2007年湖南高考试卷

2007年湖南高考试卷
科目：数学（文史类）
（试题卷）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试
题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸
和本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题：
（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。

（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。

（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4. 本试卷共5页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

绝密★启用前
数 学（文史类）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式2
x x >的解集是
A ．(),0-∞
B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞⋃+∞
2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
A ．EF OF OE =+
B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--
3. 设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B . 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
4．在等比数列{}()
n a n N *
∈中，若141
1,8
a a ==
，则该数列的前10项和为 A ． 8122- B . 9122- C. 10122- D . 111
22
-
5．在()
()1n
x n N *
+∈的二项展开式中，若只有5
x
的系数最大，则n =
A ．8
B . 9 C. 10 D .11 6．如图1，在正四棱柱 1111ABCD A B
C
D -中，
E 、
F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是
A ．1EF B
B 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与A
C 异面
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是
A ．48米
B . 49米 C. 50米 D . 51米
图1 图2
8．函数2
44()43
x f x x x -⎧=⎨
-+⎩ 11x x ≤>的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．1 B .2 C.3 D . 4
9．设12F F 、分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c
（c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是
A ．
312- B . 12 C. 512- D . 2
2
10. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12S S M k 、、、S 都是的含两个元素的子集，且满
足：对任意的{}{}{}(),,
,,1,2,3,,i i i j j
j S a b S a
b i j
i j k
==≠∈、，都有{}()min ,min ,min ,j j i i i i j j a b a b x y b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
表示两个数x 、y 中的较小者.则k 的最大值
是
A ．10
B .11 C. 12 D . 13
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.
11. 圆心为()1,1且与直线4x y +=相切的圆的方程是 . 12. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3,3
a c C π
===
，则
A= . 13. 若23
23
4
0,,log 9a a a >==则 . 14. 设集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =
≥-≥=≤-+⋂≠∅，
（1）b 的取值范围是 .
（2）若(),,x y A B ∈⋂且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .
15.棱长为1的正方形1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积
是 ；设E 、F 分别是该正方形的棱11AA 、DD 的中点，则直线
EF 被球O 截得的线段长为 .
三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）
已知函数()212sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭.求： (Ⅰ)函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.
17.（本小题满分１２分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.
18.（本小题满分１4分）
如图3，已知直二面角45PQ A PQ B C BAP αβαβ--∈∈∈∠=，，，，，直
线CA 和平面α所成的角为30. (Ⅰ)证明BC PQ ⊥；
(Ⅱ)求二面角B AC P --的大小.
19.（本小题满分13分）
α
β
已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交与A 、B 两点，
点C 的坐标是（1，0）. （Ｉ）证明CA CB ⋅为常数；
（Ⅱ）若动点M CM CA CB CO =++满足（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方
程.
20.（本小题满分13分）
设
{}()22211,3,0
n n n n n n S a n N n a a S n a S a *-∈==+≠是数列的前项和，且，
2,3,4,
n =.
（Ⅰ）证明数列{}2(2)n n a a n +-≥是常数数列；
（Ⅱ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}()
n b n N *
∈中的所有项
都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项.
21.（本小题满分13分）
已知函数()32
1132
f x x ax bx =
++在区间[)(]1,1,1,3-内各有一个极值点.
（Ⅰ）求2
4a b -的最大值；
（Ⅱ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点()()
1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿
过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．2
2
(1)(1)2x y -+-= 12．
π6
13．3
14．（1）[2)+∞，（2）
92
15．3π，2
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44
f x x x =+++
πππ
2sin(2)2sin(2)2cos 2442
x x x =+
+=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2π
π2T ==； （II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即π
ππ2
k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos2f x x
=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π
[ππ]2
k k -，（k ∈Z ）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=
所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=
该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．
（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
22430.90.10.243P C =⨯⨯=．
3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
1230.90.10.027C ⨯⨯=．
3人都没有参加过培训的概率是3
0.10.001=．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ．
A
C
Q
β P
H
因为αβ⊥，PQ α
β=，所以CO α⊥，
又因为CA CB =，所以OA OB =．
而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ α
β=，BO α⊂，所以BO β⊥．
过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．
由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=， 不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302
OH AO ==
． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==， 于是在Rt BOH △中，3
tan 232
BO
BHO OH
∠=
==． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．
解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线
OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则3AO =，1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以3BO AO ==． 则相关各点的坐标分别是
(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，
，． 所以(330)AB =-，，，(031)AC =-，
，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪
⎩，
取1x =，得1(113)n =，，．
A
B
C Q
α
β P
O
x
y
z
易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．
设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，． 所以121215
cos 5
||||51n n n n θ=
==⨯．
故二面角B AC P --的大小为5
arccos
5
． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．
（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=，有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是2
12121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--
2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++
22222
22
(1)(42)4(21)4111
k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．
综上所述，CA CB 为常数1-．
（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1
)CA x y =-，， 22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得：
121213x x x y y y -=+-⎧⎨
=+⎩，即12122x x x y y y
+=+⎧⎨+=⎩，
于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫
⎪⎝
⎭，．
当AB 不与x 轴垂直时，1212222
22
y
y y y x x x x -==
+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．
将1212()2
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是2
2
4x y -=．
解法二：同解法一得1212
2x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2
12241
k x x k +=-．…………………②
212122
44(4)411
k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得2
2421k x k +=-．…………………………………………………④
2
41
k
y k =
-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
2
x k y
+=，将其代入⑤有 222
2
2
44(2)(2)(2)1x y x y y x x y
y +⨯
+==++--．整理得22
4x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22
4x y -=．
20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．
因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列．
（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．
由③有1215a a +=，所以332a a =+，
而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列． 所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *． 由题设知，1187n n b -=⨯．
当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．
若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得1187
6n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．
（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723
n a -⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =
++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)
-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是
2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，
23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．
（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32
y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121(1)3232
x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，
所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；
或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛
⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；
或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．
由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++
=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3
f x x x x =--．。