2020秋高中数学人教版2-12.3.2.2直线与双曲线的位置关系含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：
2.3.2.2直线与双曲线的位置关系含解析
第二章 2.32。

3.2第2课时
请同学们认真完成练案［16]
A级基础巩固
一、选择题
1．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为(B) A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析]将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1
得3x2＋2x－2＝0.
设两交点A(x1,y1),B（x2，y2）,
则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝－错误!，
∴｜AB｜＝1＋k2|x1－x2｜
＝错误!·错误!＝错误!。

故选B．
2．（2019－2020学年湖南省长沙市望城区二中月考)设双曲线E：错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）的右焦点为F,过F且斜率为1的直线l与E的右支相交不同的两点,则双曲线的离心率e的取值范围是(A)
1，2B．(错误!,2）
A．()
C．(1，2)D．(2,22)
［解析］要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双
曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线l的斜率，即错误!＜1，所以e2＝1＋错误!＜1＋1＝2,所以e∈（1，错误!）故选A．3．（2017·天津文，5)已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点)，则双曲线的方程为(D）
A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1
C．错误!－y2＝1D．x2－错误!＝1
［解析]根据题意画出草图如图所示错误!.
由△AOF的边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°,c＝|OF|＝2。

又点A在双曲线的渐近线y＝错误!x上，
∴错误!＝tan60°＝错误!。

又a2＋b2＝4，
∴a＝1，b＝错误!，
∴双曲线的方程为x2－y2
3＝1.
故选D．
4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(C）
[解析］方程可化为y＝ax＋b和错误!＋错误!＝1。

从B,D中的两椭圆看a，b∈（0,＋∞），但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b〉0,但直线有a〉0，b〉0，也矛盾,应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a、b一致．应选C．
5．设P是双曲线错误!－错误!＝1(a>0）上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若｜PF1|＝3，则｜PF2|＝（C)
A．1或5B．6
C．7D．9
[解析]∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，
∴错误!＝错误!，∵b＝3，∴a＝2.
又｜｜PF1｜－|PF2｜|＝2a＝4，
∴｜3－|PF2|｜＝4.
∴｜PF2｜＝7或|PF2｜＝－1（舍去）．
6．已知点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）上，且满足错误!·错误!＝0，tan∠PF1F2＝错误!，则该双曲线的离心率是(B）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析]如图，∵点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)上,且满足错误!·错误!＝0，
∴PF1⊥PF2，∵tan∠PF1F2＝错误!，∴错误!＝错误!，
设｜PF2|＝x，则｜PF1｜＝3x,
∴｜F1F2|＝2c＝错误!＝错误!＝错误!x，
由双曲线定义得2a＝｜PF1|－|PF2|＝3x－x＝2x，
∴该双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。

故选B．
二、填空题
7．（2019－2020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试）双曲线错误!－y2＝1一个焦点到一条渐近线的距离为__1__.
［解析］根据对称性，错误!－y2＝1焦点坐标F(错误!，0），渐近线方程为y＝错误!x，即x－2y＝0，
焦点到渐近线距离为错误!＝1.故答案为1.
8．过双曲线x2
20－错误!＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5，这样的直线有__1__条．
［解析]依题意得右焦点F(5，0)，所以过F且垂直x轴的直线是x＝5,代入错误!－错误!＝1，得y＝±错误!，所以此时弦长为错误!×2＝5。

当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比错误!长．因为两顶点间距离为4错误!，即左右两支上的点的最短距离是4错误!，所以如果交于两支的话,弦长不可能为错误!，故只有一条．
三、解答题
9．（2020·黑龙江省学业水平考试）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为错误!，过点(4，－错误!）．
（1)求双曲线标准方程；
（2）若直线y＝k(x－1）与双曲线有两个不同的公共点，求k
的取值范围．
[解析］(1)由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为错误!，过点（4，－错误!)，
设双曲线的方程为：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0），
由e＝错误!＝错误!，
可得a＝b，由其过点(4，－10),
可得错误!－错误!＝1，
可得a＝b＝错误!，故双曲线标准方程为:
错误!－错误!＝1。

(2)联立直线y＝k（x－1）与双曲线：错误!－错误!＝1，
可得：（1－k2)x2＋2k2x－k2－6＝0，
可得：1－k2≠0，且Δ＞0，
可得：4k4－4（1－k2）(－k2－6)＞0，
可得：k≠±1，且－错误!＜k＜错误!，
故k的取值范围是：
错误!∪（－1，1）∪错误!.
10．已知双曲线C：错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0）的离心率为错误!，点（错误!,0）是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．
[解析］（1)∵双曲线C：错误!－错误!＝1的离心率为错误!，点(错误!,0）是双曲线的一个顶点，
∴错误!＝错误!,a＝错误!，解得c＝3，又c2＝a2＋b2，b＝错误!，∴双曲线的方程为错误!－错误!＝1.
(2)双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为F2（3,0），
∴直线l的方程为y＝错误!（x－3），
联立错误!得5x2＋6x－27＝0,设A(x1,y1），B（x2，y2)，则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝－错误!，所以|AB|＝错误!·错误!＝错误!。

B级素养提升
一、选择题
1．(2017·全国Ⅰ文，5）已知F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3)，则△APF的面积为(D)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析］因为F是双曲线C:x2－错误!＝1的右焦点,所以F(2,0）．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为（2，y P）．
因为P是C上一点，所以4－错误!＝1，解得y P＝±3，
所以P(2，±3）,|PF|＝3.
又因为A(1，3），所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝错误!×｜PF|×1＝错误!×3×1＝错误!.
故选D．
2．设离心率为e的双曲线C:错误!－错误!＝1(a>0，b>0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(C)
A．k2－e2〉1B．k2－e2<1
C．e2－k2>1D．e2－k2〈1
[解析]直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－错误!〈k<错误!，两边平方得,k2〈错误!＝错误!＝e2－1,即
e 2－k 2>1。

3．(2020·山东卷，9）已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1( ACD ）
A ．若m 〉n >0，则C 是椭圆,其焦点在y 轴上
B ．若m ＝n 〉0，则
C 是圆，其半径为n
C ．若mn 〈0，则C 是双曲线,其渐近线方程为y ＝±错误!
D ．若m ＝0，n 〉0，则C 是两条直线
［解析］ 对于选项A ，∵m >n >0，∴0〈错误!〈错误!,方程mx 2＋ny 2＝1可变形为错误!＋错误!＝1，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，∵m ＝n >0,∴方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝错误!，该方程表示半径为错误!的圆,错误；对于选项C ，∵mn <0，∴该方程表示双曲线,令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝±错误!x ,正确；对于选项D ，∵m ＝0，n >0,∴方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±错误!，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD ．
4．（多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b ）同时增加m (m 〉0）个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则（ BD )
A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
B ．当a <b 时，e 1〉e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
D ．当a >b 时，e 1〈e 2
［解析］ 由条件知e 错误!＝错误!＝1＋错误!，e 错误!＝1＋错误!2,
当a 〉b 时，b ＋m a ＋m >错误!，∴e 错误!<e 错误!。

∴e 1〈e 2。

当a 〈b 时,错误!
<错误!，∴e 错误!〉e 错误!.∴e 1>e 2。

所以，当a 〉b 时,e 1<e 2；当a 〈b 时，e 1〉e 2.
二、填空题
5．已知直线l :x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点
A、B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是__±1__.
[解析］由错误!,消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0。

设A(x1，y1），B（x2，y2）．
则x1＋x2＝2m,y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，∴线段AB的中点坐标为(m,2m),又∵点(m，2m）在圆x2＋y2＝5上，∴5m2＝5,∴m＝±1.
6．（2019·全国Ⅰ卷理改编)已知双曲线C：错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点．若错误!＝错误!，错误!·错误!＝0，则∠F1BF2＝__90°__，C的离心率为__2__.
［解析]方法1：由错误!＝错误!，得A为F1B的中点．
又∵O为F1F2的中点,∴OA∥BF2。

又错误!·错误!＝0,∴∠F1BF2＝90°。

∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∵∠F1OA＝∠BOF2，
∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图①所示,不妨设B为错误!。

∵点B在直线y＝－错误!x上，∴错误!＝错误!，
∴离心率e＝错误!＝2.
方法2：∵错误!·错误!＝0，∴∠F1BF2＝90°。

在Rt△F1BF2中,O 为F1F2的中点，∴|OF2|＝｜OB｜＝c。

如图②，作BH⊥x轴于H，
由l1为双曲线的渐近线，可得错误!＝错误!，且|BH｜2＋｜OH｜2＝｜OB|2＝c2，∴｜BH｜＝b,|OH｜＝a，∴B（a，－b)，F2(c，0)．
又∵错误!＝错误!，∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B,∴错误!＝错误!，∴c＝2a，∴离心率e＝错误!＝2.
三、解答题
7．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1。

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为错误!，求实数k的值．
[解析］(1）由错误!,
得（1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,∴错误!
解得－错误!<k〈错误!，且k≠±1，
∴k的取值范围为(－错误!，－1)∪（－1,1)∪(1,错误!）．
(2）结合（1）,设A(x1,y1)、B（x2,y2）．
则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!，
∴｜AB｜＝错误!｜x1－x2|
＝错误!·错误!＝错误!。

∵点O到直线l的距离d＝错误!,
∴S△AOB＝错误!|AB｜d＝错误!错误!＝错误!，即2k4－3k2＝0.
∴k＝0或k＝±错误!.
∴适合题意的k的取值为0、错误!、－错误!.
8．已知双曲线C ：错误!－错误!＝1（a 〉0,b >0),如图,B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|错误!｜，|错误!|,｜错误!｜成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P .
(1）求证：错误!·错误!＝错误!·错误!;
（2)若l 与双曲线C 的左右两支分别相交于点E ，D ,求双曲线离心率e 的取值范围．
[解析］ (1)双曲线的渐近线为y ＝±错误!x ，F （c,0)，
所以直线l 的斜率为－a b ，
所以直线l ：y ＝－错误!(x －c )．
由错误!得P (错误!，错误!）,
因为|错误!｜,|错误!|，|错误!|成等比数列，
所以x A ·c ＝a 2，所以x A ＝错误!，
A （错误!，0），错误!＝（0，－错误!）,
错误!＝(错误!，错误!），错误!＝(－错误!，错误!），
所以错误!·错误!＝－错误!，
错误!·错误!＝－错误!，则错误!·错误!＝错误!·错误!.
(2)由错误!
得(b 2－a 4b 2)x 2＋2错误!cx －（错误!＋a 2b 2）＝0，
x 1x 2＝错误!，
因为点E，D分别在左右两支上，所以错误!<0,所以b2〉a2,所以e2>2，所以e>错误!。

攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。