中考数学总复习 第一板块 基础知识过关 第15课时 等腰三角形课件
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考点三 线段的垂直平分线
1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直
平分线,也叫做中垂线.
2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的
垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等
的点的集合.
第三页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
命题点1 等腰三角形的性质与判定
【例1】 如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点
D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若
,求AD的长.
(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
第十页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
第十一页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
证明:(1)∵CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,
∴∠BFD=∠CED=90°.
又∠BDF=∠CDE,BD=CD,
∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.
= ,
(2)在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中,
= ,
点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于(
A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
答案:C
第五页，共十九页。
)
基础自主导学
考点梳理
(shūlǐ)
自主(zìzhǔ)
测试
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分(píngfēn)∠CAB,AD=5,AC=4,则点D到AB
的距离是
.
答案:3
第六页，共十九页。
如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4.
而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线,
∴点A在l上.∴l的解析式为y=-x+5.
当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,
而CB=5,∴CF=CB.
∵l为BF的中垂线,∴点C在l上.
∴l的解析式为y=- x+4.
1
2
第十五页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
第十六页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
角平分线的性质和判定
【例4】 如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,
第十三页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐
标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线知识和点Q的坐标,
可确定l上的另一点A.
第十四页，共十九页。
第15课时
(kèshí)
等腰三角形
第一页，共十九页。
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主
基础自主导学
(zìzhǔ)测
试
考点一 等腰三角形
1.等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等(xiāngděng)的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等
边三角形,也叫正三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
第九页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点2
规律方法探究
命题点4
等边三角形的性质与判定
【例2】 已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与
又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.
∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.
第十二页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点3
规律方法探究
命题点4
线段的垂直平分线
【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴
证:△ABE≌△CAD。∵l为BF的中垂线,∴点C在l上.。∴l的解析式为y=- x+4.。
∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.。∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
No
Image
12/9/2021
第十九页，共十九页。
三角形三边的距离相等.
第四页，共十九页。
基础自主导学
考点梳理
自主(zìzhǔ)
测试
(shūlǐ)
1.已知一个(yī ɡè)等腰三角形的两条边长分别为3和8,则这个等腰三角形的周长为
(
)
A.11
B.14
C.19
D.14或19
答案:C
2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于
BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个
角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.
命题点4
求证:(1)DF=DE;
(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与
△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明Rt△ADF与
Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.
第十七页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
1.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角相等(xiāngděng),且都等于60°;(2)等边三角形的
三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
2.等边三角形的判定
(1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角
形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
CD= 2
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,
∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
第七页，共十九页。
命题
命题
命题
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tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
(2)解:∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD= 2.
在 Rt△CDF 中,CF= 2 + 2 =2,
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+ 2.
第八页，共十九页。
平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三
角形是轴对称图形,它有一条对称轴.
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角
对等边”).
第二页，共十九页。
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主
基础自主导学
(zìzhǔ)测
试
考点二 等边三角形的性质与判定
的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
(1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标;
(2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图②),l与BF的交点为Q,
若点Q的坐标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定l的解析式吗?
若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
第15课时 等腰三角形。(1)三条边相等的三角形是等边三角形。(2)三个角相等的三角形是等边
三角形。命题(mìng tí)点4。(2)若
,求AD的长.。(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,。(1)求
(mìng
tí)点2
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tí)点3
规律方法探究
命题点4
变式训练 如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上
取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵点D是AC边上的中点,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.
命题
命题
命题
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tí)点1
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规律方法探究
命题点4
解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.
∵∠COD=90°,
∴OD= 2 - 2 = 52 -42 =3.
∴点D的坐标为(3,0).
(2)过点Q作QM⊥x轴于点M.
当点Q的坐标为(3,2)时,
基础自主导学
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主(zìzhǔ)
测试
考点四 角平分线的性质及判定
1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等(xiāngděng).
2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可
以看作是到角两边距离相等的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的集合.
3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到
1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直
平分线,也叫做中垂线.
2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的
垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等
的点的集合.
第三页，共十九页。
命题
命题
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tí)点1
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tí)点3
规律方法探究
命题点4
命题点1 等腰三角形的性质与判定
【例1】 如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点
D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若
,求AD的长.
(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
第十页，共十九页。
命题
命题
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规律方法探究
命题点4
第十一页，共十九页。
命题
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规律方法探究
命题点4
证明:(1)∵CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,
∴∠BFD=∠CED=90°.
又∠BDF=∠CDE,BD=CD,
∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.
= ,
(2)在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中,
= ,
点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于(
A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
答案:C
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)
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考点梳理
(shūlǐ)
自主(zìzhǔ)
测试
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分(píngfēn)∠CAB,AD=5,AC=4,则点D到AB
的距离是
.
答案:3
第六页，共十九页。
如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4.
而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线,
∴点A在l上.∴l的解析式为y=-x+5.
当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,
而CB=5,∴CF=CB.
∵l为BF的中垂线,∴点C在l上.
∴l的解析式为y=- x+4.
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规律方法探究
命题点4
第十六页，共十九页。
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(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
角平分线的性质和判定
【例4】 如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,
第十三页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐
标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线知识和点Q的坐标,
可确定l上的另一点A.
第十四页，共十九页。
第15课时
(kèshí)
等腰三角形
第一页，共十九页。
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主
基础自主导学
(zìzhǔ)测
试
考点一 等腰三角形
1.等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等(xiāngděng)的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等
边三角形,也叫正三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角
命题
命题
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(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
第九页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点2
规律方法探究
命题点4
等边三角形的性质与判定
【例2】 已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与
又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.
∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.
第十二页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点3
规律方法探究
命题点4
线段的垂直平分线
【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴
证:△ABE≌△CAD。∵l为BF的中垂线,∴点C在l上.。∴l的解析式为y=- x+4.。
∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.。∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
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第十九页，共十九页。
三角形三边的距离相等.
第四页，共十九页。
基础自主导学
考点梳理
自主(zìzhǔ)
测试
(shūlǐ)
1.已知一个(yī ɡè)等腰三角形的两条边长分别为3和8,则这个等腰三角形的周长为
(
)
A.11
B.14
C.19
D.14或19
答案:C
2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于
BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个
角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.
命题点4
求证:(1)DF=DE;
(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与
△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明Rt△ADF与
Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.
第十七页，共十九页。
命题
命题
命题
(mìng
1.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角相等(xiāngděng),且都等于60°;(2)等边三角形的
三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
2.等边三角形的判定
(1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角
形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
CD= 2
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,
∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
第七页，共十九页。
命题
命题
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tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
(2)解:∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD= 2.
在 Rt△CDF 中,CF= 2 + 2 =2,
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+ 2.
第八页，共十九页。
平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三
角形是轴对称图形,它有一条对称轴.
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角
对等边”).
第二页，共十九页。
考点(kǎo
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自主
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(zìzhǔ)测
试
考点二 等边三角形的性质与判定
的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
(1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标;
(2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图②),l与BF的交点为Q,
若点Q的坐标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定l的解析式吗?
若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
第15课时 等腰三角形。(1)三条边相等的三角形是等边三角形。(2)三个角相等的三角形是等边
三角形。命题(mìng tí)点4。(2)若
,求AD的长.。(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,。(1)求
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
变式训练 如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上
取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵点D是AC边上的中点,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.
∵∠COD=90°,
∴OD= 2 - 2 = 52 -42 =3.
∴点D的坐标为(3,0).
(2)过点Q作QM⊥x轴于点M.
当点Q的坐标为(3,2)时,
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考点(kǎo
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测试
考点四 角平分线的性质及判定
1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等(xiāngděng).
2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可
以看作是到角两边距离相等的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的集合.
3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到