
个区间，下面讨论它的单调性．
若 0<x1<x2≤ a，则 x1－x2<0，0<x1x2<a，
所以
x1x2 － a<0. 所 以
f(x1)
－
f(x2)
数f(x)在区间D上是增函数 函数f(x)在区间D上是减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 自左向右看图象是__下__降__的___
____上__升__的____
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是___增__函__数____或_减__函__数__， 那 么 就 说 函 数 y ＝ f(x) 在 这 一 区 间 具 有 ( 严 格 的 ) 单 调 性 ， __区__间__D___叫做y＝f(x)的单调区间．
【解析】 由题意可知，f(x)为单调递增的奇函数，则 g(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增．因为g(2－a2)＞ g(a)，所以|2－a2|＞|a|，即(2－a2)2＞a2，解得a＜－2或－1 ＜a＜1或a＞2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1 ，1)∪(2，＋∞)．故选D.
【答案】 D
第2讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
定 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区 义 间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有
当x1＜x2时，都有
__f_(_x_1)_＜__f(_x_2_)__，那么就说函 ____f_(_x1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么就说
【答案】 －∞，183
7．函数 y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且 f(a＋1)<f(2a)， 则实数 a 的取值范围是________．
－2≤a＋1≤2， 【解析】 由条件知－2≤2a≤2， 解得－1≤a＜1.
a＋1＞2a，
【答案】 [－1，1)
8．(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上 是减函数，则实数a的取值范围是________．
2
∵t＝2x2－3x＋1＝2x－342－18，
∴t＝2x2－3x＋1 的单调增区间为(1，＋∞)．
又 y＝log1t 在(1，＋∞)上是减函数， 2
∴函数 y＝log1(2x2－3x＋1)的单调减区间为(1，＋∞)． 2
【答案】 A
考点三 函数单调性的应用
角度1 求函数的值域或最值
【例3】 (2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上递增． 法二：(导数法)
f′(x)＝（a（x）x－′（1x）－21）－a（x（x－x－1）1）2 ′ ＝a（（x－x－1）1）－2 ax＝－（x－a1）2. 当 a＞0 时，f′(x)＜0，函数 f(x)在(－1，1)上递减；当 a＜0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)在(－1，1)上递增．
0＜a＜1， 数，所以a－3＜0，解得
4a≤1，
0＜a≤14，所以
a∈0，14.故选
A.
【答案】 A
【反思归纳】
考点二 确定函数的单调区间
【例 2】 求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1. (2)y＝log1(x2－3x＋2)．
2
【解析】 (1)由于 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx＜≥00.， 即 y＝－ －（ （xx－ ＋11） ）22＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 画出函数图象如图所示，
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(3)对于任意的x∈I，都有
(1)对于任意的x∈I，
___f(_x_)≥__M_________；
都有___f_(_x)_≤__M______；
条件 (2)存在x0∈I，使得 ___f(_x_0)_＝__M______
(4)存在x0∈I，使得 ____f_(_x_0)_＝__M______
【答案】
3 2
4．函数f(x)＝|x－a|＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数 a的取值范围是________．
【解析】 因为函数f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是 [a，＋∞)，当f(x)在[2，＋∞)上单调递增时，满足[2，＋ ∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.
【答案】 a≤2
题组二 常错题 ◆索引：求单调区间忘记定义域导致出错；对于分段函 数，一般不能整体单调，只能分段单调；利用单调性解不 等式忘记在单调区间内求解；混淆“单调区间”与“在区 间上单调”两个概念． 5 ． 函 数 f(x) ＝ ln(4 ＋ 3x － x2) 的 单 调 递 减 区 间 是 __________．
跟踪训练 2 (2019·福州模拟)函数 y＝log1(2x2－3x＋1)的递减 2
区间为( )
A．(1，＋∞)
B.－∞，34
C.12，＋∞
D.43，＋∞
【解析】 由 2x2－3x＋＞0，得函数的定义域为
－∞，21∪(1，＋∞)． 令 t＝2x2－3x＋1，则 y＝log1t，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，
0]和[1，＋∞)． (2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log1u 与 u＝x2 2
－3x＋2 的复合函数． 令 u＝x2－3x＋2＞0，则 x＜1 或 x＞2. ∴函数 y＝log1(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 2
满足对任意的实数
x1≠x2，都有f（x1）x1－－fx（2 x2）<0 成立，则实数 a 的取值范围为
________．
【解析】 由题意知函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有
a－2＜0， （a－2）×2≤122－1，由此解得
a≤183，即实数
a
的取值范围
是－∞，183.
【解析】 函数 f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4
＝－x－322＋245，x∈(－1，4)的单调递减区间为32
，4，∴函

数 f(x)的单调递减区间为32，4.
【答案】 32，4
（a－2）x，x≥2，
6．已知函数 f(x)＝12x－1，x<2，
【反思归纳】
跟踪训练 1 用定义法讨论函数 f(x)＝x＋ax(a>0)的单调性．
【解析】 函数的定义域为{x|x≠0}．任取 x1，x2∈{x|x≠0}， 且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2－xa2＝（x1－x2x）1·（xx21x2－a） ＝(x1－x2)1－x1ax2.
又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝23，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2 在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)
上是单调增函数．
而 y＝log1u 在(0，＋∞)上是单调减函数， 2
∴y＝log1(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递 2
增区间为(－∞，1)．
【反思归纳】
＝
x1
＋
a x1
－
x2
－
a x2
＝
（x1－x2x）1·（xx21x2－a）>0，
即 f(x1)>f(x2)，所以 f(x)在(0， a]上单调递减． 同理可得，f(x)在[ a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ a] 上单调递增，在[－ a，0)上单调递减． 故函数 f(x)在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a， 0)和(0， a]上单调递减．