考研讲义数三经济部分

考研讲义数三经济部分

第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数

三）

《考试要求》

1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用

(一)复利：

设某银行年利率为r ，初始存款为0

A 元，

（1）一年支付一次利息（称为年复利），则

t 年后在银行的存款余额为()t

1t

A A r =+;

（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存

款余额为0

(1)

r nt A A t n =+;

（3）由于

lim [(1)]n r

rt rt

r e n n +=→∞

，所以当每年支付次

数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0

rt

t

A A e =，

称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。

(二)将来值与现值：

上述结论中，称t

A 是0A 的将来值，而0A 是t

A

的现值。现值与将来值的关系为： 0

(1)t

t

A A r =+ ⇔

0(1)t

t A A r -=+ 或

0(1)t

t A A r =+

⇔0(1)t

t A A r -=+

例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,

年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？

例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能

按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

、

二. 经济学中的常用函数

需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；

成本函数：

1()()

C Q C C Q =+, 其中0

(0)

C

C =为固定成

本, 1

()C Q 为可变成本；

收益函数：R PQ =; 利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.

例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1

p 和2

p , 销售量分别为1

q 和2

q ,

需求函数分别为1

1

2402q

p =-, 2

2

100.05q

p =-, 总成本函

数为1

2

3540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？

例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两种要素的投入量, Q为产出量；若生产函数为12

=, 其中,αβ为正常数,

Q x xαβ

2

且1

αβ

+=, 假设两种要素的价格分别为1p和2p试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

解需要在产出量12

x xαβ=的条件下, 求总费

212

用11

22

p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数

12112212(,,)(122)

F x x p x p x x x αβ

λλ=++-.

111211

21221220,(1)20,(2)1220.(3)

F p x x x F p x x x F x x αβαβαβ

λαλβλ--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩

由(1)和(2), 得

1221216(

),()p p x x p p αββα

αβ

==；因驻点唯一, 且实际问题

存在最小值, 故当211212(

),6()p p x x p p βααβ

βα

==时, 投入总费

用最小.

三. 利用导数求解经济应用问

题

（一）、边际量：

当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、

边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯

上将()y x '视为()y y x =的边际量. 1、 定义 ： 设

()

y f x =或

()

,y f x t =，则称dy

dx

或

y x

∂∂为y 关于x 的边际函数。

2、经济学含义：dy dx

表示自变量x 增加一

个单位时经济量()y x 的改变量。

(二）、弹性函数：

1、定义：设某经济量()y y x =，称η=dy

Ey

x dy y dx Ex y dx

x

==为 ()y y x =的弹性函数。

2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量()y y x =增加（η>0时）或减小（0η<时）%η。

3、需求弹性：由于一般情况下需求函数