人教版数学八年级上册 轴对称解答题章末练习卷(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册轴对称解答题章末练习卷（Word版含解析）
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；
（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；
（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.
【详解】
解：定理证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m 是边BC 的垂直平分线， ∴OB ＝OC ，
∵直线n 是边AC 的垂直平分线， ∴OA ＝OC ， ∴OA ＝OB ∵OH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ；
（2）如图③中，连接BD ，BE ．
∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°， ∴∠A ＝∠C ＝30°，
∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ， ∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，
∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，
∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ， ∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ， ∴DE ＝5， 故答案为：5． 【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】
如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接
BG ．
∵AD 是BC 边上的中线， ∴DC DB =． 在ADC 和GDB △中，
AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）． ∴CAD G ∠=∠，BG AC =． 又BE AC =， ∴BE BG =． ∴BED G ∠=∠． ∵BED AEF ∠=∠
∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
3．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.
（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；
（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到
∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明
△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.
（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=8，
∵AB=12，
∴12-8＜AE＜12+8，
即4＜AE＜20，
∵D为AE中点
∴2＜AD＜10；
（2）延长AF到H，使AF=HF，
由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAD=180°，
又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，
∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，
∴∠ACH+∠CAD=180°，
故∠BAE= ACH，
又AB=AC，AD=AE
∴△BAE≌△ACH（SAS），
故BE=AH,又AH=2AF
∴BE= 2AF.
（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，
由题意得△DBF≌△ADG，
∴FD=GD，BF=AG,
∵DE⊥DF，
∴DE垂直平分GF,
∴EF=EG,
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
又∠B=∠DAG，
∴∠DAG +∠CAB=90°
∴∠EAG=90°，
故EG2=AE2+AG2，
∵EF=EG, BF=AG
∴EF2=AE2+BF2，
则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.
4．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；
（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得
∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；
（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；
（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．
【详解】
（1）结论：AF=BD，理由如下：
如图1中，∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠BCA =60°， 同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ， 在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
， ∴△BCD ≌△ACF （SAS ）， ∴BD =AF ；
（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下： 如图2中，∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠BCA =60°， 同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ， 在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
， ∴△BCD ≌△ACF （SAS ）， ∴BD =AF ；
（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：
由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ； 同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ， ∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下： 同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′， 在△BCF ′和△ACD 中，
BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪
⎨⎩
′
′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ）， ∴BF ′=AD ， 又由（2）知，AF =BD ，
∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′． 【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．
5．已知如图1，在ABC
∆中，AC BC
=，90
ACB
∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.
（1）求证：AE CG
=.
（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM
=.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出
△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
【详解】
（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，∵
CAE BCG
AC BC
ACE CBG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC．
在△BCE和△CAM中，
BEC CMA
ACM CBE
BC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当
的判定条件．
6．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为
()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且
10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,
.
（1）点A 的坐标为___________；
（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7
,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）425
【解析】 【分析】
（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG
OPG ，利用点A ，A '关于直线
OE 对称点，根据对称性，可证
'
OPG EAO ，可得'
8OP OA ，82AP
，
设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222
2BP BE EP AP AE
解之即可． 【详解】
解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，
∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：
2
2
2
2
1068AO
AB BO ，
∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BP
AB 时，如图一所示：
OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；
=时，如图二所示：当AP AB
OP BO
∴6
∴P点的坐标是()6,0；
=时，如图三所示：当AP BP
设OP x =，则有6AP x
∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：22286x x
解之得：73
x = ∴P 点的坐标是
7,03； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；
当ABP △是锐角三角形时，如图四示：
连接'OA ，
∵
PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，
∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，
∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'8OA OA ，'EA
EA ∴
'FAO FAO
，'FAE FAE ∴'EAG EAO
则有：'OPG EAO ∴
'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，
设BE x ，则有6AE
x ，
根据勾股定理，有： 22
222BP BE EP AP AE 即：222268
8210x x 解之得：425
BE
x 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
7．如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，现有两点M 、N 分别从点A ．点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为2cm /s ，点N 的速度为3cm /s ．当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动．
（1）点M 、N 运动 秒后，△AMN 是等边三角形？
（2）点M 、N 在BC 边上运动时，运动 秒后得到以MN 为底边的等腰三角形△AMN ？
（3）M 、N 同时运动几秒后，△AMN 是直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）125；（2）485；（3）点M 、N 运动3秒或127
秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）当AM ＝AN 时，△MNA 是等边三角形．设运动时间为t 秒，构建方程即可解决问题；
（2）点M 、N 在BC 边上运动时，满足CM ＝BN 时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形△AMN ．构建方程即可解决问题；
（3）据题意设点M 、N 运动t 秒后，可得到直角三角形△AMN ，分四种情况讨论即可．
【详解】
（1）当AM ＝AN 时，△MNA 是等边三角形，设运动时间为t 秒
则有：2t＝12﹣3t
解得t＝12 5
故点M、N运动12
5
秒后，△AMN是等边三角形；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN
则有：2t﹣12＝36﹣3t
解得t＝48 5
故运动48
5
秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；
（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠AMN＝30°
∴AM＝2AN
则有2t＝2（12﹣3t）
∴t＝3；
②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠ANM＝30°
∴2AM＝AN
∴4t＝12﹣3t
∴t＝12
7
；
③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图
CN＝3t﹣24＝6
解得t＝10；
④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图
此时2t＝12+6
解得t＝9；
综上所述，点M、N运动3秒或12
7
秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
8．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）∠DBC60α
=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边
三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α
︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得
∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；
（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出
∠BEC60
=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.
【详解】
解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，
∠DCP=∠ACP=α，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=602α
︒+，BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC
()
180602
180
60
22
BCDα
α
︒-︒+
︒-∠
===︒-；
（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.
理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，
∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；
（3）AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE.
证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，
∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，
∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，
∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，
∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，
∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，
∵AE=DE ，
∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.
9．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）
例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：
变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.
变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.
（1）请你解答以上两道变式题.
（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.
【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；
(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.
【详解】
变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°，
∴∠A 为顶角，∠B 为底角，
∴∠B=180100
2
-
=40°；
变式2: ∵等腰三角形ABC中，∠A= 45°，
∴当AB=BC 时，∠B =90°，
当AB=AC 时，∠B =67.5°，
当BC=AC时∠B =45°；
（2）等腰三角形ABC中，设A x
∠=，
当90°≤x＜180°，∠A为顶角，此时，B只有一个度数，
当x=60°时，三角形ABC是等边三角形，此时，B只有一个度数，
综上所述：90°≤x＜180°或x=60°
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.
10．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得
∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
试题解析：
（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC，
∴AC∥BE．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.。