【高考领航】高三数学(文)二轮复习练习：1-7-1古典概型与几何概型

限时速解训练十七
古典概型与几何概型
(建议用时 40 分钟)
一、选择题
(在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求
的 )
1．如图， 边长为
2 的正方形中有一关闭曲线围成的暗影地区，
在正方形中随机撒一粒豆子，
它落在暗影地区内的概率为
2，则暗影地区的面积
3
S 为 (
)
1
B.
8
A. 15
3
1
2
C.11
D.3
分析：选 B. 由几何概型得
2 S 8
3
＝ ，得 S ＝ .
4 3
2．在区间 [0,3] 之间随机抽取一个数
x ，则知足 3x － 2≥0的概率为 (
)
7
2 A. 9
B.3
1
1 C.2
D.3
3－ 2
分析：选
2 3
7
A. 由 3x － 2≥0得 x ≥ ，故所求概率为
＝ .
3
3
9
3．同时扔掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为
3 的概率是 (
)
1
1 A. 18
B.12
1
1 C.9
D.6
分析：选 D.同时扔掷两个骰子，基本领件总数为 36，记 “向上的点数之差的绝对值为3”为
事件 A ，则事件 A 包括的基本领件有 (1,4)，(2,5)，(3,6)，(6,3)，(4,1) ，(5,2) ，共 6 个，故 P(A)
＝ 6 1
36
＝ .
6
1 ”发生的概率为 (
)
4．在区间 [0,2 π]上随机取一个数 x ，则事件 “ sin x 2 ≥
1
1
A. 4
B.3
1
2 C.2
D.3
分析：选
1
π]，得 π 5π
B. 由 sin x ≥， x ∈ [0,2
≤ x ≤ ，
2
6 6 5π π ∴所求概率 P ＝ 6 －6＝ 1
.应选 B.
2π－0 3
5．已知会合
M ＝{1,2,3,4} ，N ＝{(a ， b)|a ∈M ， b ∈ M} ，A 是会合 N 中随意一点， O 为坐标
原点，则直线 OA 与 y ＝ x 2
＋ 1 有交点的概率是 (
)
1 1 A. 2
B.3
1 1 C.4
D.8
分析： 选 C.易知过点 (0,0)且与 y ＝ x 2＋ 1 相切的直线为 y ＝ 2x( 斜率小于 0 的无需考虑 )，会合
N 中共有 16 个元素，此中使 OA 的斜率不小于 2 的有 (1,2)，(1,3) ，(1,4) ，(2,4)，共 4 个，故
所求的概率为
4 ＝1
.
16
4
6．在区间 [ － 2,3] 上随机选用一个数 X ，则 X ≤1的概率为 (
)
4 3 A. 5
B.5
2 1 C.5
D.5
分析：选 B. 区间 [ －2,3] 的长度为 5，区间 [－2,1] 的长度为 3，所以 P(X ≤1)＝ 3
，选 B.
5
7．从 1,2,3,4,5 中随机取 3 个不一样的数，则其和为奇数的概率为
()
1 2 A. 5
B.5
3 4 C.5
D.5
分析：选 B. 从 1,2,3,4,5 中随机取 3 个不一样的数，有 (1,2,3) 、(1,2,4) 、(1,2,5) 、(1,3,4) 、(1,3,5) 、 (1,4,5) 、(2,3,4) 、(2,3,5) 、(2,4,5) 、(3,4,5) ，共 10 种状况．此中 (1,2,4) 、(1,3,5) 、(2,3,4) 、(2,4,5)
中 3 个数之和为奇数，所以所求概率为
2，选
5
B.
8．如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为 (1,0) ，且点 C 与点 D 在函数 f(x)
x ＋ 1， x ≥0，
＝
的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自暗影部分的
－ 1
x ＋ 1，
x ＜ 0
2
概率等于 (
)
1 1 A. 6
B.4
3 1 C.8
D.2
分析：选 B.易知点 C 的坐标为 (1,2)，点 D 的坐标为 (－ 2,2)，所以矩形 ABCD 的面积为 6，
暗影部分的面积为
3
，故所求概率为 1
2
4
.
－ 1≤x ≤2
W ，从 W 中随机取点
9．在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组
表示的平面地区为
0≤ y ≤2
M(x ，y)．若 x ∈ Z ， y ∈ Z ，则点 M 位于第二象限的概率为 ()
1 1 A. 6
B.3
π
π
C ． 1－12
D ．1－6
分析：选 A. 画出平面地区 M( 图略 )可知，平面地区 M 内的整数点有 ( －1,0)，(－ 1,1)，(－1,2)，
(0,0) ，(0,1)， (0,2)， (1,0)， (1,1)， (1,2)， (2,0)， (2,1)， (2,2)，共 12 个．此中位于第二象限的
点有 (－ 1,1)， (－ 1,2)，共
2 个，所以所求概率
P ＝1，选
6
A.
10．把半径为
2 的圆分红相等的四段弧，
再将四段弧围成星形放在半径为
2 的圆内， 此刻往
该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为
( )
A.
4
－1
B. 2
π
π C. 4－ 1
D. 1
π 2
2
分析：选 A. 由题意知，星形弧半径为
2，所以点落在星形内的概率为
2
1
2－
π·2
－
π·2
4
2×2×2 ×2×4
4
－ 1，应选 A.
P ＝
2
＝
π·2
π
11．随机掷两枚质地平均的骰子， 它们向上的点数之和不超出
4 的概率记为 p 1，点数之和大
于 8 的概率记为 p 2，点数之和为奇数的概率记为 p 3，则 (
)
A ． p 1＜ p 2＜p 3
B ．p 2＜ p 1＜ p 3
C ． p 1＜ p 3＜p 2
D ． p 3＜ p 1＜ p 2
分析：选 A. 随机掷两枚质地平均的骰子，共有
36 种不一样结果，此中向上的点数之和不超出
4 的有 6 种不一样结果；点数之和大于 8 的有 10 种不一样结果；点数之和为奇数的有 18 种不一样
结果，故 p 1＝ 6 ＝ 1， p 2＝10＝ 5 ， p 3＝18＝ 1
，故 p 1 ＜p 2＜ p 3.
36 6 36 18 36 2
12．连续扔掷两次骰子获得的点数分别为
m ，n ，向量 a ＝ (m ，n)与向量 b ＝ (1,0)的夹角记为
π
的概率为 (
) α，则 α∈ 0， 4
5 5
A. 18
B.12
1 7 C.2
D.12
分析：选 B.由题知 (m ，n)的全部可能状况有
(1,1)，(1,2)， ，(6,5)，(6,6)，共 36 种． cos 〈 a ，
m
，
b 〉＝
m 2＋n 2
π
2 m
∵ α∈ 0， 4 ，∴ 2 ＜ m 2＋ n 2＜ 1，∴n ＜ m.又知足 n ＜ m 的有 (2,1)，(3,1) ，(3,2)， ，(6,3)，
15＝ 5
(6,4) ，(6,5)，共 15 种状况，故所求概率为 P ＝ 36
12
.
二、填空题 (把答案填在题中横线上 )
13．从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ________．
分析：从 1,2,3,6 这 4 个数中一次抽取
2 个数的全部基本领件有 (1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，
2
(3,6) ，共 6 个，所取 2 个数的乘积为 6 的基本领件有 (1,6) ，(2,3)，共 2 个，故所求概率 P ＝6
＝ 1
.
3 答案：
1
3
14．从会合 { － 2，－ 1,1} 中随机选用一个数记为 k ，从会合 { － 1，1,3} 中随机选用一个数记 为 b ，则直线 y ＝kx ＋ b 不经过第四象限的概率为 ________．
分析：有序实数组
(k ， b) 的全部结果是 (－ 2，－ 1)， (－ 2,1)， (－ 2,3)， (－ 1，－ 1)， (－ 1,1)，
( －1,3)， (1，－ 1)， (1,1)，(1,3) ，共 9 个，此中使直线 y ＝ kx ＋ b 不经过第四象限的有
(1,1)，
2
(1,3) ，共 2 个，所以直线 y ＝ kx ＋ b 不经过第四象限的概率为 9.
答案：
2
9
15．从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名 (每名同学被选中的时机均等 )，这 2 名恰巧是
1 名男
生与 1 名女生的概率为 ________．
分析：设 2 名男生为 A ，B,3 名女生为 a ，b ，c ，则从 5 名同学中任选 2 名的方法有 (A ，B) ， (A ， a)， (A ， b)， (A ，c)， (B ， a)， (B ，b) ，(B ， c)， (a ， b)， (a ， c)， (b ， c)，共 10 种，两
这
2 名同学恰巧是 1 男 1 女的有 (A ， a)， (A ， b)， (A ，c)，(B ， a)， (B ，b) ，(B ， c)，共 6 种，
6
3
故所求的概率 P ＝10＝ 5.
答案： 3
5
16．在区间 [0,1] 内随机地拿出两个数，则两数之和不小于
4
的概率是
________．
5
分析：设随机拿出的两个数分别为
x ， y ，则 0≤x ≤1,0 ≤y ，≤1依题意
有
4
x ＋ y ≥ ，如下图，
5
1 2
1 4 4
－
× × 17
由几何概型知，所求概率
P ＝
2 5 5
1
2
＝ 25
.
17
答案：。