高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(12)

1.2 集合间的基本关系
一、单选题
1．已知集合(){}**
,4,,A x y x y x N y N =+=∈∈，则集合A 的子集个数为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
2．给出下列关系式： ①2Q ∈； ②{}{}1,2(1,2)=； ③2{1,2}∈； ④{}{}1,2φ⊆，其中正确关系式的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知集合{}0,2,3A =，{},,B x x a b a b A ==⋅∈，则B 的子集的个数是（ ） A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
4．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2
,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭
，则20202021a b +的值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．1-
D ．2 5．若集合2}{01A =，
，，则下列选项不正确的是（ ） A ．A ∅⊆ B ．{}0,1 A
C ．{0,1,2}A ⊆
D ．{}0,1,2 A
6．设{}2M =，{}2,3N =，则下列表示不正确的是
A ．≠
M ⊂N B ．M ⊆N C ．2∈N
D ．2≠
⊂N 7．下面四个命题中正确命题的个数是. ①
；
②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集没有子集；
④空集是任何一个集合的子集. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8．已知集合A ={0,a},B ={x|−1<x <2},且A ⊆B ,则a 可以是 A ．−1
B ．0
C ．1
D ．2
9．设,P Q 为两个非空实数集合，定义集合{}|,,P Q z z a b a P b Q *==÷∈∈，若
{}{}1,0,1,2,2P Q =-=-，则集合P Q *的子集个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
10．已知集合12,A A 满足{1|A x x A =∈或}2x A ∈为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时，()12,A A 与()21,A A 为集合A 的同一种分拆，则集合{}1,2,3A =的不同分拆的种数是（ ）. A ．27
B ．26
C ．9
D ．8
二、填空题
1．已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________． 2．已知集合{1,2,}M m =-，{1,3}N =，若N M ⊆，则实数m 的值为_________． 3．集合{}1,0,1A =-子集的个数是__.
4．已知集合{}|1A x ax ==,B=1},若集合A 是集合B 的子集，则a 的值为_______ .
5．集合{}2
|40A x x =-=的子集个数是___________．
三、解答题
1．设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集个数为N ，这些子集记为
12,,
,N A A A .
（1）当4n =时，求集合12,,,N A A A 中所有元素之和S ； （2）记i m 为(1,2,,)i A i N =中最小元素与最大元素之和，记()1
N
i
i m
f n N
==
∑，求()f n 的表达式.
2．设集合{}2=40A x R x x ∈+=，{}22
=2(1)10,B x R x a x a a R ∈+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的
值．
3．已知命题：“∃x∈[﹣1,1]，使等式m ＝x 2﹣x 成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；
（2）设不等式（x ﹣a ）[x ﹣（2﹣a ）]＜0的解集为N ，若N ⊆M ，求a 的取值范围．
4．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.
5
．已知集合{|A x y ==，{|2,}x B y y x a ==≥. （Ⅰ）若2a =，求()C A B ⋃⋂；
（Ⅱ）若()C A B R ⋃⋃=，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、单选题 1．B
解析：通过列举法找到集合A 元素的个数，然后根据子集个数的公式2n 求解即可． 详解：
解：因为集合(){}**
,4,,A x y x y x N y N =+=∈∈，
所以()()(){}1,3,2,2,3,1A =，共3个元素， 所以集合A 的子集个数为328=， 故选：B ． 点睛：
本题考查集合子集的个数以及列举法表示集合，其中子集个数的公式2n 是关键，是基础题． 2．B
解析：利用元素与集合、集合与集合的关系直接判断即可． 详解：
1，2}是以1，2为元素的集合，（1，2）}可以看成是以点（1，2）为元素的集合，故两集合不相等，所以②不正确；
由元素与集合的关系，故 ③正确；
集合{}φ包含了一个元素φ，而集合{}1,2包含了元素1，2，所以{}{}1,2φ⊄，故④不正确． 故选B ． 点睛：
本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、集合与集合的关系等基础知识，属于基础题． 3．D
解析：写出集合B ，确定集合B 中元素个数，利用子集个数公式可求得结果. 详解：
已知集合{}0,2,3A =，{}{},,0,4,6,9B x x a b a b A ==⋅∈=， 因此，B 的子集的个数4216=.
点睛：
本题考查集合子集个数的求解，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题. 4．B
解析：先利用互异性求出a 、b ，再代入求20202021a b +的值. 详解：
b
a
，0a ∴≠ {}2
,,1,,0b a a a b
a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭
0b a ∴=，即0b =，
{}{}2
,0,1,,0a a a ∴=∴当21
a a a ⎧=⎨=⎩
时，1a =-或1a =，
当1a =时，即得集合{}1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去， 当2
1
a a a =⎧⎨
=⎩
时，1a =，即得集合{}1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，1a =-，0b =()2020
202020212021101∴+=-+=a b ，故选：B
5．D
解析：先列举出集合2}{01A =，
，的所有真子集，再根据{}0,1,2A =，判断D 选项错误. 详解：
解：因为集合2}{01A =，
，的所有真子集有：∅，{0}，{1}，{2}，{0}1，，{0,2}，{1}2，， 故ABC 正确，{}0,1,2A =，所以{}0,1,2A ⊆，但不是真子集，故D 选项错误. 故选：D. 点睛：
本题考查集合间的基本关系，是基础题. 6．D 详解：
试题分析：,M N 都是集合，它们的关系是包含关系，A ，B 都正确，2是N 的元素，表示为
2N ∈，故D 错误，选D ．
考点：集合的关系．
7．B
试题分析：①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；
②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；
③空集是它本身的子集，故错误；
④空集是任何一个集合的子集，故正确．
考点：命题真假的判定．
8．C
解析：因为A⊆B，所以得到−1<a<2且a≠0，根据选项可以确定a的值.
详解：
解：因为A⊆B，且集合A={0,a},B={x|−1<x<2},
所以−1<a<2且a≠0,
根据选项情况，由此可以判定只能选择C.
点睛：
本题考查了集合间的关系、集合中元素的性质，解题时要注意集合元素的互异性这一隐含的条件.
9．D
解析：先确定a，b的取值，再求两者之比，由元素的互异性，比值相等的算一个，可求出答案．
详解：
∵a∈P，b∈Q，∴a可以为﹣1，0，1三个数中的一个，b可以为﹣2，2三个数中的一个，根据定义集合P*Q=z|z=a b
÷，a∈P，b∈Q}，
∴z=1-
2，z=
1
2
，z=0，有3个元素，则子集个数为8个.
故选：D．
点睛：
本题考查元素与集合关系，解决本题的关键是读懂题意，求出集合P*Q．若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
10．A
解析：分为当1A=∅，1A是单元素集合，1A是含两个元素的集合时，1A是含三个元素的集合时四种情况讨论即可.
详解：
解：①当1A=∅时，2{1,2,3}
A=，只有1种分拆；
②当1A 是单元素集合时（有三种可能），则2A 必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含三个元素，有两种情况（如1{1}A =时，2{2,3}A =或2{1,2,3}A =），所以当1A 是单元素集合时有6种分拆；
③当1A 是含两个元素的集合时（有三种可能），则2A 必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含1A 中的一个或两个元素，有四种情况（如1{1,2}A =时，2{3}A =或2{1,3}A =或2{2,3}A =或2{1,2,3}A =），所以当1A 是含两个元素的集合时有12种分拆；
④当1A 是含三个元素的集合时（只有一种可能），则2A 可能含零个、一个、两个或三个元素，有32种情况（即1{1,2,3}A =时，2A 可以是集合{}1,2,3的任意一个子集），所以当1A 是含三个元素的集合时，有328=种分拆.
故集合{1,2,3}A =的不同分拆的种数是1612827+++=种. 故选：A. 点睛：
本题考查集合关系的综合应用，是中档题.
二、填空题 1．7
解析：由集合子集，真子集的运算，集合M 中必有1,2，且3,4,5不同时属于集合M 即可. 详解：
解：用列举法可知M ＝1,2}，1,2,3}，1,2,4}，1,2,5}，1,2,3,4}，1,2,3,5}，1,2,4,5}共7个． 故答案为7. 点睛：
本题考查了集合的包含关系，主要考查了子集，真子集的运算，重点考查了集合思想，属基础题. 2．3-
解析：由N M ⊆，可得3m -=，从而可求出实数m 的值 详解：
因为集合{1,2,}M m =-，{1,3}N =，且N M ⊆， 所以3m -=，得3m =-， 故答案为：3- 3．8
解析：本题通过列出集合{}1,0,1A =-的所有子集即可得出结果. 详解：
集合{}1,0,1A =-的子集有：∅、{}1-、{}0、 {}1、{}1,0-、{}1,1-、{}0,1、{}1,0,1-共8个， 故答案为：8.
4．0或1
解析：由题意A 是B 的子集，，可以判断出A 是空集或者A ＝B ，分两类求出参数a 的值，选出正确选项 详解：
由题意集合A ＝x|ax ＝1}是B ＝1}的子集 ∴A＝∅或A ＝1}
若A ＝∅，则ax ＝1无解，可得a ＝0 若A ＝1}，则有a ＝1 综上实数a 的值为0，1 故答案为：0或1． 点睛：
本题考查集合关系中参数取值的问题，理解子集的概念是解本题的关键，本题易漏掉空集的情况，导致解题失败，这是本题的易错点，做题时要谨记． 5．4
解析：首先求集合，然后再求集合的子集个数. 详解：
由x 2-4=0，解得：x =±2，
故A=2，-2}，故子集的个数是22=4个． 故答案为：4. 点睛：
本题考查空集和子集个数，属于基础题.
三、解答题
1．（1）30；（2）()+1f n n =.
解析：（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有2
3C 个，进而可求解；
（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有2
1C n -个，以n 为
最大元素的子集有21C n -个；以2为最小元素的子集有22C n -个，以1n -为最大元素的子集有2
2
C n -
个，进而求得1
N
i i m =∑，即可求解.
详解：
（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有2
3C 个，
于是所求元素之和为2
3(1234)C 30+++⨯=.
（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：
以1为最小元素的子集有2
1C n -个，以n 为最大元素的子集有2
1C n -个；
以2为最小元素的子集有22C n -个，以1n -为最大元素的子集有2
2C n -个 以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有2
2C 个. 所以22
2
121221(+1)(C C C )N
i N n n i m m m m n --==++
+=++
+∑
22
2322
2
312331244(+1)(C C C C )(+1)(C C C C )n n n n n n ----=++++=++++
()3
1(+1)n n C n N =
=+=，
所以()1
+1
N
i
i m
f n n N
==
=∑.
2．a≤－1或a ＝1.
解析：先求出集合A ，当A ＝B 时，满足B A ⊆，再由根与系数的关系可求出实数a 的值；当
B A ≠时，分B ≠∅和B =∅两种情况求解即可
详解：
∵A＝0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝0，－4}， ∴由根与系数的关系，得2
2(1)4
10a a -+=-⎧⎨
-=⎩
解得a ＝1. (2)当B A ≠时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝0}或B ＝－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝0}满足条件； ②当B =∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a≤－1或a ＝1.
3．（1）M ＝[14
-,2]；（2）[0,2]．
解析：（1）求出函数2y x x 的值域，即可求得m 的取值范围； （2）对参数a 进行分类讨论，根据集合之间的关系，即可求得结果. 详解：
（1）由题意知，方程x 2﹣x ﹣m ＝0在[﹣1,1]上有解，
即m 的取值范围为函数y ＝x 2﹣x ＝（x 12
-）214
-在[﹣1，1]上的值域， ∴M＝[14
-,2]．
（2）①当a ＝1时，解集N 为空集，满足题意； ②当a ＞1时，a ＞2﹣a ， 此时集合N ＝x|2﹣a ＜x ＜a}，
若满足题意，则只需124
a -≥-且2a ≤，解得， (],2a ∈-∞ 与1a >取交集可得(]1,2a ∈ ③当a ＜1时，a ＜2﹣a ， 此时集合N ＝x|a ＜x ＜2﹣a}，
若满足题意，则只需14a ≥-且22a -≤，解得[)0,a ∈+∞ 与a ＜1取交集可得[)0,1a ∈. 综上：a 的取值范围是[0,2]． 点睛：
本题考查由集合之间的关系求参数的范围，属基础题.
4．{|1}m m ≥-
解析：B A ⊆时，要分类讨论，分B =∅和B ≠∅讨论． 详解： ∵B A ⊆，
∴当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，
当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪<⎩
，解得12m -≤<，
综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-． 点睛：
本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论．
5．（Ⅰ）(){|4}C A B x x ⋃⋂=≥；（Ⅱ）{|0}a a ≤.
解析：试题分析：()1根据二次根式被开方数大于或等于0求出集合A ，根据指数函数的单调性求出2a =时集合B ，再由补集和交集的定义写出答案； ()2根据集合B 与补集和并集的定义，得出不等式21a ≤，求出实数a 的取值范围；
解析：（Ⅰ）集合{|A x y === 10{|}{|12}20x x x x x -≥⎧=≤≤⎨-≥⎩
， 当2a =时，{|2,}{|2}{|4}x a B y y x a y y y y ==≥=≥=≥， ∴{|1C A x x ⋃=<或2}x >
∴(){|4}C A B x x ⋃⋂=≥.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{|1C A x x ⋃=<或2}x >，{|2}a B y y =≥， ∵()C A B R ⋃⋃=，∴21a ≤，解得0a ≤，
即实数a 的取值范围为{|0}a a ≤.。