江苏高三高中数学期末考试带答案解析

江苏高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.设集合，，则= ．
2.设复数（，i为虚数单位），若，则的值为．
3.已知双曲线的离心率为，则实数a的值为．
4.函数的定义域为．
5.函数的最小正周期为．
6.下图是一个算法流程图，则输出的的值是．
7.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．
8.若实数满足约束条件则目标函数的最小值为．
9.曲线在点处的切线方程为．
10.已知函数，则函数的值域为．
11.已知向量，，设向量满足，则的最大值为．
12.设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则．
13.若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为．
14.在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标
之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：，则点与直线上任意一点之间的距离的
最小值为．
二、解答题
1.（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC的面积．
2.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，
⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证：
（1）∥平面；
（2）⊥平面．
3.（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为
900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩
形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为
（m2）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）求的最大值．
4.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线
过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
5.（本小题满分16分）已知数列（，）满足，其中，
．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．
6.（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
7.选修4—1：几何证明选讲
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC经过点.
8.选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，，是非零的平面列向量，，，求矩阵.
9.选修4—4：坐标系与参数方程
已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.
10.选修4—5：不等式选讲
已知，证明：.
11.(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.
假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.
12.（本小题满分10分）设个正数满足（且）．
（1）当时，证明：；
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
江苏高三高中数学期末考试答案及解析
一、填空题
1.设集合，，则= ．
【答案】
【解析】=
【考点】集合的运算
2.设复数（，i为虚数单位），若，则的值为．
【答案】
【解析】由得：为实数，而，所以又，所以的值为
【考点】复数概念
3.已知双曲线的离心率为，则实数a的值为．
【答案】8
【解析】，所以，解得a=8
【考点】双曲线离心率
4.函数的定义域为．
【答案】
【解析】由题意得：，定义域为
【考点】函数定义域
5.函数的最小正周期为．
【答案】
【解析】，所以最小正周期为
【考点】三角函数周期
6.下图是一个算法流程图，则输出的的值是．
【答案】127
【解析】第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：，结束循环输出
【考点】循环结构流程图
7.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．
【答案】
【解析】从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至
少有1道试题是乙类试题的概率为
【考点】古典概型概率
8.若实数满足约束条件则目标函数的最小值为．
【答案】1
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中直线过点时取最小值1
【考点】线性规划求最值
9.曲线在点处的切线方程为．
【答案】
【解析】因为，所以，切线方程为
【考点】导数几何意义
10.已知函数，则函数的值域为．
【答案】
【解析】函数的值域与函数的值域相同，而当时，所以函数的值域为
【考点】函数值域
11.已知向量，，设向量满足，则的最大值为．
【答案】
【解析】设，则由题意得，即，所以的最大值为
直径
【考点】向量坐标表示
12.设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则．【答案】
【解析】由题意得：，由得，因此
【考点】等比数列求和
13.若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为．
【答案】
【解析】因为，所以由得，令，则，
由得时取最小值，又，所以的最大值为
【考点】利用导数求函数最值，不等式恒成立
14.在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标
之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：，则点与直线上任意一点之间的距离的
最小值为．
【答案】
【解析】设圆，
圆，
故是关于的方程的两根
因此由韦达定理得，所以点在圆上，其到直线距离就是点与直线上任意一点之
间的距离的最小值，为
【考点】直线与圆位置关系
二、解答题
1.（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）由正弦定理得，又由得，所以化简得，．（2）因为，所以（3）因为，，所以．因此
△ABC的面积选用，由，所以可求
面积.
试题解析：（1）因为，，
所以． 2分
又由正弦定理，得，，，
化简得，． 5分
（2）因为，所以．
所以． 8分
（3）因为，
所以． 10分
因为，
所以． 12分
因为，，所以．
所以△ABC的面积． 14分
【考点】正弦定理，二倍角公式
2.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，
⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证：
（1）∥平面；
（2）⊥平面．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）证明线面平行，关键证明线线平行，这可根据三角形中位线性质得到：在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．再根据线面平行判定定理进行证明（2）证明线面垂直，需多次利用线线
垂直与线面垂直相互转化：先根据面面垂直性质定理转化为线面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，所以可得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，∥，所以⊥．从而可证⊥平面．
试题解析：证明：（1）连结AC，
因为ABCD 是平行四边形，所以O为的中点． 2分
在△中，因为，分别是，的中点，
所以∥． 4分
因为平面，平面，
所以∥平面． 6分
（2）连结．因为是的中点，PB=PD，
所以PO⊥BD．
又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面平
面=，平面
所以⊥平面．
从而⊥． 8分
又因为⊥，,平面，平面，
所以⊥平面．
因为平面，所以⊥． 10分
因为⊥，∥，所以⊥． 12分
又因为平面，平面，,
所以⊥平面． 14分
【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理
3.（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为
900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩
形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为
（m2）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）求的最大值．
【答案】（1），．（2）当矩形温室的室内长为60 m时，三块种
植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2．
【解析】（1）建立实际问题函数解析式，关键读懂题意即可，本题题意明确，图形简单，三块种植植物的矩形区
域的总面积可看做一个矩形面积：，根据边长为正得其定义域为（2）
这是一个积为定值的函数，可根据基本不等式求最值：当且仅当时等号成立．
试题解析：（1）由题设，得
，． 6分
（2）因为，所以， 8分
当且仅当时等号成立． 10分
从而． 12分
答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为
m2． 14分
【考点】函数解析式，基本不等式求最值
4.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线
过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）点恒在直线上
【解析】（1）直线与x轴的交点为椭圆的右焦点，所以由得从而，所以椭圆的标准方程为．（2）探索性问题，先通过特殊情形探索目标：令，则
根据对称性知满足题意的定直线只能是．问题转化为证明P,B,D三点共线，可利用斜率相等进行证明：设，，则，从而
，再利用直线与椭圆方程联立方程组得关于y的一元二次方程，由韦达定理得与关系，进而得
试题解析：（1）由题设，得解得从而，
所以椭圆的标准方程为． 4分
（2）令，则，或者，．
当，时，；当，时，，
所以，满足题意的定直线只能是． 6分
下面证明点恒在直线上．
设，，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线
上． 8分
由得，
，
，．① 10分
∵
， 13分
①式代入上式，得，所以． 15分
∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点
，所以存在一条定直线：使得点恒在直线上． 16分
【考点】直线与椭圆位置关系
5.（本小题满分16分）已知数列（，）满足，其中，
．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），（2）①详见解析，②不存在
【解析】（1）数列递推关系式是一个分段函数，可通过分段点进行连接：，，，根据对勾函数得，或，从而有（2）①当
时，数列是一个等差数列，易得，从而，令，得．问题转化为证明有满足条件解，易求得②∴
，问题转化为是否存在三个不同的整数（），使得消去a,d得，由于，所以无解
试题解析：（1）当时，
，，． 2分
因为，，或，
所以． 4分
（2）①由题意，，． 6分
令，得．
因为，，
所以令，则． 8分
②不存在实数，，使，，同时属于． 9分
假设存在实数，，使，，同时属于．
，∴，
从而． 11分
因为，，同时属于，所以存在三个不同的整数（），
使得从而
则． 13分
因为与互质，且与为整数，
所以，但，矛盾．
所以不存在实数，，使，，都属于． 16分
【考点】数列综合
6.（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的极小值为，无极大值．（2）
【解析】（1）当时，，定义域为，由得．列表分析得的极小值为，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：在上恒成立．由于不易求，因此再进行转化：当时，可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；同理当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可.
试题解析：（1），
，令，得． 1分
列表：
0 +
↘
所以的极小值为，无极大值． 4分
（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成
立． 5分
1）当时，可化为，
令，问题转化为：对任意恒成立；（*）
则，，．
令，则．
①时，因为，
故，所以函数在时单调递减，，
即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）
成立，满足题意； 7分
②当时，，
因为，所以，记，则当时，，
故，所以函数在时单调递增，，
即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成
立；
所以当，恒成立时，； 9分
2）当时，可化为，
令，问题转化为：对任意的恒成立；（**）
则，，．
令，则．
①时，，
故，所以函数在时单调递增，，
即，从而函数在时单调递增，所以，此时（**）成立；11分
②当时，
ⅰ）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立； 13分
ⅱ）若，则，所以当时，
，
故函数在上单调递减，，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；
所以当，恒成立时，； 15分
综上所述，当，恒成立时，，从而实数的取值集合为． 16分
【考点】利用导数求极值，利用导数研究函数单调性
7.选修4—1：几何证明选讲
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC经过点.
【答案】详见解析
【解析】因为是下半圆的中点，所以,从而是的平分线．又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.所以直线PC经过点.
试题解析：连结，则． 2分
因为是圆周角，同弧上的圆心角，
所以． 5分
同理可得，，所以是的平分线． 8分
又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.
所以直线PC经过点. 10分
【考点】等弧对应等角
8.选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，，是非零的平面列向量，，，求矩阵.
【答案】
【解析】由特征多项式得，所以，又，所以，所以．，
试题解析：由题意，，是方程的两根．
因为，所以．① 2分
又因为，所以，从而 5分
所以．
因为，所以．从而． 8分
故矩阵. 10分
【考点】矩阵运算
9.选修4—4：坐标系与参数方程
已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.
【答案】（）．
【解析】求轨迹方程，先设动点的坐标，利用建立等量关系，消去参数得轨迹方程，再根据参数范围确定轨迹范围：又
所以，.
试题解析：设，则 2分
两式平方相加得． 5分
又
所以，. 8分
所以动点轨迹的普通方程为（）． 10分
【考点】消参法求轨迹方程
10.选修4—5：不等式选讲
已知，证明：.
【答案】详见解析
【解析】由基本不等式得，，再根据不等式性质得：
试题解析：因为
所以， 4分
， 8分
所以. 10分
【考点】基本不等式证不等式
11.(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.
假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.
【答案】（1）
（2）随机变量的概率分布为：
012345
.
【解析】（1）该网民至少购买4种商品包括只购买4种商品和购买5种商品两种情形：购买5种商品的概率为，只购买4种商品有5种情形,其概率为
所以该网民至少购买4种商品的概率为.
（2）先求只购买0种商品，只购买1种商品，只购买,2种商品这三种情况概率，只购买3种商品的概率用对立事件概率求.
试题解析：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,
, 2分
所以该网民至少购买4种商品的概率为.
答：该网民至少购买4种商品的概率为. 3分
（2）随机变量的可能取值为，
,
,
,
,
,
. 8分
所以：随机变量的概率分布为：
故. 10分
【考点】概率分布，数学期望
12.（本小题满分10分）设个正数满足（且）．
（1）当时，证明：；
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
【答案】（1）详见解析，（2）（且）．
【解析】（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即
（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明
，这可利用作差，因式分解得证.
试题解析：（1）证明：因为（且）均为正实数，
左—右=
=0，
所以，原不等式成立． 4分
（2）归纳的不等式为：
（且）． 5分
记，
当（）时，由（1）知，不等式成立；
假设当（且）时，不等式成立，即
．
则当时，
= 7分
=
=，
因为，，，
所以，
所以当，不等式成立． 9分
综上所述，不等式（且）成立． 10分
【考点】数学归纳法。