湖南省中考数学总复习 第四单元 三角形单元测试04 三角形练习-人教版初中九年级全册数学试题

三角形
04三角形限时:45分钟满分:100分
一、选择题(每题4分,共32分)
1.若一个角为65°,则它的补角的度数为()
A.25°
B.35°
C.115°
D.125°
2.下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是 ()
A.1,2,3
B.1,3,4
C.4,5,6
D.1,√2,√3
3.已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图D4-1方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上.若∠1=20°,则∠2的度数为 ()
图D4-1
A.20°
B.30°
C.45°
D.50°
4.如图D4-2,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列条件,仍无法证明△ABC≌△DEF的是()
图D4-2
A.AC∥DF
B.∠A=∠D
C.AC=DF
D.∠ACB=∠F
5.如图D4-3,直线l 1∥l 2∥l 3,直线a ,b 与l 1,l 2,l 3分别交于点A ,B ,C 和点D ,E ,F.若AA AA =2
3,DE=4,则EF 的长是
()
图D4-3
A .8
3B .20
3C .6D .10
6.下列命题中,真命题是 () A .√A 2=(√A )2
一定成立 B .位似图形不可能全等 C .正多边形都是轴对称图形 D .圆锥的主视图一定是等边三角形
7.如图D4-4,AB ⊥CD ,且AB=CD ,E ,F 是AD 上两点,CE ⊥AD ,BF ⊥AD.若CE=a ,BF=b ,EF=c ,则AD 的长为 ()
图D4-4
A .a+c
B .b+c
C .a-b+c
D .a+b-c
8.如图D4-5,点A 在线段BD 上,在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE ,CD 与BE ,AE 分别交于点P ,M.对于下列结论:
图D4-5
①△BAE ∽△CAD ;②MP ·MD=MA ·ME ;③2CB 2=CP ·CM.其中正确的是
()
A .①②③
B .①
C .①②
D .②③
二、填空题(每题4分,共16分)
9.如图D4-6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点.若∠C=55°,则∠ABD=.
图D4-6
BD,连接DM,DN,MN.若AB=6,则10.如图D4-7,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分别是AB,AC的中点,延长BC至点D,使CD=1
3
DN=.
图D4-7
11.如图D4-8,△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6),点M为OB的中点.以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的1
,得到△A'OB',点M'为OB'的中点,则MM'的长为.
2
图D4-8
12.如图D4-9,在▱ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F,点M 是边AB的一个三等分点,则△AOE与△BMF的面积比为.
图D4-9
三、解答题(共52分)
13.(12分)如图D4-10,在四边形ABCD中,AD∥BC,连接AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E,使CE=AD,连接BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB;
(2)若CA平分∠BCD,且AD=3,求BE的长.
图D4-10
14.(15分)如图D4-11,点P是等边三角形ABC内一点,将△APC绕点C顺时针旋转得到△BDC,连接PD.
(1)求证:△DPC是等边三角形;
(2)当∠APC=150°时,试判断△DPB的形状,并说明理由;
(3)当∠APB=100°且△DPB是等腰三角形时,求∠APC的度数.
图D4-11
15.(14分)如图D4-12,在锐角三角形ABC 中,点D ,E 分别在边AC ,AB 上,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F ,∠EAF=∠GAC. (1)求证:△ADE ∽△ABC ; (2)若AD=3,AB=5,求AA
AA 的值.
图D4-12
16.(11分)如图D4-13是放在水平地面上的一把椅子的侧面图,椅子高为AC ,椅面宽为BE ,椅脚高为ED ,且
AC ⊥BE ,AC ⊥CD ,AC ∥ED.从点A 测得点D ,E 的俯角分别为64°和53°.已知ED=30 cm,椅子的高AC 约为多少?
参考数据:tan53°≈43
,sin53°≈45
,tan64°≈2,sin64°≈
9
10
图D4-13
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.C
5.C
6.C
7.D[解析] ∵AB ⊥CD ,CE ⊥AD ,BF ⊥AD ,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°.∴∠A=∠C.又∵AB=CD ,∴△ABF ≌△CDE.∴AF=CE=a ,DE=BF=b.∵EF=c ,∴AD=AF+DF=a+(b-c )=a+b-c.故选D .
8.A[解析] 由已知,得AC=√2AB ,AD=√2AE.∴AA AA =AA
AA .∵∠BAC=∠EAD ,∴∠BAE=∠CAD.∴△BAE ∽△CAD ,①正确. ∵△BAE ∽△CAD ,∴∠BEA=∠CDA.∵∠PME=∠AMD ,∴△PME ∽△AMD.∴AA AA =AA
AA .∴MP ·MD=MA ·ME ,②正确.
∵∠BEA=∠CDA ,∠PME=∠AMD ,∴∠MPE=∠MAD ,P ,E ,D ,A 四点共圆.∴∠APD=∠AED=90°.∵∠CAE=180°-∠BAC-∠
EAD=90°,∴△CAP ∽△CMA.∴AC 2=CP ·CM.∵AC=√2BC ,∴2CB 2=CP ·CM ,③正确.故选A .
9.35° 10.3
11.5
2或15
2[解析] 如图,在Rt △AOB 中,OB=√62+82=10.①当△A'OB'在第四象限时,MM'=5
2;②当△A ″OB ″在第二象限时,MM ″=15
2.故答案为5
2或15
2.
12.3∶4[解析] 设AB=AC=m ,则BM=1
3m.∵O 是两条对角线的交点,∴OA=OC=1
2AC=1
2m.∵∠B=30°,AB=AC ,∴∠ACB=∠
B=30°.∵EF ⊥AC ,∴cos ∠ACB=AA
AA ,即
cos30°=12
A AA .∴FC=√3
3m.∵AE ∥FC ,∴∠EAC=∠FCA.又∵∠AOE=∠COF ,AO=CO ,∴
△AOE ≌△COF.∴AE=FC=√3
3m.∴OE=1
2AE=√3
6m.∴S △AOE =1
2OA ·OE=1
2×1
2m×√3
6m=√3
24m 2
.如图,过点A 作AN ⊥BC 于点N ,∵AB=AC ,∴
BN==12BC.∴BN=√32AB=√32m.∴BC=√3m ,∴BF=BC-FC=√3m-√33m=2√33
m.过点M 作MH ⊥BC 于点H.∵∠B=30°,∴MH=12BM=1
6m.∴
S △BMF =1
2BF ·MH=1
2×
2√3
3m×1
6m=√318m 2
.∴A △AAA A △AAA =√3
24A 2
√318
A =34
.故答案为3∶4.
13.解:(1)证明:∵AD ∥BC ,∴∠DAC=∠ECB.
在△DAC 和△ECB 中,{AA =AA ,
∠AAA =∠AAA ,AA =AA ,
∴△DAC ≌△ECB (SAS).
(2)∵CA 平分∠BCD ,∴∠ECB=∠DCA. 由(1)可知∠DAC=∠ECB , ∴∠DAC=∠DCA.∴CD=DA=3.
又由(1)可得△DAC ≌△ECB ,∴BE=CD=3.
14.解:(1)证明:由旋转的性质,得△APC ≌△BDC ,PC=DC ,∠PCD=∠ACB.∵在等边三角形ABC 中,∠ACB=60°,∴∠
PCD=60°.∴△DPC 是等边三角形.
(2)△DPB 是直角三角形.理由:由旋转得∠BDC=∠APC=150°,又由(1)知△DPC 是等边三角形,∴∠PDC=60°.∴∠BDP=∠
BDC-∠PDC=90°.∴△DPB 是直角三角形.
(3)设∠APC=x ,则∠BPD=200°-x ,∠BDP=x-60°.①若PD=PB ,则(200°-x )+2(x-60°)=180°,x=100°;②若PD=DB ,则2(200°-x )+(x-60°)=180°,x=160°;③若PB=DB ,则200°-x=x-60°,x=130°. 15.解:(1)证明:∵AG ⊥BC ,AF ⊥DE , ∴∠AFE=∠AGC=90°.
∵∠EAF=∠GAC ,∴∠AED=∠ACB. 又∵∠EAD=∠BAC ,∴△ADE ∽△ABC. (2)由(1)可知,△ADE ∽△ABC , ∴∠ADE=∠B.
又∵∠AFD=∠AGB=90°, ∴△AFD ∽△AGB.∴AA AA =AA
AA . 又∵AD=3,AB=5,∴
AA AA =3
5. 1
6.解:∵AC ⊥BE ,AC ⊥CD , ∴∠ACD=∠ABE=90°.∵AC ∥DE , ∴∠CDE=180°-∠ACD=180°-90°=90°. ∴四边形BCDE 是矩形. ∴BC=DE=30,BE=CD. 在Rt △ABE 中,∠AEB=53°, ∴BE=AA
tan∠AAA =
AA -AA tan53°
≈
AA -3043
=3
4(AC-30).
在Rt △ACD 中,∠ADC=64°, ∴CD=
AA tan∠AAA =AA tan64°≈AA
2
.
∴
AA 2
=
3(AA -30)4
.解得AC=90.
答:椅子的高AC 约为90 cm .。