导数中的5种同构函数问题 (学生版)

导数中的5种同构函数问题【考点分析】
考点一：常见的同构函数图像
八大同构函数分别是：y=xe x，y=x
e x，y=
e x
x，y=x ln x，y=
x
ln x，y=
ln x
x，y=e
x−x−1，y=x−ln x−1
我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．
图1 图2 图3 图4
图5 图6 图7 图8
考点二：常见同构方法
(1)xe x=e x+ln x;x+ln x=ln xe x
(2)e x x=e x-ln x:x-ln x=ln e x x
(3)x2e x=e x+2ln x;x+2ln x=ln x2e x
(4)e x
x2=e x-2ln x,e x
x2
=e x-2ln x
【题型目录】
题型一：利用同构解决不等式问题
题型二：利用同构求函数最值
题型三：利用同构解决函数的零点问题
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：利用同构解决不等式问题
【例1】(2022·河南·模拟预测(理))不等式2ln x>x ln2的解集是( )
A.1,2
B.2,4
C.2,+∞
D.4,+∞
【例2】(2022·陕西宝鸡·一模(理))已知a>1，b>1，则下列关系式不可能成立的是( )
A.e b ln a≤ab
B.e b ln a≥ab
C.ae b≥b ln a
D.ae b≤b ln a
【例3】(2022·陕西·长安一中高二期末(理))已知0<x <y <π，且e y sin x =e x sin y ，其中e 为自然对数的底数，
则下列选项中一定成立的是( )A.y <
π
4
B.x +y <
π2
C.cos x +cos y >0
D.sin x >sin y
【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)若x ，y ∈(0,+∞)，x +ln x =e y +sin y ，则( )
A.ln (x -y )<0
B.ln (y -x )>0
C.x <e y
D.y <ln x
【例5】(2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测(理))已知a 、b ∈R ，a 2e a +ln a =0，
b ln b +ln b -1
b
=1，则( )
A.ab <e a <b
B.ab <e a =b
C.b <e a <ab
D.e a =b <ab
【题型专练】
1.(2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中(理))已知a >b >0，且满足a ln b =b ln a ，e 为自然对数的底数，则( )A.b e <e a <e b
B.b e <e b <e a
C.e b <e a <b e
D.e a <b e <e b
2.(2022·全国·高三专题练习(理))设a =20202022，b =20212021，c =20222020，则( )A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >a >b
D.c >b >a
3.(2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习)已知a >b >0，下列不等式，成立的一个是( )A.a 3-b 3>a -b
B.ln a -ln b >a -b
C.sin a -sin b >a -b
D.e a -e b >a -b
4.(2022·全国·高三专题)已知x ,y 满足x 2
=e 2-x 2
，ln y =e 4
y
+2(其中e 是自然对数的底数)，则x 2y =( )
A.e 4
B.e 3
C.e 2
D.e
5.(2022·四川·广安二中模拟预测(理))已知0<x <y <π，且e y sin x =e x sin y ，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是( )A.cos x +cos y <0
B.cos x +cos y >0
C.cos x >sin y
D.sin x >sin y
6.(2022·福建·三明一中模拟预测)己知e 为自然对数的底数，a ，b 均为大于1的实数，若ae a +1+b <b ln b ，则( )A.b <e a +1
B.b >e a +1
C.ab <e
D.ab >e
题型二：利用同构求函数最值
【例1】(2022·四川省通江中学高二期中(文))已知函数f x =xe x ,g x =x ln x ，若f m =g n =t (t >0)，则
mn ⋅ln t 的取值范围为( )A.-∞,
1
e
B.
1
e
2
,+∞
C.
1
e ,+∞
D.-1e ,+∞
【例2】(2022·江西·临川一中模拟预测(文))已知函数f x =x +ln x -1 ，g x =x ln x ，若f x 1 =1+2ln t ，
g x 2 =t 2，则x 1x 2-x 2⋅ln t 的最小值为( )A.
1
e 2
B.-1e
C.-12e
D.
2e
【例3】(2022·全国·高三专题练习(理))设大于1的两个实数a ，b 满足ln 2b e
2a <b a n
，则正整数n 的最大值为
( )．
A.7
B.9
C.11
D.12
【题型专练】
1.(2022·四川绵阳·高二期末(理))已知函数f(x)=e x+x，g(x)=xe x，若f(x1)=ln k，g(x2)=k，则e x1+x2ln k的
最小值是( )
A.-e-1
B.e-1
C.e-2
D.-e-2
2.(2022·全国·高二期末)已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=x ln x，若f x1
=t2，则
=1+2ln t,g x2 x1x2-x2
ln t2的最小值为( )
D.2e
A.-1e
B.-12e
C.1
e2
题型三：利用同构解决函数的零点问题
【例1】(2022·海南华侨中学模拟预测)已知函数f x =a x-log a x(a>0且a≠1)有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )．
A.1,e1e
B.e1e,e
C.1,e
D.e1e,e
【例2】(2022·全国·高三专题)已知函数f x =xe x−2a ln x+x
有两个零点，则a的最小整数值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【题型专练】
1.(2021·全国·模拟预测)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方
程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方程ae a=e6和关于b的方程b ln b−2
=e3λ−1 (a,b,λ∈R)可化为同构方程，则λ=________，ln ab
=________．
2.(2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测)已知函数f x =ln x+1
-x+1．
(1)求函数f x 的单调区间；
(2)设函数g x =ae x-x+ln a，若函数F x =f x -g x 有两个零点，求实数a的取值范围．
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
【例1】(2022·广东广州·三模)对于任意x >0都有x x -ax ln x ≥0，则a 的取值范围为( )
A.0,e
B.-e 1-1
e ,e C.-∞,-e 1-1
e ∪e ,+∞
D.-∞,e
【例2】(2022·全国·高三专题练习(文))已知e 是自然对数的底数.若∃x ∈[1,+∞)，使me mx -6x 5ln x ≤0，则
实数m 的取值范围为( )A.-∞,
16
B.-∞,
6e
C.-∞,
e 6
D.(-∞,6]
【例3】(2022·宁夏中卫·三模(理))不等式ae ax >ln x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.
1
2e ,+∞
B.
1
e ,+∞
C.(1,+∞)
D.(e ,+∞)
【例4】(2022·陕西渭南·二模(文))设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的最小值为
( )
A.e
B.
12e
C.
1e
D.
2e
【例5】(2022·辽宁·高二期中)已知a >0，若在(1,+∞)上存在x 使得不等式e x -x ≤x a -a ln x 成立，则a 的最
小值为( )A.
1
e
B.1
C.2
D.e
【例6】(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))已知a >0，不等式xe x -x a
2ln x a
2≥0对任意的实数x >1恒成
立，则实数a 的最大值为( )A.
1
2e
B.2e
C.
1e
D.e
【题型专练】
1.(2022·辽宁葫芦岛·高二期末)已知a <0，不等式x a +1e x +a ln x ≥0对任意的实数x >2恒成立，则实数a 的最小值为( )A.-2e
B.-e
C.-1
e
D.-12e
2.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末)已知函数f (x )=e x -a ln (ax +a )-a ，(a >0)，若关于x 的不等式f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(0,1)
B.0,
1
e
C.
1
e ,1
D.0,e
3.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)若对任意x ∈-1,+∞ ，不等式ae x -ln x +1 +ln a ≥1恒成立，则实数a 的最小值是( )A.1
B.2
C.e
D.3
4.(2022·湖北·高二期末)若关于x 的不等式ae x -ln (x -1)-1≥0在区间(1,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.1e 2
,+∞ B.1
e ,+∞
C.1,+∞
D.e ,+∞
5.(2023·河南·洛宁县第一高级中学一模(理))对任意x∈0,+∞
，不等式a-1
x+ln ax
≤e x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.0,1
B.0,e
C.0,2e
D.0,e2
题型五：利用同构证明不等式
【例1】(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x-x e x .
(1)求f(x)的单调区间；
(2)已知a,b∈R，且a≠b，若ae a+b+be a=ae b+be a+b，求证：a+b>0.
【例2】(2022·海南中学高三阶段练习)已知函数f(x)=x-1 e x
.
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)设m，n为两个不相等的正数，且m ln n-n ln m=m-n，证明：mn>e4.
【例3】(2022·河北·高三阶段练习)已知函数f(x)=x ln x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且a b=b a，证明：2e<1a+1b<1．
【例4】(2022·河南郑州·二模(文))已知函数f x =e⋅e x-2
x+1，g x =
ln x
x+2.
(1)求函数g x 的极值；
(2)当x>0时，证明：f x ≥g x
【题型专练】
1.(2021·全国·高考真题)已知函数f x =x1-ln x
.
(1)讨论f x 的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a-a ln b=a-b，证明：2<1a+1b<e.
2.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2e-x
ln x，其中e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x1,x2∈0,1
，且x2ln x1-x1ln x2=2ex1x2ln x1-ln x2
，证明：2e<1
x1+
1
x2<2e+1.
3.(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(理))已知函数f x =e x-ax a∈R
．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a=0，证明：对任意的x>1，都有f x ≥x4-3x3ln x+x3．。