新教材高中数学第八章立体几何初步本章总结提升pptx课件新人教A版必修第二册
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2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养.
【例1】 如图所示,在边长为4的正三角形 中, , 依次是 ,
的中点, ⊥ , ⊥ , ⊥ , , , 为垂足.若将
△ 中的四边形 抠掉后,剩余部分绕 所在直线旋转
又因为 1 , 1 1 ⊂ 平面 1 1 , 1 ∩ 1 1 = 1 ,
所以 1 ⊥ 平面 1 1 .
由（1）知 ⊥ 平面 1 1 ,所以 1 // .
又 ⊂ 平面 , 1 ⊄ 平面 ,
所以 1 // 平面 .
三棱锥 − =
−
−
=
.
（方法二）取 的中点 ,连接 ,则 ⊥ 平面 ,
∴ − = − = △ ⋅ =
.
专题二 空间中的平行与垂直关系
1.空间中的平行、垂直关系,主要有线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面
180∘ ,求形成的几何体的表面积与体积.
解 所得几何体是由一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,
∵ 锥表 = π ⋅ 2 + π ⋅ ⋅ = 4π + 8π = 12π ,
柱侧 = 2π ⋅ ⋅ = 2 3π ,
∴ 所求几何体的表面积 = 锥表 + 柱侧 = 12π + 2 3π = 2 6 + 3 π .
（2）证明线面平行的常用方法有3种: a .利用线面平行的定义; b .利用线面平行的
判定定理; c .利用面面平行的性质.
（3）证明面面平行的常用方法有3种: a .利用面面平行的定义; b .利用面面平行的
判定定理; c .利用面面平行的结论:垂直于同一直线的两个平面平行.
2.空间中的垂直关系有三种:线线垂直、线面垂直、面面垂直.
本章总结提升
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
空间平行、垂直关系之间的转化
02
专题突破·素养提升
专题一 空间几何体的表面积和体积
1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体
积,球的表面积和体积,不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
由 圆锥 =
1
π
3
⋅
2
⋅ =
1
π
3
×
22
×2 3=
圆柱 = π ⋅ 2 ⋅ = π × 12 × 3 = 3π ,
∴ 所求几何体的体积为
圆锥 − 圆柱 =
8 3πBiblioteka 3− 3π =5 3
π
3
.
8 3
π
3
,
规律方法 1.空间几何体表面积的求法
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
求高的目的.
变式训练1 如图所示,已知三棱柱 − 1 1 1 的所有棱长均为1,
且 1 ⊥ 底面 ,则三棱锥 1 − 1 的体积为( A )
A.
3
12
B.
3
4
C.
6
12
D.
6
4
[解析] （方法一）
三棱锥 − = 三棱柱− − 三棱锥− −
所以 ⊥ 平面 1 1 .又 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 1 1 .
（2）直线 1 // 平面 .
解 因为 1 1 = 1 1 , 为 1 1 的中点,
所以 1 ⊥ 1 1 .
因为 1 ⊥ 平面 1 1 1 ,且 1 ⊂ 平面 1 1 1 ,所以 1 ⊥ 1 .
平行（垂直）.平行关系中线面平行是重点,垂直关系中线面垂直和线线垂直是重点.
2.学习空间中的平行关系和垂直关系提升逻辑推理和直观想象素养.
【例2】 如图,在直三棱柱 − 1 1 1 中, 1 1 = 1 1 , , 分别
是棱 , 1 上的点（点 不同于点 ）,且 ⊥ , 为 1 1 的
（1）证明线线垂直的常用方法有4种: a .利用两直线垂直的定义; b .利用线面垂直
的定义； c .利用勾股定理； d .利用等腰三角形三线合一.
（2）证明线面垂直的常用方法有3种: a .利用线面垂直的定义; b .利用线面垂直的
判定定理; c .利用面面垂直的性质.
（3）证明面面垂直的常用方法有2种: a .面面垂直的定义； b .利用面面垂直的判定
（2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用
公式进行求解.
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、
补形法等方法进行求解.特别地,求三棱锥体积时经常要转换顶点和底面,从而达到方便
规律方法 1.空间中的平行关系有三种:线线平行、线面平行、面面平行.
（1）证明线线平行的常用方法有7种: a .利用两直线平行的定义; b .利用平行线的
传递性; c .利用三角形中位线定理； d .利用平行四边形对边平行； e .利用线面平行的性
质定理; f .利用线面垂直的性质定理; g .利用面面平行的性质定理.
定理.
变式训练2 如图，在四棱锥 − 中， // , ⊥ , = 2 ,平面 ⊥
底面 , ⊥ , 和 分别是 和 的中点，求证：
（1） ⊥ 底面 ；
证明 因为平面 ⊥ 底面 ,平面 ∩ 底面 = , ⊂ 平面 ,
中点.求证:
（1）平面 ⊥ 平面 1 1 ;
证明 因为三棱柱 − 1 1 1 是直三棱柱,
所以 1 ⊥ 平面 .
又 ⊂ 平面 ,所以 1 ⊥ .
又因为 ⊥ , 1 , ⊂ 平面 1 1 , 1 ∩ = ,
【例1】 如图所示,在边长为4的正三角形 中, , 依次是 ,
的中点, ⊥ , ⊥ , ⊥ , , , 为垂足.若将
△ 中的四边形 抠掉后,剩余部分绕 所在直线旋转
又因为 1 , 1 1 ⊂ 平面 1 1 , 1 ∩ 1 1 = 1 ,
所以 1 ⊥ 平面 1 1 .
由（1）知 ⊥ 平面 1 1 ,所以 1 // .
又 ⊂ 平面 , 1 ⊄ 平面 ,
所以 1 // 平面 .
三棱锥 − =
−
−
=
.
（方法二）取 的中点 ,连接 ,则 ⊥ 平面 ,
∴ − = − = △ ⋅ =
.
专题二 空间中的平行与垂直关系
1.空间中的平行、垂直关系,主要有线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面
180∘ ,求形成的几何体的表面积与体积.
解 所得几何体是由一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,
∵ 锥表 = π ⋅ 2 + π ⋅ ⋅ = 4π + 8π = 12π ,
柱侧 = 2π ⋅ ⋅ = 2 3π ,
∴ 所求几何体的表面积 = 锥表 + 柱侧 = 12π + 2 3π = 2 6 + 3 π .
（2）证明线面平行的常用方法有3种: a .利用线面平行的定义; b .利用线面平行的
判定定理; c .利用面面平行的性质.
（3）证明面面平行的常用方法有3种: a .利用面面平行的定义; b .利用面面平行的
判定定理; c .利用面面平行的结论:垂直于同一直线的两个平面平行.
2.空间中的垂直关系有三种:线线垂直、线面垂直、面面垂直.
本章总结提升
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
空间平行、垂直关系之间的转化
02
专题突破·素养提升
专题一 空间几何体的表面积和体积
1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体
积,球的表面积和体积,不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
由 圆锥 =
1
π
3
⋅
2
⋅ =
1
π
3
×
22
×2 3=
圆柱 = π ⋅ 2 ⋅ = π × 12 × 3 = 3π ,
∴ 所求几何体的体积为
圆锥 − 圆柱 =
8 3πBiblioteka 3− 3π =5 3
π
3
.
8 3
π
3
,
规律方法 1.空间几何体表面积的求法
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
求高的目的.
变式训练1 如图所示,已知三棱柱 − 1 1 1 的所有棱长均为1,
且 1 ⊥ 底面 ,则三棱锥 1 − 1 的体积为( A )
A.
3
12
B.
3
4
C.
6
12
D.
6
4
[解析] （方法一）
三棱锥 − = 三棱柱− − 三棱锥− −
所以 ⊥ 平面 1 1 .又 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 1 1 .
（2）直线 1 // 平面 .
解 因为 1 1 = 1 1 , 为 1 1 的中点,
所以 1 ⊥ 1 1 .
因为 1 ⊥ 平面 1 1 1 ,且 1 ⊂ 平面 1 1 1 ,所以 1 ⊥ 1 .
平行（垂直）.平行关系中线面平行是重点,垂直关系中线面垂直和线线垂直是重点.
2.学习空间中的平行关系和垂直关系提升逻辑推理和直观想象素养.
【例2】 如图,在直三棱柱 − 1 1 1 中, 1 1 = 1 1 , , 分别
是棱 , 1 上的点（点 不同于点 ）,且 ⊥ , 为 1 1 的
（1）证明线线垂直的常用方法有4种: a .利用两直线垂直的定义; b .利用线面垂直
的定义； c .利用勾股定理； d .利用等腰三角形三线合一.
（2）证明线面垂直的常用方法有3种: a .利用线面垂直的定义; b .利用线面垂直的
判定定理; c .利用面面垂直的性质.
（3）证明面面垂直的常用方法有2种: a .面面垂直的定义； b .利用面面垂直的判定
（2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用
公式进行求解.
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、
补形法等方法进行求解.特别地,求三棱锥体积时经常要转换顶点和底面,从而达到方便
规律方法 1.空间中的平行关系有三种:线线平行、线面平行、面面平行.
（1）证明线线平行的常用方法有7种: a .利用两直线平行的定义; b .利用平行线的
传递性; c .利用三角形中位线定理； d .利用平行四边形对边平行； e .利用线面平行的性
质定理; f .利用线面垂直的性质定理; g .利用面面平行的性质定理.
定理.
变式训练2 如图，在四棱锥 − 中， // , ⊥ , = 2 ,平面 ⊥
底面 , ⊥ , 和 分别是 和 的中点，求证：
（1） ⊥ 底面 ；
证明 因为平面 ⊥ 底面 ,平面 ∩ 底面 = , ⊂ 平面 ,
中点.求证:
（1）平面 ⊥ 平面 1 1 ;
证明 因为三棱柱 − 1 1 1 是直三棱柱,
所以 1 ⊥ 平面 .
又 ⊂ 平面 ,所以 1 ⊥ .
又因为 ⊥ , 1 , ⊂ 平面 1 1 , 1 ∩ = ,