空间直角坐标系

学习过程
一、复习预习
1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？
2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？
二、知识讲解
1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．
教师进一步明确：
（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度
的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．
2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．
思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？
在学生充分讨论思考之后，教师明确：
（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．
（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．
这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．
教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念
对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）
思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？
解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．
（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
【答案】A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）．
【解析】A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）．
【题干】结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21
的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表
钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，
试写出全部钠原子所在位置的坐标。

【答案】下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：
（0,0,0），（1,0,0），（1,1,0），（0,1,0），（21,21
,0），
中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为： （21,0,21），（1,21,21），（21,1, 21），（0,21, 21
）
上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：
（0,0,1），（1,0,1），（1,1,1），（0,1,1），（21,21
,1）。

【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标。

下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：
（0,0,0），（1,0,0），（1,1,0），（0,1,0），（21,21
,0），
中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为： （21,0,21），（1,21,21），（21,1, 21），（0,21, 21
）
上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：
（0,0,1），（1,0,1），（1,1,1），（0,1,1），（21,21
,1）。

如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱AA1平行于z轴．当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）
A．该三棱柱主视图的投影不发生变化
B．该三棱柱左视图的投影不发生变化
C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化
D．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化
【答案】选B
【解析】
A、该三棱柱主视图的长度是AB或者AC在y轴上的投影，随C点得运动发生变化，故错误．
B、设O1是z轴上一点，且AA1=OO1，则该三棱柱左视图就是矩形AOO1A1，图形不变．故正确．
C、该三棱柱俯视图就是△ABC，随C点得运动发生变化，故错误．
D、与B矛盾．故错误．
四．课堂运用
【基础】
1.在长方体OABC－D’A’B’C’中，∣OA∣＝3，∣OC∣＝4，∣OD'∣＝2，写出D'、C、 A'、
B'四点关于平面xOy对称的坐标。

【答案】D'点对称点的坐标是（0,0，-2），点C对称点的
坐标为（0,4，0），点A'对称点的坐标为（3,0，-2），B'
的对称点坐标为（3,4，-2）。

【解析】因为D'在z轴上，且∣OD'∣＝2，它的竖坐标为2，它的横坐标与纵坐标都是零，所以D'点的坐标是（0,0，2），点C在y轴上，且∣OC∣＝4,所以点C的坐标为（0,4，0），点A'的坐标为（3,0，2），B'的坐标为（3,4，2）。

所以D'点对称点的坐标是（0,0，-2），
点C对称点的坐标为（0,4，0），点A'对称点的坐标为（3,0，-2），B'的对称点坐标为（3,4，-2）。

2.点P（1，4，-3）与点Q（3，-2，5）的中点坐标是（）
A．（4，2，2，）B．（2，1，1，）C．（2，-1，2，）D．（4，-1，2，）
【答案】选B
【解析】解：由点P（1，4，-3）与点Q（3，-2，5），M为线段PQ的中点，
得到M的坐标为即（2，1，1）．
【巩固】
1.在空间直角坐标系中，点P（2，3，4）与Q （2，3，-4）两点的位置关系是（）
A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对【答案】选B
【解析】解：因为在空间直角坐标系中，点P（2，3，4）与Q （2，3，-4）两个点的横坐标，纵坐标相同，竖坐标相反，所以两点关于xOy平面对称，
2.在空间直角坐标系中，点P（1，3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（）【答案】选B
【解析】解：点P（1，3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（1，3，5）．
故选：B．
【拔高】
1.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）
【答案】选B
【解析】解：由题意如图，平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，
竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，
所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为
故选B．
2.如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，O是AB中点，面PAB⊥面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O平行于AD的直线为y轴、以直线OP 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，E为线段PD中点，则点E的坐标
是（）
【答案】选B
【解析】解：如图所示，△PAB是正三角形，P点的坐标为，
因为四边形ABCD是正方形，得D（-2，4，0），
又P，E为PD的中点，
由中点坐标公式可得E
课程小结
1．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
2．有序实数组；
课后作业
【基础】
1.【题干】如图，正方体ABCD–A
1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标.
2.【题干】如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.
【巩固】
1.已知点P（-1，3，-4），且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐标依次为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）和（x3，y3，z3），则（）
A．x22+y32+z12=0 B．x12+y22+z32=0
C．x32+y12+z22=0 D．以上结论都不对
2.如图所示，正方体的棱长为1，点A是其一棱的中点，则点A在
空间直角坐标系中的坐标是（）
【拔高】
1.ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，．试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
2.若 x+2y+4z=1，则 x2+y2+z2的最小值是。