线性规划方法PPT

在上述变换中有关系式
xi
(1)
xi ( 0 ) − θβ i ,m+t , i ≠ l = θ , i = l
，
i = 1,2,L, m 1 ≤ l ≤ m,1 ≤ t ≤ n − m
其中
θ=
β l ,m +t
m i =1
xl
(0)
xi ( 0 ) = min β i , m + t > 0 1≤i ≤ m β i ,m +t
j =1
n
n 约束条件： ∑ aij x j ≤ bi (i = 1,2,L , m) j =1 x ≥ 0( j = 1,2,L , n) j
概念：如果问题的目标函数和约束条件分 别是关于决策变量的线性函数和线性不等 式，则称该问题为线性规划问题，其模型 称为线性规划模型。
二 线性规划模型的一般形式
的最优性 ，由约束方程组对任意解 X = ( x1 , x2 , L xn )T 有
xi = ∑ a′ x , i = 1,2,L, m.
ij j
n
将基可行解 X (1) 和任意可行解 X = ( x1 , x2 , L xn )T 分别代入 目标函数得
z
(1)
= ∑ ci xi
等号为“≥”和“＝”，则首先引入松弛变量化为标准型， m Im 再通 m B=I I
m
m
过人工变量法总能得到一个 阶单位矩阵 ，综上所述，取 如上 阶单位矩阵 为初始可行基，即 ；将相应的 xi = bi − aim +1 xm+1 − L − ain xn , i = 1,2,L m. 约束方程组变为
六、线性规划的求解方法
求线性规划问题的基本思路：首先求一个基可行解； 检查该基可行解是否为最优解；如果不是，则设法 再求另一个没有检查过的基可行解，如此进行下去， 直到得到某一个基可行解为最优解为止。
提出的问题: 1、如何求出第一个基可行解？ 2、如何判断基可行解是否为最优解？ 3、如果前面的基可行解不是最优解，则如何 由一个基可行解过渡到另一个基可行解？
A = (aij ) m×n 称为约束方程组的系数矩阵；
p j = (a1 j , a2 j ,L amj )T ( j = 1,2,L, n)
称为约束方程组的
系数向量。
三 线性规划模型的标准型 线性规划模型的标准型规定为
max z = C ⋅ X
A⋅ X = b s.t X ≥ 0
(1-1)
i =1
n
m
(1)
= ∑ ci bi′
i =1
m
m
z ( 0 ) = ∑ ci xi =∑ ci xi +
i =1 i =1
i = m +1
∑c x
n
n
i i
= ∑ ci (bi′ −
i =1
m
m
j = m +1
n
∑ a′ x
ij
j
n
j
)+
m
j = m +1
∑c x
j
ij j
j
= ∑ ci bi′ +
一 线性规划的模型
问题的引入 设某企业现有 m 种资源 Ai (i = 1, 2,L, m) 用于生 产 n 种产品 B j ( j = 1, 2,L , n) ，每种资源的拥有量和每 种单位产品所消耗的资源量以及单位产品的利润 如下表，试问如何安排生产计划使得该企业获利 最大？
产品 资源 A1 A2 B1 B2 … … … Bn 总量
基可行解：满足非负约束条件的基解称为基可行解。 基可行解 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。 可行基
五、线性规划解的基本理论
凸集：设 k 是 n 维欧式空间的一点集，若任意 凸集 两点 x (1) ∈ k ， (2) ∈ k 的连线上的一切点 x
α x (1) + (1 − α ) x (2) ∈ k , (0 ≤ α ≤ 1)
单纯形法
第一步： 第一步：初始基可行解的确定 如果线性规划问题为标准型（即约束方程全为等式）， 则从系数矩阵 A = ( aij ) m×n 中观察一般可以得到一个 m 阶单 位矩阵 I m ，如果所有约束条件是形如“ ≤”的不等式，则引 入 m
m Im 个松弛变量，可化为标准型，并将变量重新排序编号， 即可得到一个 阶单位矩阵 ；如果问题的约束条件的不
基：设系数矩阵 A = (aij ) m×n 的秩为 m ，则称 A 的某个
m× m 阶非奇异矩阵 B (det B ≠ 0) 为线性规划问题的一个
基。不妨设
B = ( aij ) m×m = ( p1 , p2 , L , pm )
则称向量 p j = (a1 j , a2 j ,L amj ) ( j = 1,2,L, m) 为基向量，其 它的称为非基向量；与基向量对应的决策变量 x j ( j = 1,2,L , m) 称为基变量，其它的变量称为非基变量。
j =1
n ∑ aij x j ≤ bi (i = 1,2,L , m) j =1 x ≥ 0( j = 1,2,L , n) j
于是问题归结为求目标函数在约束条件下的最 大值问题。显然，目标函数和约束条件分别是关 于决策变量的线性函数和线性不等式，即有下面 的线性规划模型
目标函数： max z = ∑ c j x j
令 x j = 0, ( j = m + 1,L , n) 则可得到一个初始基可行解
X (0) = ( x1(0) , x2 (0) , L xm (0) , 0, L , 0)T = (b1 , b2 , L , bm , 0, L , 0)T
第二步： 第二步：寻找另一个基可行解 当一个基可行解不是最优解或不能判断时，需要过渡到另 一个基可行解，即从基可行解
线性规划模型的一般形式为：
max(min)z = ∑ c j x j
j =1
n
n ∑ aij x j ≤ (≥, =)bi (i = 1,2,L, m), s.t j =1 x ≥ 0( j = 1,2,L, n). j
或矩阵形式：
max(min) z = C ⋅ X
A ⋅ X ≤ (≥, =)b, s.t X ≥ 0.
i =1
( 0)
=z
(1)
+
j = m +1
∑σ
n
j
xj
因此 σ j = c j − z j 的符号是判别 x (1) 是否为最优解的关键所在， 故称之为检验数。 从而有以下结论：
(1) （1）如果 σ j ≤ 0( j = m + 1, L n) ，则 x 是问题的最优解，最优
值为 z (1 ) ；
则称 k 为凸集。 顶点：设 k 是凸集，x ∈ k ；若 x 不能用不同的两点 顶点
x (1) ∈ k 和 x (2) ∈ k 的线性组合表示为 x = αx (1) + (1 − α ) x ( 2 ) , (0 < α < 1)
则称 x 为 k 的一个顶点（或极点）。
Th1、如果线性规划问题(1-1)、(1-2)存在可行域，则其可 行域
a11
a 21
M
a12
a 22
a1n
b1
b2
M
bm
a2n
…
M
Am 利润
M
M
…
a m1
am2
amn
c1
c2
…
cn
建立数学模型 设产品 B j 产量为 x j ( j = 1, 2, L , n) ,称之为决策变量， 所得的利润为
n
,则要解决的问题的目标是使得总利润 z
函数
z = ∑ 有最大值。决策变量所受的约束条件为 cjxj
或向量形式：
max(min) z = C ⋅ X
n ∑ Pj x j ≤ ( ≥ , = ) b , s.t j =1 X ≥ 0.
其中 C = (c1 , c2 ,L, cn ) 称为目标函数的系数向量；
X = ( x1 , x 2 ,L , x n ) T 称为决策向量；
b = (b1 , b2 ,L bm ) T 称为约束方程组的常数向量；
线性规划方法
最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的方案， 最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的方案， 是求使问题的某一项指标 这里的“最优”包括“最好” 最大” 最小” 这里的“最优”包括“最好”、“最大”、“最小”、 最高” 最低” 最多”等等。 “最高”、“最低”、“最多”等等。 解决最优化问题的最常用的方法是线性规划方法， 解决最优化问题的最常用的方法是线性规划方法，因 线性规划方法 为到目前为止线性规划已有着非常完备的理论基础和有效 的求解方法及计算软件。 的求解方法及计算软件。 典型的求解对象是如何合理的分配、使用有限资源（经 典型的求解对象是如何合理的分配、使用有限资源（ 是如何合理的分配 人力、物资等），使能够获得“最优效益”等问题。 ），使能够获得 济、人力、物资等），使能够获得“最优效益”等问题。
根据2000年的统计数据各城市的人口数量差异大基本状况和经济情况业不相同各城市现有的生活工业和综合服务业的用水情况不同缺水程度业不同如下表城市人口工业产值综合服务也总产值人均生活万元工业增加值用水总数万人年自然增北京1285204737111116132354160143天津68230373911708312220914072廊坊56915193100030100245180102保定875926812502312132536096沧州465874809802286185315110衡水78612256760276178318120石家庄21854146410204411826723886邢台5245189109015120165315131邯郸8136972110002211423032012610安阳836611106901611732031018611鹤壁4280369601812322032021012濮阳4161978701413517435217013焦作726011041030228916028020514新乡12869267800189425031018015郑州2205123101290531021642208816许昌78656721110179218032021017平顶山90661114880188415531018918周口3264410610001211316534021019漯河5846839001510314828020020南阳1215921110401388202320180全国平均值9902378219610288要研究的问题是
x = x′ − x′′ ,使得 x′, x′′ ≥ 0 ,代入模型即可。
四、线性规划解的概念
解：称满足约束条件（1-2）的解 X = ( x1 , x 2 ,L , x n ) T 为线性规划问题的可行解；可行解的全体构成的 集合称为可行域，记为D；使目标函数（1-1）达 到最大的可行解称为最优解。
X (0) = ( x1(0) , x2 (0) , L xm (0) , 0, L , 0)T
对应的可行基 B = ( p1 , p2 ,L pm ) 中替换一个列向量并与 原向量组线性无关。譬如用非基向量 Pm+t (1 ≤ t ≤ n − m) 替换基向量 pl (1 ≤ l ≤ m)，就可得到一个新的可行 基 B1 = ( p1 , L, pl −1 , pm +t , pl +1 ,L pm ) ，从而可以求出一个新 的基可行解 X (1) = ( x1(1) , x2 (1) , L xm (1) , 0,L , 0)T
T
基解：设问题的基为 B = (aij ) m×m = ( p1 , p2 ,L, pm ) 基解 将约束方程组变为
m n
∑p x
j =1 j
j
=b−
j = m +1
∑p x
j
j
在上述方程组中令 x j = 0( j = m + 1,L , n) 则称解向量 X = ( x1 , x 2 ,L , x m ,0,L ,0) T 为线性规划问题 的基解。
p m +t = ∑ β i ,m +t pi
该方法称为基变换法。
如果 X (1) = ( x1(1) , x2 (1) , L xm (1) , 0, L , 0)T 仍不是最优 解 ,则可以重复利用这种方法，直到最优解为止。 第三步： 第三步：最优性检验的方法 假设要检验基可行解
X (1) = ( x1(1) , x2 (1) , L xm (1) , 0, L , 0)T = (b1′ , b2′ , L , bm′ , 0, L , 0)T
n D = x ∑ p j x j = b, x j ≥ 0 j =1 是凸集。
Th2、线性规划问题(1-1)、(1-2)的任一个基可行解 x 必对 应于可行域D的一个顶点。 Th3、（1）如果线性规划问题(1-1)、(1-2)的可行域有界， 则问题的最优解一定存在且能在可行域的顶点处达到。 （2） 如果线性规划问题(1-1)、(1-2)的可行域无界， 则问题可能无最优解；若有，最优解也一定在可行域的 顶点处达到。
（2）如果 σ j ≤ 0( j = m + 1, L n) 且至少存在一个
i =1
j = m +1
∑ (c − ∑ c a′ )x
i =1 i
= z (1) +
j = m +1
∑ (c
n
j
− z j )x j
′ 其中 z j = ∑ ci aij ( j = m + 1, L , n )
m
记 σ j = c j − z j ( j = m + 1,L, n ) ，则 z 注： 当 σ j > 0 时，有 z ( 0 ) ≥ z (1) ； 当 σ j ≤ 0 时，有 z ( 0 ) ≤ z (1) 。
(1-2) ，
说明：在标准型式中规定各约束条件的右端项 bi > 0 否则等式两端乘以“-1”
注：对于非标准型的线性规划模型都可以化为标准型，其 方法如下： （1）目标函数为最小化问题：令 z ′ =
max z′ = max(− z ) = − min z = −C ⋅ X
−z
,则
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的约束 条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去）一个非负 变量（称为松弛变量）使其变为等式； （3）对于无约束的决策变量：譬如 x ∈ ( −∞, +∞ ) ,则令