2020-2021全国中考数学相似的综合中考模拟和真题汇总附答案

2020-2021全国中考数学相似的综合中考模拟和真题汇总附答案
一、相似
1．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b的值；
（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【答案】（1）解：由题意得：，解得：a= ，b=
（2）解：①由（1）知二次函数为 .∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C （0，﹣2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC= ，BC= ，∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．
∵AE=2t，AF= t，∴ .
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；
由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t．
假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，
∴AE= AB= t= ÷2= ；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3．
∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，
∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．
∵OC⊥BD，
∴OD=OB=1，
∴AD=3，
∴AE= ，
∴t= ；
当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= 或t= ．
②ⅰ）当0＜t≤ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S= ×2t×t=t2；
ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，
过点G作GH⊥BE于H，
设GH=m，则BH= ，DH=2m，∴DB= ．
∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m= （4t﹣5），
∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣（4t﹣5）× （4t﹣5）= ；
ⅲ）当2＜t≤ 时，重叠部分为△BEG，如图5．
∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），
∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．
综上所述：．
【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

（2）①由x=0及y=0时，求出点A、B、C三点的坐标，以及线段OA、OB、OC的长，利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF （即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，可证得△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角三角形，可分成三种情况讨论：
i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0＜t≤，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
ii）当点E在线段AB中点与点O之间时，即＜t≤2时，重叠部分是个不规则四边形，根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii）当点E在线段OB上时，即2＜t≤时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。

2．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．
【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BM= = = ，
②当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN= = =5，
综上，BN= 或5；
（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示．
（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．
∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AF，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF2=BE2+DF2，
∴E、F是线段BD的勾股分割点．
②证明：如图4中，连接FM，EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，
∴△AFE∽△DFN，
∴∠AEF=∠DNF，，
∴，∵∠AFD=∠EFN，
∴△AFD∽△EFN，
∴∠DAF=∠FEN，
∵∠DAF+∠DNF=90°，
∴∠AEF+∠FEN=90°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM= AF，AN= AE，
∵S△AMN= AM•AN•sin45°，
S△AEF= AE•AF•sin45°，
∴ =2，
∴S△AMN=2S△AEF．
【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；
（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一
直角三角形的目的；
（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°，AH=AF，利用SAS判断出△EAH≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，故∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，根据等量代换得出结论；②证明：如图4中，连接FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠AEF=∠DNF， AF∶DF =EF∶FN ，根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN，根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°，得出∠AEF+∠FEN=90°，即∠AEN=90°，从而判断出△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF，AN= AE，从而分别表示出S△AMN与S△AEF，求出它们的比值即可得出答案。

3．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．
【答案】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
， = ,
即
是的切线
（2）解：猜想：MN∥AB．
证明：连结CB．
∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴ = , = ,
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴
∴MN∥AB．
【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。

由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；
（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式
，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。

4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形A BCD的边BC在x轴上，D点在y 轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三
点．
（1）请直接写出点B、D的坐标：B（________），D（________）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求证：ED是⊙P的切线；
（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】（1）-4，0；0，2
（2）解：将（2，0），B（-4,0），D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c得，
解得
∴所求抛物线的解析式y=- x2- x+
（3）证明：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴，∵∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE=∠DCB=60°，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线
（4）解：点N的坐标为（-5，）、（3，）、（-3，- ）【解析】【解析】解：（1）∵C点坐标为（2，0），
∴OC=2 ,
∵BC=6 ,
∴OB=BC-OC=4 ,
∴B（-4,0），
∵∠BCD=60°，tan∠BCD= ,
∴ ,
∴OD=,
∴D(0,);
（4存在,∵y=−x2−x+=−(x+1)2+
∴M(−1,)，
∵B(−4,0),D(0,)，
如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，
点D向左平移4个单位,再向下平移个单位得到B，
则点M(−1,)向左平移4个单位,再向下平移个单位得到N1(−5,)；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，
点B向右平移3个单位,再向上平移个单位得到D，
则点M(−1,)向右平移4个单位,再向上平移个单位得到N2(3,)；当BD为平行四边形BDMN的对角线时，
点M向右平移1个单位,再向下平移个单位得到D，
则点B(−4,0)向右平移1个单位,再向下平移个单位得到N3(−3,−)；
综上所述,以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时,点N的坐标为(−5，,)或(3,)
或(−3,−）
【分析】（1）根据点C的坐标，求出OC的长度，进而求出OB的长度，得出B点的坐标。

根据正切函数的定义得出OD的长度，从而得出D点的坐标；
（2）用待定系数法，分别将：将（2，0），B（-4,0），D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c 得得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而得出解析式；
（3）根据平行四边形的性质得出AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，又根据AE=3BE，，从而得出AE=3，根据锐角三角函数的定义得出AE∶AD＝OC∶CD,然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出△AED∽△COD，根据相似三角形对应角相等得出∠ADE=∠CDO，根据等量代换得出∠CDO+∠ODE=90°，即CD⊥DE，根据90°的圆周角所对的弦是直径得出CD为⊙P的直径，从而得出结论；
（4）首先求出抛物线的顶点M的坐标，然后按当BM为平行四边形BDMN的对角线时；当DM为平行四边形BDMN的对角线时；当BD为平行四边形BDMN的对角线时；三种情况，找到其他点的平移规律即可得出N点的坐标。

5．在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.
（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，
易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；
（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；
（3）图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE 时，线段EM与EN的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是________.
【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下：
∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点
∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45°∠CDB＝90°
∴∠CDF＋∠FDB＝90°
∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN
在△CDM和△BDN中
∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN，
∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN
（2）解：作DP⊥AC于P,则
∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1
∵∠CDG＝15°∴∠MDP＝30°
∵cos∠MDP＝
∴DM＝， DM＝DN，
∵△MND为等腰直角三角形
∴MN＝
（3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME
【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME 证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P
则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°
∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE
又∵∠MEP＋∠PEN＝90°
∠PEN＋∠NEB＝90°
∴∠MEP＝∠NEB
又∵∠MPE＝∠B＝45°
∴△PME∽△BNE
∴，即EN＝2EM
由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45°∠CDB＝90°根据同角的余角相等得出∠CDM＝∠BDN，然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM＝DN 即EM＝EN；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP＝45°CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出
∠MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos∠MDP＝得出DM的长，又DM＝DN，故△MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出MN 的长；
(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P，则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB然后判断出△PME∽△BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论，由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
6．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．
【答案】（1）PA=PB
（2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：
如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，
，
∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，
∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，
∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，
在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB
（3）解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，
，
∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；
在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF•BP=AE•BF，
∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．
【解析】【解答】解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P 为线段CD的中点，
∴PA=PB．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；
（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC，根据等边对等角得出∠CDE=∠PEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE=∠PCA，故∠PCA=∠PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE，然后利用SAS判断出△PAC∽△PBE，根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB；
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，根据平行线分线段成比例定理得出AP=PF，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB；然后
判断出△AEF∽△BPF，根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF•BP=AE•BF，根据等量代换得出2PA•PB=2k．AB，即PA•PB=k•AB．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，F为CD的延长线上一点，连接AF，且FA2=FD•FC．
（1）求证：FA为⊙O的切线；
（2）若AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的值．
【答案】（1）证明：连接BD、AD，如图，
∵
∴
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCA.
∴∠DAF=∠C.
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA=∠DAF.
∵AB是⊙O的直径，
∴
∴
∴
∴即AF⊥AB.
∴FA为⊙O的切线.
（2）解：设CE=6x，AE=2y，则ED=5x，EB=3y.
由相交弦定理得：EC⋅ED=EB⋅EA.
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴FD=5x.
∴
∴
∵
∴
∵△FAD∽△FCA.
∴
∵
∴
解得：
∴
∴AB的值为10
【解析】【分析】（1）连接BD、AD，根据两边成比例且夹角相等可得△FAD∽△FCA；由△FAD∽△FCA及同弧所对的圆周角相等可得∠DBA=∠DAF；再根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论。

（2）设CE=6x，则ED=5x，用相交弦定理表示出则AE的长，用勾股定理及题中的已知条件分别表示出FD、AF、AD的长；再利用△FAD∽△FCA即可得出结论。

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．
（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1
∴HF＝1
在Rt△HFE中，EF= ＝
∵EF⊥BE
∴∠BEF=90°
∴∠EHF=∠BEF=90°
∵∠EFH=∠BFE
∴△EHF∽△BEF
∴，即
∴BF=10
∴ , ,
∴在Rt△OHE中， ,
∴在Rt△EOA中， ,
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）连接OE．利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE∥BC，从而得∠AEO=∠C=90°，可得到证明；
（2）连结DE．利用AAS可证△CDE≌△HFE，从而得到证明；
（3）证△EHF∽△BEF，由相似三角形的性质可求得BF，从而得到OE，在Rt△OHE和△EOA中，由cos∠EOA可求出OA，从而求出AF.
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若 = ，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．
【答案】（1）解：如图，连接OB，则OB=OD，
∴∠BDC=∠DBO，
∵∠BAC=∠BDC、∠BAC=∠GBC，
∴∠GBC=∠BDO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBO+∠OBC=90°，
∴∠GBC+∠OBC=90°，
∴∠GBO=90°，
∴PG与⊙O相切。

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM=∠COM= ∠AOC，
∵
∴∠ABC= ∠AOC=∠COM，
又∵∠EFB=∠OMC=90°，
∴△BEF∽△OCM，
∴，
∵CM= AC，
∴，
又∵，
∴
（3）解：由（2）可知=，则BE=10.
∵PD=OD，∠PBO=90°，
∴BD=OD=8，
在Rt△DBC中，BC= =8 ，
又∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴， = ，
∴可设EF=x，则EC=2x、FC= x，
∴BF=8 ﹣ x，
在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，
∴100=x2+（8 ﹣ x）2，
解得：x=6± ，
∵6+ ＞8，舍去，
∴x=6﹣，
∴EC=12﹣2 ，
∴OE=8﹣（12﹣2 ）=2 ﹣4
【解析】【分析】（1）连接OB，则需要证明∠GBO=∠GBC+∠OBC=90°；由CD是⊙O的直径，则∠DBO+∠OBC=90°，即需要证明∠GBC=∠BDO，由同弧所对的圆周角相等，可知∠BAC=∠BDC，而∠BAC=∠GBC，∠BDC=∠DBO，则可证得∠GBC=∠BDO。

（2）因为已知=，求,其中EF，BE是△BEF的两条边，而AC，OC是△AOC的两条边，但△BEF和△AOC不相似，则可构造两三角形相似，因为△BEF是直角三角形，则可过
点O作OM⊥AC于点M，连接OA，即构造△BEF∽△OCM，从而可求得。

（3）由（2）得的值及OC=8求出BE；由PD=OD，且∠PBO=90°，根据“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”可得BD=OD=8，由勾股定理可求得BC的长，则△DOB是等边三角形，则在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨设EF=x，则CE=2x，CF=x。

在Rt△BEF中，由勾股定理可得BE2=EF2+BF2，构造方程解答即可。

10．如图1，直线l：与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是
线段OA上一动点（0＜AC＜），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．
【答案】（1）解：把A（4，0）代入，得 ×4+b=0，解得b=3，
∴直线l的函数表达式为，
∴B（0,3），
∵AO⊥BO，OA=4，BO=3，
∴tan∠BAO= .
（2）①证明：如图，连结AF，
∵CE=EF，
∴∠CAE=∠EAF，
又∵AC=AE=AF，
∴∠ACE=∠AEF，
∴∠OCE=∠OEA，
又∵∠COE=∠EOA，
∴△OCE∽△OEA.
②解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵tan∠BAO= ，
∴设EH=3x，AH=4x，
∴AE=AC=5x，OH=4-4x，
∴OC=4-5x,
∵△OCE∽△OEA，
∴ = ，
即OE2=OA·OC，
∴（4-4x）2+（3x）2=4（4-5x）,
解得x1= ，x2=0（不合题意，舍去）
∴E（，）.
（3）解：如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,
∵tan∠BAO= ,
∴cos∠BAO= ,
∴AN=OA·cos∠BAO= ,
设AC=AE=r,
∴EN= -r,
∵ON⊥AB，AM⊥OF,
∴∠ONE=∠AME=90°，EM= EF,
又∵∠OEN=∠AEM,
∴△OEN∽△AEM,
∴ = ,
即OE· EF=AE·EN,
∴OE·EF=2AE·EN=2r·（ -r）,
∴OE·EF=-2r2+ r-2（r- ）2+ （0＜r＜）,
∴当r= 时，OE·EF有最大值，最大值为 .
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入直线l解析式即可求出b值从而得直线l的函数表达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.（2）①如图，连结AF，根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证.
②如图，过点E作EH⊥x轴于点H，根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x，AH=4x，从而得出AE、OH、OC，由①中相似三角形的性质可得OE2=OA·OC，代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出E点坐标.
（3）如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,根据锐角三角函数定义可求得AN=OA·cos∠BAO= ,设AC=AE=r,则EN= -r,根据相似三角形判定和性质可知 = ,即OE·EF=-2r2+ r=（0＜r＜）,由二次函数的性质即可求此最大值.
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）的图像与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC.
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）
∴A（a，0），B（3,0），
当x=0时，y=3a，
∴D（0,3a）.
（2）解：∵A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.
∴对称轴x= ,AO=a，OD=3a，
当x= 时，y=- ，
∴C（，- ），
∴PB=3- = ，PC= ，
①当△AOD∽△BPC时，
∴ ,
即，
解得：a= 3（舍去）；
②△AOD∽△CPB，
∴ ,
即，
解得：a1=3（舍），a2= .
综上所述：a的值为 .
（3）解：能；连接BD，取BD中点M，
∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（， a），若点C也在此圆上，
∴MC=MB，
∴，
化简得：a4-14a2+45=0，
∴（a2-5）（a2-9）=0,
∴a2=5或a2=9,
∴a1= ，a2=- ，a3=3（舍），a4=-3（舍），
∵0<a<3,
∴a= ，
∴当a= 时，D、O、C、B四点共圆.
【解析】【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴相交，则y=0,得出A（a，0），B （3,0），与y轴相交，则x=0,得出D（0,3a）.
（2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x= ,AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，- ），从而得PB=3- = ，PC= ；再分情况
讨论：①当△AOD∽△BPC时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3（舍去）；
②△AOD∽△CPB，根据相似三角形性质得，解得：a1=3（舍），a2= .（3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M为圆心
（， a）的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.
12．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数
的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC 下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：直线，当时，；当时，，∴， .
∵二次函数的图象经过，两点，
∴解得
∴二次函数的表达式为： .
（2）解：过点作轴于点，交于点，过点作于点，
依题意设，则 .
其中，
∴，
∴
，
，
，
，
，
∵，∴抛物线开口向下．
又∵，
∴当时，有最大值，
（3）解：或
在轴上取点，使，则 .
过点作∥交延长线于点，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
.
在中，，解得 .∴ .
当时，
∴ .
∴ .
易证∽ .
∴ .
∴ , .
∴ .
∵，
∴直线的函数表达式为： .
由，解得：，（舍）.
∴点的横坐标为2.
②当时，方法同①，可确定点的横坐标为
【解析】【分析】（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点
作于点，设，则 .用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可.。