四川内江市2018-2019学年高二下学期期末检测数学理科试卷附答案详析

四川内江市2018-2019学年高二下学期期末检测
数学理科试题
一、单选题
1．设i 是虚数单位，则复数22i i
-的虚部是（ ） A ．2i B ．2
C ．2i -
D ．2- 2．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．()0,∞+
C ．()0,1
D ．()0,2
3．方程 至少有一个负根的充要条件是
A ．
B ．
C ．
D ． 或
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠； ②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1；
③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±；
④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+
<m x x ”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的夹角是（
） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
6．函数()32ln f x x x x =---
的单调递增区间是（ ） A ．()0,∞+ B ．()3,1-
C ．()1,+∞
D ．()0,1 7．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．15
8．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>经过点()3,2，且离心率为3，则它的虚轴长是（ ） A ．25 B ．45 C ．2 D ．4
9．若随机变量X 服从正态分布()8,1N ，则()67P X <<=（ ）
附：随机变量()
()2~,0X N μσσ>，则有如下数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=， ()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.
A ．1
B ．0.1359
C ．0.3413
D ．0.4472 10．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ）
A ．83
B ．1或83
C ．82
D ．1或82
11．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为5
b ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．29
12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()(2)f x f x x =-+，当0x <时，
()21f x x '<+，若()()242f a f a a -≤--+，则实数a 的最小值是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．12
D ．12- 二、填空题
13．某单位在3名男职工和5名女职工中，选取4人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______.
14．正方体1111ABCD A B C D －中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值为______.
15．已知函数()()22ln 0x f x x x a a
=
-+>，若函数()f x 在[]1,2上为单调函数，则实数a 的取值范围是_____. 16．已知F 为抛物线2
:C y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且12OA OB ⋅=uu r uu u r （其中O 为坐标原点），若ABO ∆的面积是1S ，AFO ∆的面积是2S ，则124S S +的最小值是______.
三、解答题
17．（1）证明不等式：1x e x ≥+，x ∈R ；
（2）已知0m >，()():220p x x +-≤；:11q m x m -≤≤+；p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.
18．已知椭圆()222
:220C x y b b +=>. （1）求椭圆C 的离心率e ；
（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且2113
AB =
，求AOB ∆的面积.
19．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入（单位百元） [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65 [)65,75
频数 5 10
15 10 5 5 赞成人数
4 8 12
5 2 1
（1）由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；
月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计
赞成 a =______________ c =______________ ______________ 不赞成 b =______________ d =______________ ______________ 合计
______________ ______________ ______________
（2）若对在[)15,25、[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
参考公式：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考值表： ()20P K K ≥
0.50 0.40
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0K
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．如图，矩形ABCD 所在的平面与直角梯形CDEF 所在的平面成60的二面角，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3EF =，6CF =，45CFE ∠=o .
（1）求证：//BF 面ADE ；
（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为277
.
21．已知抛物线()220y px p =>上一点()022M x ，到焦点F 的距离032
x MF =，倾斜角为α的直线经过焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B .
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）若α为锐角，作线段AB 的中垂线m 交x 轴于点P .证明：cos2FP FP α-⋅为定值，并求出该定值.
22．已知函数()2x
f x ax e =-. （1）当2
e a <时，求证：()
f x 在()0,∞+上是单调递减函数； （2）若函数()f x 有两个正零点1x 、()212x x x <，求a 的取值范围，并证明：124x x +>.
解析
四川内江市2018-2019学年高二下学期期末检测
数学理科试题
一、单选题
1．设i 是虚数单位，则复数22i i
-的虚部是（ ） A ．2i
B ．2
C ．2i -
D ．2- 【答案】B 【解析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.
【详解】
2222112i i i i i
-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选：B. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
2．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．()0,∞+
C ．()0,1
D ．()0,2
【答案】A
【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围.
【详解】 椭圆的标准方程为2
211x y m
+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则101m
<<，解得1m >，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选：A. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．方程 至少有一个负根的充要条件是
A ．
B ．
C ．
D ． 或
【解析】试题分析：① 时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则 ；
若方程有两个负的实根，则必有
＜ ．． ②若 时，可得 也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则 ．反之，若 ，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于 的方程 至少有一负的实根的充要条件是 ．
故答案为：C
【考点】充要条件，一元二次方程根的分布
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠； ②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1；
③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±；
④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+
<m x x ”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；
对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；
对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则
201y q =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；
对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选：C.
本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
5．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的夹角是（
） A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
【答案】D 【解析】设向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的夹角为θ，计算出向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的坐标，然后由12131213
cos PP PP PP PP θ⋅=⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 计算出cos θ的值，可得出θ的值.
【详解】
设向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的夹角为θ，
()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-uuu r Q ，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-uuu r ，
则12131213
cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，90θ=，故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 6．函数()32ln f x x x x =---
的单调递增区间是（ ） A ．()0,∞+
B ．()3,1-
C ．()1,+∞
D ．()0,1 【答案】D
【解析】求出函数()y f x =的定义域和导数，然后在定义域内解不等式()0f x '>可得出函数()y f x =的单调递增区间.
【详解】
函数()32ln f x x x x =---的定义域为()0,∞+，且()22223231x x f x x x x
+-'=--+=-， 解不等式()0f x '>，即2230x x +-<，由于0x >，解得01x <<.
因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意导数与函数单调区间之间的关系，另外解出相应的导数不等式后，还应将不等式的解集与定义域取交集即可得出函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题.
7．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．15
【答案】A 【解析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值.
【详解】
0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=；
1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=；
3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=.
7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.
由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选：A.
【点睛】
本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>经过点
(
)
3,2，且离心率为3，则它的虚轴长是（ ）
A ．25
B ．45
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】根据题中条件列出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，可得出该双曲线的虚轴长. 【详解】
由题意可得222
2
2341
190,0
a b b e a a b ⎧-=⎪⎪⎪=+=⎨⎪
>>⎪⎪⎩
，解得10225a b ⎧=⎪⎨
⎪=⎩，因此，该双曲线的虚轴长为245b =，故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线虚轴长的计算，解题的关键利用题中条件列方程组求a 、b 的值，考查方程思想的应用，属于中等题.
9．若随机变量X 服从正态分布()8,1N ，则()67P X <<=（ ）
附：随机变量()
()2
~,0X N μσσ>，则有如下数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.
A ．1
B ．0.1359
C ．0.3413
D ．0.4472
【答案】B
【解析】先将6、7用μ、σ表示，然后利用题中的概率求出()67P X <<的值. 【详解】
由题意可知8μ=，21σ=，则1σ=，62μσ∴=-，7μσ=-，因此，
()()
672P X P X μσμσ<<=-<<-()()0.95440.6826
022.135922
P X P X μσμσμσμσ-=
==-<<+--<<+，
故选：B.
本题考查利用正态分布3σ原则求概率，解题时要将相应的数用μ和σ加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.
10．已知8
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ） A ．83 B ．1或83
C ．82
D ．1或82
【答案】B
【解析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】
8a x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式通项为882188k
k k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222
828112C a a ⋅==，得2a =±.
当2a =时，二项式为8
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；
当2a =-时，二项式为8
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二
项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.
11．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切
圆的半径为
5
b
，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
12 B ．13
C ．
14
D ．
29
【答案】C
【解析】利用等面积法得出a 、b 、c 的等式，可得出a 、c 的等量关系式，可求出椭圆的离心率.
由椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为S bc =，
该三角形的周长为22a c +，由题意可得()12225
b
S bc a c ==+⋅，可得5a c c +=， 得1
4c e a =
=，因此，该椭圆的离心率为14
，故选：C. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关a 、b 、c 的齐次等式，通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题.
12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()(2)f x f x x =-+，当0x <时，
()21f x x '<+，若()()242f a f a a -≤--+，则实数a 的最小值是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．
12
D ．12
-
【答案】A
【解析】构造函数()()2
g x f x x x =--，根据等式()()2f x f x x -=+可得出函数()y g x =为偶函
数，利用导数得知函数()y g x =在(),0-∞上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在()0,∞+上单调递增，由()()242f a f a a -≤--+，得出()()2g a g a -≤-，利用函数()y g x =的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可. 【详解】
构造函数()()2
g x f x x x =--，对任意实数x ，都有()()2f x f x x -=+，
则()()()()()()()2
222g x f x x x f x x x x f x x x g x =--=--+-=-+---=-， 所以，函数()y g x =为偶函数，()()
g x g x ∴=.
当0x <时，()()210g x f x x ''=--<，则函数()y g x =在(),0-∞上单调递减， 由偶函数的性质得出函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，
()()242f a f a a -≤--+Q ，即()()()()()()2
2
222f a a a f a a a -----≤-----，
由于函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，2a a ∴-≤，即()2
2a a -≤，解得1a ≥，
因此，实数a 的最小值为1，故选：A. 【点睛】
本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
二、填空题
13．某单位在3名男职工和5名女职工中，选取4人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______. 【答案】65.
【解析】在没有任何限制的条件下，减去全是女职工的选法种数可得出结果. 【详解】
由题意可知，全是女职工的选法种数为4
55C =，
因此，男女职工都有的选法种数为44
8570565C C -=-=，故答案为：5.
【点睛】
本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.
14．正方体1111ABCD A B C D －中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值为______.
【答案】
2
6
. 【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算出平面11AC FE 的一个法向量n ，利用空间向量法计算出直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值. 【详解】
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、
则点()1,0,0E 、()2,1,0F 、()2,2,0C 、()10,0,2A 、()12,2,2C 、()10,2,2D ，
设平面11AC FE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()112,2,0AC =uuu u r ，()
11,0,2A E =-uuu r
. 由11100n A C n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x z +=⎧⎨-=⎩，得2y x x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令2x =，则2y =-，1z =.
可知平面11AC FE 的一个法向量为()2,2,1n =-r ，又()12,0,2CD =-uuu r
.
111
22cos ,6322n CD n CD n CD ⋅-===-⨯⋅r uuu r r uuu r r uuu r ，
因此，直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值为26，故答案为：
2
6
. 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向
量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15．已知函数()()22ln 0x
f x x x a a
=-+>，若函数()f x 在[]1,2上为单调函数，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】210,
,153⎛⎤⎡⎫
⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【解析】分两种情况讨论：函数()y f x =在区间[]1,2上为增函数或减函数，转化为()0f x '≥或
()[]1111
[]
然后利用单调性求出函数1
4y x x
=-在区间[]1,2上的最大值和最小值，可求出实数a 的取值范围. 【详解】
()22ln x f x x x a =
-+Q ，()114f x x a x
'∴=-+. ①当函数()y f x =在区间[]1,2上单调递增，则不等式()0f x '≥在区间[]1,2上恒成立， 即
1140x a x -+≥，则114x a x ≥-，由于函数1
4y x x
=-在区间[]1,2上单调递增， max 1154222y ∴=⨯-
=，1152a ∴≥，0a >，解得2
015
a <≤； ②当函数()y f x =在区间[]1,2上单调递减，则不等式()0f x '≤在区间[]1,2上恒成立， 即
1140x a x -+≤，则114x a x ≤-，由于函数1
4y x x
=-在区间[]1,2上单调递增， min 14131y ∴=⨯-=，13a ∴≤，0a >，解得13
a ≥.
因此，实数a 的取值范围是210,,153⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故答案为：210,,153⎛⎤⎡⎫
⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，
另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
16．已知F 为抛物线2
:C y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且12OA OB ⋅=uu r uu u r
（其
中O 为坐标原点），若ABO ∆的面积是1S ，AFO ∆的面积是2S ，则124S S +的最小值是______. 【答案】45
【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，利用12OA OB ⋅=uu r uu u r
，可得出124y y =-，并设直线AB 的方程为x my b =+，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出b 的值，可得出直线AB 过定点()4,0E ，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出124S S +的最小值. 【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，
221212121212OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=uu r uu u r ，则()21212120y y y y +-=，
易知120y y <，得124y y =-，21
4
y y ∴=-
. 设直线AB 的方程为x my b =+，代入抛物线的方程得20y my b --=，则124y y b =-=-， 得4b =，所以直线AB 的方程为4x my =+，直线AB 过x 轴上的定点()4,0E ，
121211111111111415858
44422224222S S y y y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯⨯=++=+≥⋅ ⎪⎝
⎭45=，
当且仅当145
5
y =时，等式成立，因此，124S S +的最小值为45，故答案为：45. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题.
三、解答题
17．（1）证明不等式：1x
e x ≥+，x ∈R ；
（2）已知0m >，()():220p x x +-≤；:11q m x m -≤≤+；p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.
【答案】（1）见证明；（2）(]0,1.
【解析】（1）构造函数()1x
f x e x =--，将问题转化为()min 0f x ≥，然后利用导数求出函数()
y f x =的最小值即可得证；
（2）解出命题p 中的不等式，由题中条件得出x 的两个取值范围之间的包含关系，然后列出不等式组可解出实数m 的取值范围. 【详解】
（1）即证：10x e x --≥，x ∈R .
令()1x
f x e x =--，x ∈R ，则()1x
f x e '=-，令()0f x '=，得0x =.
当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.
所以，函数()y f x =单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.
所以，函数()y f x =在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 00f x f ==. 因此，()()min 0f x f x ≥=，因此，对任意的x ∈R ，1x e x ≥+； （2）解不等式()()220x x +-≤，得22x -≤≤，则:22p x -≤≤. 由于p 是q 的必要不充分条件，则[][]2,21,1m m --+Ý，
则有12120m m m -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
，解得01m <≤.
当1m =时，则[][]2,20,2-Ý，合乎题意. 因此，实数m 的取值范围是(]0,1. 【点睛】
本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合间的包含关系求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
18．已知椭圆()2
2
2
:220C x y b b +=>.
（1）求椭圆C 的离心率e ；
（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且211
3
AB =
，求AOB ∆的面积. 【答案】（1）2
2e =
；（2）2212
. 【解析】（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，得出a 、c 与b 的等量关系，可得出椭圆C 的离心率
的值；
（2）设直线l 的方程为y x m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将b 的值代入得出椭圆C 的方程，将
直线l 的方程与椭圆C 联立，消去y ，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件211
3
AB =
可求出m ，利用点到直线的距离公式计算出原点O 到直线l 的距离d ，然后利用三角形的面积公式可得出OAB ∆的面积. 【详解】
（1）椭圆()22
22:102x y C b b b
+=>，∴椭圆长半轴长为2a b =，短半轴长为b ，
222221122
c b b e a a b ∴==-=-=
；
（2）设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，且()11,A x y 、()22,B x y ，
1b =Q ，∴椭圆C 的方程为22:22x y +=，
由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，.消去y 得2234220x mx m ++-=，又有122
1243223m x x m x x -⎧
+=⎪⎪⎨-⎪⋅=
⎪⎩
. ()
222
212121216884
22423933
m m AB x x x x x x m -∴=-=⨯
+-=⨯-=-2113=， 解得：2
14m =
满足>0∆，∴直线l 的方程为1
02
x y -±=. 故O 到直线的距离1
2242
d ==，11211222223412AOE S AB d ∆∴=⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方
程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.
19．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入（单位百元）
[)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65 [)65,75
5101055
赞成人数 4 8 12 5 2 1
（1）由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成
a =______________ c =______________
______________
不赞成 b =______________ d =______________
______________
合计 ______________ ______________
______________
（2）若对在[)15,25、[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考值表：
()20P K K ≥ 0.50 0.40
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.010
0.005 0.001
K 0.455 0.708 1.323
2.072
2.706
3.841 5.024 6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见解析，没有99 %的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态4
E x =
【解析】（1）根据题干表格中的数据补充22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，将观测值与6.635作大小比较，于此可对题中结论进行判断；
（2）由题意得出随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，然后利用超几何分布概率公式计算出随机变量ξ在相应取值时的概率，可得出随机变量ξ的分布列，并计算出该随机变量ξ的数学期望. 【详解】
（1）22⨯列联表： 月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计 赞成
a =________3______ c =_______29_______
____32_____ 不赞成
b =_______7_______ d =_______11_______ ______
18
_____
合计 _______10_____ ________40______
_____50____
2
2
50(311729) 6.27 6.63510403218
K ⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯
则没有99 %的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异； （2）ξ的所有可能取值有：0、1、2、3.
()22
84
225106288401045225
C C P C C ξ∴==⨯=⨯=，
()21112
882442222
510510428616104
110451045225
C C C C C C C P C C ξ⨯==⨯+⨯=⨯+⨯=， ()11122
8244222225105104166135
210451045225
C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=⨯+⨯=，
()124222510412
31045225
C C P C C ξ==⨯=⨯=.
则ξ的分布列如下表：
ξ
1
2
3
P
84
225
104
225
35
225
2225
则ξ的期望值是：841043524
01232252252252255
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查独立性检验以及随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，再结合相应的概率公式计算即可，考查分析问题与计算能力，属于中等题.
20．如图，矩形ABCD 所在的平面与直角梯形CDEF 所在的平面成60的二面角，//DE CF ，
CD DE ⊥，2AD =，3EF =，6CF =，45CFE ∠=o .
（1）求证：//BF 面ADE ；
（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为27
7
. 【答案】（1）见解析；（2）G 为线段CF 的中点.
【解析】（1）利用面面平行的判定定理证明出平面//BCF 平面ADE ，再利用平面与平面平行的性
质得出//BF 平面ADE ；
（2）由C D A D ⊥，CD DE ⊥，由二面角的定义得出60ADE ∠=，证明出平面CDE ⊥平面ADE ，过点A 在平面ADE 内作AO DE ⊥，可证明出AO ⊥平面CDEF ，以点O 为坐标原点，OE 、OA 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设点G 的坐标为()()3,,015t t -≤≤，利用向
量法结合条件锐二面角的余弦值为
27
7
求出t 的值，由此确定点G 的位置. 【详解】
（1）在矩形ABCD 中，//BC AD ，又AD ⊂Q 平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，
//BC ∴平面ADE ，同理可证//CF 平面ADE ，
BC CF C ⋂=Q ，BC 、CF ⊂平面BCF ，∴平面//BCF 平面ADE ， BF ⊂平面BCF ，//BF ∴平面ADE ；
（2）在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，又
C D D E ⊥，则矩形ABCD 所在平面与直角梯形所在平面所
成二面角的平面角为ADE ∠，即60ADE ∠=. 又AD DE D ⋂=Q ，CD \^平面ADE ，
作AO DE ⊥于O ，AO ⊂Q 平面ADE ，AO CD ∴⊥， 又CD
DE D =，CD 、DE ⊂平面CDEF ，AO ∴⊥平面CDEF .
作EH CF ⊥于H ，32EF =Q ，45ECF ∠=o ，3CD EH HF ∴===，
6CF =Q ，3CH DE ∴==，1OD =，2OE =.
以O 为原点，OE 、OA 所在直线分别为y 轴、z 轴如图建立空间直角坐标系O xyz -，
则()
3,0,3B 、()0,2,0E ，设()()3,,015G t t -≤≤.
则()3,2,3BE =--uur ，()
0,,3BG t =-uu u r
，
设平面BEG 的一个法向量为()1,,n x y z =，则110
0BE n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即323030
x y z ty z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，取3y =，则
3z t =，2x t =-，则平面BEG 的一个法向量为()
12,3,3n t t =-u r
.
.又平面DEG 的一个法向量为()20,0,1n =u u r ，122327cos ,7
4413
t n n t t ∴=
=
-+u r u u r
， 解得2t =或26
5
t =-
（舍去）. 此时，
1CG GF =，1302G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，， 即所求点G 为线段CF 的中点. 【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角
的动点问题，一般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
21．已知抛物线()2
20y px p =>上一点()
022M x ，
到焦点F 的距离0
32
x MF =，倾斜角为α的直线经过焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B . （1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）若α为锐角，作线段AB 的中垂线m 交x 轴于点P .证明：cos2FP FP α-⋅为定值，并求出该定值.
【答案】（1）抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-； （2）cos2FP FP α-⋅为定值4，证明见解析. 【解析】（1）利用抛物线的定义结合条件0
32
x MF =
，可得出0x p =，于是可得出点M 的坐标，然后将点M 的坐标代入抛物线的方程求出p 的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；
（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x ，列出韦达定理，计算出线段AB 的中点C 的坐标，由此得出直线m 的方程，并得出点P 的坐标，计算出PC 和FP 的表达式，可得出sin PC
FP
α=
，然后利用二倍角公式可计算出cos2FP FP α-⋅为定值，进而证明题中结论成立.
【详解】
（1）由抛物线的定义知，00322
x p MF x =+
=，0x p ∴=. 将点()
,22M p 代入22y px =，得228p =，得2p =.
∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x ty =+，
由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2
440y ty --=，则1212
44y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩，
()21212242x x t y y t ∴+=++=+，()221,2C t t ∴+.
设直线AB 中垂线m 的方程为：()
2221y t t x t ⎡⎤-=--+⎣⎦，
令0y =，得：223x t =+，则点()
223,0P t +，244PC t ∴=+，2
22FP t =+.
()2
2
22
22442cos 22sin 2422t PC FP FP FP FP FP PC FP t αα+⎛⎫∴-==⋅=== ⎪ ⎪+⎝⎭
，
故cos2FP FP α-⋅为定值4. 【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线
方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算. 22．已知函数()2
x
f x ax e =-.
（1）当2
e
a <
时，求证：()f x 在()0,∞+上是单调递减函数； （2）若函数()f x 有两个正零点1x 、()212x x x <，求a 的取值范围，并证明：124x x +>.
【答案】（1）见证明；（2）实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，证明见解析
.
【解析】（1）由题意得出()0f x '≤在区间()0,∞+上恒成立，由2
e a <
得出()2x
f x ax e '=-<x ex e -，构造函数()x
g x ex e =-，证明()0g x ≤在区间()0,∞+上恒成立即可；
（2）由()0f x =利用参变量分离法得出2x
e a x =，将题意转化为当直线y a =与函数()2x e h x x
=在
()0,∞+上有两个交点时求a 的取值范围，利用数形结合思想求解即可，然后由题意得出1
2
2122
x x e a x e a x ⎧
=
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，
取自然对数得11
22
ln 2ln ln 2ln a x x a x x =-⎧⎨=-⎩，等式作差得
1212
2ln ln x x x x -=-，利用分析得出所证不等式等价于()()21ln 011t t t t -<
<<+，然后构造函数()()
21ln 1
x g x x x -=-
+证明即可. 【详解】
（1）()2
x
f x ax e =-Q ，()2x
f x ax e '∴=-.
由题意知，不等式()0f x '≤在区间()0,∞+上恒成立， 由于2
e a <
，当0x >时，()2x x
f x ax e ex e '=-<-， 构造函数()x
g x ex e =-，其中0x >，则()x
g x e e '=-，令()0g x '=，得1x =. 当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.
所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 10g x g ==，
()()10g x g ∴≤=，所以，()()20x x f x ax e ex e g x '=-<-=≤.
所以，不等式()0f x '<在区间()0,∞+上恒成立， 因此，当2
e
a <
时，函数()y f x =在()0,∞+上是单调递减函数； （2）令()2
0x
f x ax e =-=，可得()20x
e a x x
=>
令()()20x
e h x x x =>，则()()()3
20x e x h x x x
-'=>. 当()0h x '>时，2x >，当()0h x '<时，02x <<.
当02x <<时，函数()y f x =单调递减，当2x >时，函数()y f x =单调递增.
()()2
min
24
e h x h ∴==，
当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时.()h x →+∞.
()2a h ∴>时，函数()y f x =有两个正零点，因此，实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
由上知2
4
e a >时，1202x x <<<，
由题意得1
2
2
122
x x e a x e a x ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，上述等式两边取自然对数得11
22ln 2ln ln 2ln a x x a x x =-⎧⎨=-⎩， 两式作差得()12122ln ln x x x x -=-，12
12
2ln ln x x x x -∴
=-，
要证124x x +>，即证()
121212
2ln ln x x x x x x -+>
-.
由于1202x x <<<，则12ln ln 0x x -<，即证()
121212
2ln ln x x x x x x --<
+，
即证12
112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令()120,1x t x =∈，即证()21ln 1t t t -<+，其中01t <<. 构造函数()()
21ln 1
x g x x x -=-+，其中01x <<，即证()0g x <在()0,1上恒成立.
()()()()2
22
114
011x g x x x x x -'=-=>++，所以，函数()y g x =在区间()0,1上恒成立，
所以，()()10g x g <=，因此，124x x +>. 【点睛】
本题考查利用导数证明函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，难点在于构造新函数，借助新函数的单调性来证明，考查化归与转化数学思想的应用，属于难题.。