t分布与检验知识讲解
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练习1：
上例中其他条件不变，现假定15天 内出售面包的平均数量为72条，求获得 此数量的概率。
按照上述步骤，首先运用t变量公式，求出 t变量。
t 72701.936 4/ 15
查t分布表，当自由度为14时，t值大于等于 1.761的概率为0.05，大于等于2.145的概率为 0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.025与 0.05之间。
例：变量X表示面包房每日出售的面包量，假 定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即 X~N(70,9)，求任给一天，出售面包数量大于 75条的概率。
首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67
求：P(Z>1.67)
查正态分布表得：
P(0≦Z≦1.67)=0.4525
则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475
0 不同自由度下的分布
t分布的性质
⑴ t分布与正态分布相类似，具有对称性。 ⑵ t分布的均值与标准正态分布均值相同，
为0，但方差为k/(k-2)。由此，在求t分布的 方差时定义自由度必须大于2。 标准正态分布的方差等于1，因此，t分布方 差总大于标准分布的方差，也就是说，t分布 比正态分布略“胖”些。
P/E
频数
6
2
7
2
8
5
均值=11.5
9
6
样本方差=9.2755
10
5
11
7
样本标准差=3.0456
12
5
13
4
14
3
15
4
16
6
18
1
总计：50
假设的样本（50支股票的P/E值）
假设检验
假设真实的x 取某一特定值，如x =13。 然后去检验这个假设，检验结果是接受或 拒绝该假设？下面以此为例说明。
置信区间提供了在某一置信度下（如95%）真实 的x 的取值范围。因此，如果这个区间不包括零 假设中的值，如x =13，则拒绝零假设，即我们 以95%的置信度拒绝零假设。反之，接受零假设。
接受区域：上述不等式所描述的置信区间称为 接受区域。
零假设的临界区域（或拒绝区域）：接受区域 以外的称为零假设的临界区域或拒绝区域。
⑶ 正态曲线下的面积约有68%位于± 两 值之间；约有95%面积位于±2之间；约有 99.7%的面积位于± 3之间。这些区域可用 作概率的度量。
⑷ 正态分布可由两个参数，²来描 述，即一旦知道，²的值，就可以根 据附录表查到随机变量X落于某一区 间的概率值。
⑸ 两个（或多个）正态分布随机变量 的线性组合仍服从正态分布。该性质 很重要，解释如下：
分析：令X代表坛子中花生的重量，因此， X~N(x ，²)，两个参数x 和²均是未知的。 由于知道样本方差，故设计t变量，它服从自由 度为19的t分布。
t
(X
X
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
~t
S 20 19
查t分布表得：当自由度为19时， P(-2.861≦t≦2.861)=0.99
整理得出：
P X2 .8S 6 1X2 .8S 6 1 0 .99
t分布与检验
正态曲线下的区域示意图
-3 -2
- 68%（近似） 95%（近似） 99.7%（近似）
2 3
1.2 正态分布的性质：
⑴ 正态分布曲线以均值为中心，对称分布。
⑵ 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边 低，在均值处达到最高，向两边逐渐降低， 即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变 小。
根据以下公式可知：
(X )
t
X
Sn
服从自由度为(n-1)的t分布。在具体应用中，、 S、n已知， x 未知。
在零假设下设定x 为一给定值，从而求出t 值。由于该式中的t值服从自由度为(n-1)的t分 布，根据t分布很容易求出获此t值的概率。
显著性检验方法的关键之处是检验统计量（t 统计量）以及在假定x 为一给定值下该t统计 量的概率分布。
即每天出售面包的数量超过75条的概率为 0.0475。
f(Z)
0.4525
0.0475
0
1.67
标准正态变量概率密度函数
t分布
_
回忆：若样本均值 X~N(,2 n)，则
变量Z服从标准正态分布。
_
即： Z X ~N(0,1) n
假定已知和²的估计量S²，则可以 用样本标准差（S）代替总体标准差 （），得到一个新的变量t。
t分布表的使用:
例：自由度为10，P(t>1.812)=P(t<-1.812)=0.05 P(︱t︱>1.812)=P(t>1.812)+P(t<-1.812)=0.1
0.05 0.05
-1.812
0
1.812
t分布表举例：
例：变量X表示面包房每日出售的面包量， 在15天内，出售面包的样本方差为16。假 定真实的出售量为70条，求任意15天内出 售面包平均数量为74条的概率。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
nX
n
将已知条件代入，得：
5.22≦ x ≦7.78 （近似值） 由于该区间包括了零假设值7.5，因此，我 们不拒绝零假设：真实的x =7.5。
H0：x =7.5
0.5%
5.22
99% 0.5%
7.5 7.78
a) x的99%的置信区间
4.3 显著性检验
显著性检验是一种两者择一的假设检验，现通 过P/E一例加以说明。
分析：本例中已知样本方差S²=16，则S=4， 总体均值（真实的出售量）=70，运用t变量 公式得：
t 74703.873 4 15
查t分布表，自由度为(n-1)=15-1=14
当自由度为14时，查表得，t值大于等于 2.977的概率为0.005，大于等于4.140的概 率为0.0005，所以，t值大于等于3.873的 概率介于0.0005~0.005之间。
临界值：接受区域的上界和下界称为临界值。 它们是接受或拒绝零假设的分界线。
归纳：如果参数值在零假设下位于接受区域内， 则不拒绝零假设，若落在接受区域以外（即落 在拒绝区域内），则拒绝零假设。
10.63
12.36
P/E总体均值的95%的置信区间
P/E值
例：坛子里的花生的重量服从正态分布，但均 值和方差是未知的。随机选取20个坛子，发现 其样本均值和样本方差分别为6.5和4。检验零 假设：真实均值为7.5；备则假设：真实均值不 是7.5。给定显著水平1%。
1
2
不同均值，同方差的两个正态分布图
不同均值，不 同方差
1
2
相同均值，不 同方差
1=2
标准正态分布
如果变量X的均值为，方差为，定义一个
新的变量Z， Z X
则根据性质5，变量Z的均值为0，方差为1。 在统计学中，我们称之为单位或标准正态 变量，用符号表示为：
Z ~N(0,1)
任一给定均值和方差的正态变量都可转化为标准正 态变量，将其标准化可以大大简化计算。
建立判定规则有两种方法：置信区间法、显著性 检验法。
4.1 置信区间法
在上述例子中，我们知道样本均值服从均值为x ， 方差为²/n的正态分布，由于真实的方差未知， 以样本方差代替。在这种情况下，样本均值服从 t分布，从而得到x 的一个95%的置信区间： 10.63≦ x ≦12.36 （近似值）
t分布与正态分布： 当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。 例如：当k=10时，t分布的方差为10/8=1.25；
当k=30时，t分布的方差为30/28=1.07； 当k=100时，t分布的方差为100/98=1.02； 结论：随着自由度的逐渐增大，t分布近似于正态分布。 注意：对于t分布，不要求其样本容量很大，k=30时，t 分布与正态分布已很近似。
令：
X
~
N(X
,
2 X
)
Y ~ N(Y ,Y2 )
假定X和Y相互独立，设a、b为常数， 考虑线性组合：W=aX+bY 则有：
W~N(w,w 2)
其中，w ax b y
2 w
a2
2 x
b2
2 y
1.3 标准正态分布
由于期望和方差的不同，正态分布之间会存在一定 的区别（见下图），如何将其简单化，从而引入标 准正态分布。
_
X
t Sn
根据统计理论得知：变量t服从自由度为(n-1)的 t分布。
注意：在这里，自由度为(n-1)，而不是n。
结论：从正态总体中抽取随机样本，若该正态 总体的均值为，但方差²用其估计量S²来代替， 则其样本均值服从t分布。通常用符号tk表示， 其中k表示自由度。
k=120(正态） K=20 K=5
查t分布表的注意事项：
⑴ 自由度为（n-1），而不是n。
⑵ t分布表具有对称性，t值大于等于 某一特定值的概率与t值小于等于该特 定值相反数的概率相等。
关注某一总体，如纽约股票交易市场的 1758支（90年9月4日）股票，想要研究该 总体某一方面的统计特征，比如说股票价 格与收入比（P/E）的平均值。在总体中抽 取随机样本，如50支股票，求样本中每一 支股票的P/E值，然后再计算平均P/E值， 就称为总体平均P/E的估计量
在P/E例子中， =11.5，S=3.0456，n=50。
令H0： x =13，H1： x ≠13，则有：
t =(11.5-13)/(3.0456/√50)=-3.4826
根据该t值能否拒绝零假设呢？在没有设 定置信水平之前，无法回答这个问题。 现假定置信水平为5%，即 =5%。
当自由度为49时，在5%的显著水平下，查表 得临界的t值为-2.0096和2.0096 （见下图） ， 获此t值小于或等于-2.0096的概率为2.5%，获 得此t值大于或等于2.0096的概率也为2.5%。
95% t =-3.5
=2.5%
=2.5%
-2.0096
0
2.0096
t检验的显著性：双边检验
显然，t值位于t分布的左侧拒绝区域。因此， 拒绝零假设。
零H0
x= 0
t检验小结 备择假设
临界区域，拒绝H0，若
x>0
x= 0
x<0
x= 0
x≠0
最后一列给出了t临界值，第一个下标表示显著水平，d.t代表自由度。
用假设的语言，将x =13称为零假设，用符号H0 表示。即，H0: x =13
与备零 择假假设设相有对以应下的 几是 种形备式择：假设，用符号H1表示，
H1： x＞13 称为单边备择假设；
H1： x＜13 称为单边备择假设；
H1： x≠13 称为双边备择假设。
为了检验零假设（和备择假设）,根据样本数据及 统计理论建立判定规则来判断样本信息是否支持 零假设。若支持，不拒绝零假设，反之拒绝零假 设，接受备择假设。
上例中其他条件不变，现假定15天 内出售面包的平均数量为72条，求获得 此数量的概率。
按照上述步骤，首先运用t变量公式，求出 t变量。
t 72701.936 4/ 15
查t分布表，当自由度为14时，t值大于等于 1.761的概率为0.05，大于等于2.145的概率为 0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.025与 0.05之间。
例：变量X表示面包房每日出售的面包量，假 定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即 X~N(70,9)，求任给一天，出售面包数量大于 75条的概率。
首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67
求：P(Z>1.67)
查正态分布表得：
P(0≦Z≦1.67)=0.4525
则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475
0 不同自由度下的分布
t分布的性质
⑴ t分布与正态分布相类似，具有对称性。 ⑵ t分布的均值与标准正态分布均值相同，
为0，但方差为k/(k-2)。由此，在求t分布的 方差时定义自由度必须大于2。 标准正态分布的方差等于1，因此，t分布方 差总大于标准分布的方差，也就是说，t分布 比正态分布略“胖”些。
P/E
频数
6
2
7
2
8
5
均值=11.5
9
6
样本方差=9.2755
10
5
11
7
样本标准差=3.0456
12
5
13
4
14
3
15
4
16
6
18
1
总计：50
假设的样本（50支股票的P/E值）
假设检验
假设真实的x 取某一特定值，如x =13。 然后去检验这个假设，检验结果是接受或 拒绝该假设？下面以此为例说明。
置信区间提供了在某一置信度下（如95%）真实 的x 的取值范围。因此，如果这个区间不包括零 假设中的值，如x =13，则拒绝零假设，即我们 以95%的置信度拒绝零假设。反之，接受零假设。
接受区域：上述不等式所描述的置信区间称为 接受区域。
零假设的临界区域（或拒绝区域）：接受区域 以外的称为零假设的临界区域或拒绝区域。
⑶ 正态曲线下的面积约有68%位于± 两 值之间；约有95%面积位于±2之间；约有 99.7%的面积位于± 3之间。这些区域可用 作概率的度量。
⑷ 正态分布可由两个参数，²来描 述，即一旦知道，²的值，就可以根 据附录表查到随机变量X落于某一区 间的概率值。
⑸ 两个（或多个）正态分布随机变量 的线性组合仍服从正态分布。该性质 很重要，解释如下：
分析：令X代表坛子中花生的重量，因此， X~N(x ，²)，两个参数x 和²均是未知的。 由于知道样本方差，故设计t变量，它服从自由 度为19的t分布。
t
(X
X
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
~t
S 20 19
查t分布表得：当自由度为19时， P(-2.861≦t≦2.861)=0.99
整理得出：
P X2 .8S 6 1X2 .8S 6 1 0 .99
t分布与检验
正态曲线下的区域示意图
-3 -2
- 68%（近似） 95%（近似） 99.7%（近似）
2 3
1.2 正态分布的性质：
⑴ 正态分布曲线以均值为中心，对称分布。
⑵ 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边 低，在均值处达到最高，向两边逐渐降低， 即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变 小。
根据以下公式可知：
(X )
t
X
Sn
服从自由度为(n-1)的t分布。在具体应用中，、 S、n已知， x 未知。
在零假设下设定x 为一给定值，从而求出t 值。由于该式中的t值服从自由度为(n-1)的t分 布，根据t分布很容易求出获此t值的概率。
显著性检验方法的关键之处是检验统计量（t 统计量）以及在假定x 为一给定值下该t统计 量的概率分布。
即每天出售面包的数量超过75条的概率为 0.0475。
f(Z)
0.4525
0.0475
0
1.67
标准正态变量概率密度函数
t分布
_
回忆：若样本均值 X~N(,2 n)，则
变量Z服从标准正态分布。
_
即： Z X ~N(0,1) n
假定已知和²的估计量S²，则可以 用样本标准差（S）代替总体标准差 （），得到一个新的变量t。
t分布表的使用:
例：自由度为10，P(t>1.812)=P(t<-1.812)=0.05 P(︱t︱>1.812)=P(t>1.812)+P(t<-1.812)=0.1
0.05 0.05
-1.812
0
1.812
t分布表举例：
例：变量X表示面包房每日出售的面包量， 在15天内，出售面包的样本方差为16。假 定真实的出售量为70条，求任意15天内出 售面包平均数量为74条的概率。
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nX
n
将已知条件代入，得：
5.22≦ x ≦7.78 （近似值） 由于该区间包括了零假设值7.5，因此，我 们不拒绝零假设：真实的x =7.5。
H0：x =7.5
0.5%
5.22
99% 0.5%
7.5 7.78
a) x的99%的置信区间
4.3 显著性检验
显著性检验是一种两者择一的假设检验，现通 过P/E一例加以说明。
分析：本例中已知样本方差S²=16，则S=4， 总体均值（真实的出售量）=70，运用t变量 公式得：
t 74703.873 4 15
查t分布表，自由度为(n-1)=15-1=14
当自由度为14时，查表得，t值大于等于 2.977的概率为0.005，大于等于4.140的概 率为0.0005，所以，t值大于等于3.873的 概率介于0.0005~0.005之间。
临界值：接受区域的上界和下界称为临界值。 它们是接受或拒绝零假设的分界线。
归纳：如果参数值在零假设下位于接受区域内， 则不拒绝零假设，若落在接受区域以外（即落 在拒绝区域内），则拒绝零假设。
10.63
12.36
P/E总体均值的95%的置信区间
P/E值
例：坛子里的花生的重量服从正态分布，但均 值和方差是未知的。随机选取20个坛子，发现 其样本均值和样本方差分别为6.5和4。检验零 假设：真实均值为7.5；备则假设：真实均值不 是7.5。给定显著水平1%。
1
2
不同均值，同方差的两个正态分布图
不同均值，不 同方差
1
2
相同均值，不 同方差
1=2
标准正态分布
如果变量X的均值为，方差为，定义一个
新的变量Z， Z X
则根据性质5，变量Z的均值为0，方差为1。 在统计学中，我们称之为单位或标准正态 变量，用符号表示为：
Z ~N(0,1)
任一给定均值和方差的正态变量都可转化为标准正 态变量，将其标准化可以大大简化计算。
建立判定规则有两种方法：置信区间法、显著性 检验法。
4.1 置信区间法
在上述例子中，我们知道样本均值服从均值为x ， 方差为²/n的正态分布，由于真实的方差未知， 以样本方差代替。在这种情况下，样本均值服从 t分布，从而得到x 的一个95%的置信区间： 10.63≦ x ≦12.36 （近似值）
t分布与正态分布： 当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。 例如：当k=10时，t分布的方差为10/8=1.25；
当k=30时，t分布的方差为30/28=1.07； 当k=100时，t分布的方差为100/98=1.02； 结论：随着自由度的逐渐增大，t分布近似于正态分布。 注意：对于t分布，不要求其样本容量很大，k=30时，t 分布与正态分布已很近似。
令：
X
~
N(X
,
2 X
)
Y ~ N(Y ,Y2 )
假定X和Y相互独立，设a、b为常数， 考虑线性组合：W=aX+bY 则有：
W~N(w,w 2)
其中，w ax b y
2 w
a2
2 x
b2
2 y
1.3 标准正态分布
由于期望和方差的不同，正态分布之间会存在一定 的区别（见下图），如何将其简单化，从而引入标 准正态分布。
_
X
t Sn
根据统计理论得知：变量t服从自由度为(n-1)的 t分布。
注意：在这里，自由度为(n-1)，而不是n。
结论：从正态总体中抽取随机样本，若该正态 总体的均值为，但方差²用其估计量S²来代替， 则其样本均值服从t分布。通常用符号tk表示， 其中k表示自由度。
k=120(正态） K=20 K=5
查t分布表的注意事项：
⑴ 自由度为（n-1），而不是n。
⑵ t分布表具有对称性，t值大于等于 某一特定值的概率与t值小于等于该特 定值相反数的概率相等。
关注某一总体，如纽约股票交易市场的 1758支（90年9月4日）股票，想要研究该 总体某一方面的统计特征，比如说股票价 格与收入比（P/E）的平均值。在总体中抽 取随机样本，如50支股票，求样本中每一 支股票的P/E值，然后再计算平均P/E值， 就称为总体平均P/E的估计量
在P/E例子中， =11.5，S=3.0456，n=50。
令H0： x =13，H1： x ≠13，则有：
t =(11.5-13)/(3.0456/√50)=-3.4826
根据该t值能否拒绝零假设呢？在没有设 定置信水平之前，无法回答这个问题。 现假定置信水平为5%，即 =5%。
当自由度为49时，在5%的显著水平下，查表 得临界的t值为-2.0096和2.0096 （见下图） ， 获此t值小于或等于-2.0096的概率为2.5%，获 得此t值大于或等于2.0096的概率也为2.5%。
95% t =-3.5
=2.5%
=2.5%
-2.0096
0
2.0096
t检验的显著性：双边检验
显然，t值位于t分布的左侧拒绝区域。因此， 拒绝零假设。
零H0
x= 0
t检验小结 备择假设
临界区域，拒绝H0，若
x>0
x= 0
x<0
x= 0
x≠0
最后一列给出了t临界值，第一个下标表示显著水平，d.t代表自由度。
用假设的语言，将x =13称为零假设，用符号H0 表示。即，H0: x =13
与备零 择假假设设相有对以应下的 几是 种形备式择：假设，用符号H1表示，
H1： x＞13 称为单边备择假设；
H1： x＜13 称为单边备择假设；
H1： x≠13 称为双边备择假设。
为了检验零假设（和备择假设）,根据样本数据及 统计理论建立判定规则来判断样本信息是否支持 零假设。若支持，不拒绝零假设，反之拒绝零假 设，接受备择假设。