2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第2节圆与方程应用能力提升理(含解析)

第2节圆与方程
【选题明细表】
知识点、方法题号
圆的方程1,2,7
直线与圆的位置关系4,5,8,9,11
圆与圆的位置关系3,10
与圆有关的轨迹问题6,13
直线与圆的综合问题12,14,15,16
基础巩固(建议用时:25分钟)
1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( D )
(A)以(1,-2)为圆心,为半径的圆
(B)以(1,2)为圆心,为半径的圆
(C)以(-1,-2)为圆心,为半径的圆
(D)以(-1,2)为圆心,为半径的圆
解析:由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+1)2+(y-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为.
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( A )
(A)x2+y2=1 (B)(x-3)2+y2=1
(C)(x-1)2+y2=1 (D)x2+(y-3)2=1
解析:因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,故由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1.
3.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为( A )
(A)(x-2)2+(y-1)2=1
(B)(x+1)2+(y-2)2=1
(C)(x+2)2+(y-1)2=1
(D)(x-1)2+(y+2)2=1
解析:已知圆的圆心C(1,2)关于直线y=x对称的点为C'(2,1),所以圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.
4.(2018·长春模拟)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为
( B )
(A)2x+y-5=0 (B)2x+y-7=0
(C)x-2y-5=0 (D)x-2y-7=0
解析:因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,
所以点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,
因为圆心与切点连线的斜率k==,
所以切线的斜率为-2,
则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),
即2x+y-7=0.故选B.
5.(2018·四川宜宾一诊)直线l:2x-y+3=0被圆C:x2+y2+4y-21=0截得的弦长为( D )
(A)2 (B)4 (C)2 (D)4
解析:圆C:x2+y2+4y-21=0化为标准方程为
x2+(y+2)2=25,
圆心为(0,-2),半径r=5,
圆心(0,-2)到直线l的距离d==,
所以直线l被圆C截得弦长为
2=2=4,
故选D.
6.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1
(B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4
(D)(x+2)2+(y-1)2=1
解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则
解得
因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
7.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( B )
(A)(B) (C)(D)
解析:由点B(0,),C(2,),得线段BC的垂直平分线方程为x=1,①
由点A(1,0),B(0,),得线段AB的垂直平分线方程为
y-=(x-),②
联立①②,解得△ABC外接圆的圆心坐标为(1,),
其到原点的距离为=.故选B.
8.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是.
解析:过点M的最短弦与CM垂直,圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
因为k CM==1,
所以最短弦所在直线的方程为y-0=-(x-1),
即x+y-1=0.
答案:x+y-1=0
9.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .
解析:圆心O到直线l的距离d==3,
所以|AB|=2=2,
由题知直线l的倾斜角为30°,
所以|CD|===4.
答案:4
能力提升(建议用时:25分钟)
10.两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则
+的最小值为( A )
(A)1 (B)3 (C)(D)
解析:x2+y2+2ax+a2-4=0,即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0,即x2+(y-2b)2=1.依题意可得,两圆外切,则两圆圆心距离等于两圆的半径之和,
则=1+2=3,即a2+4b2=9,
所以+=(+)()=(5++)≥(5+2)=1,当且仅当=,
即a=±b时取等号.
11.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( D )
(A)-或- (B)-或-
(C)-或- (D)-或-
解析:由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),
设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),
即kx-y-2k-3=0.
因为反射光线所在直线与圆相切,
所以=1,
解得k=-或k=-.
12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+
|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为.
解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2
=2(+)+2.+为圆上任一点到原点距离的平方,
所以(+)max=(5+1)2=36,
所以d max=74.
答案:74
13.在△ABC中,已知|BC|=2,且=m,求点A的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
解:如图,以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点,建立直角坐标系.
则有B(-1,0),C(1,0),设点A的坐标为(x,y).
由=m,得=m.整理得(m2-1)x2+(m2-1)y2-2(m2+1)x+(m2-1)=0.①当m2=1时,m=1,方程是x=0,轨迹是y轴.
当m2≠1时,对①式配方,
得(x-)2+y2=.
所以,点A的轨迹是以(,0)为圆心,为半径的圆(除去圆与BC的交点).
14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设圆心C(a,0)(a>-),
则=2⇒a=0或a=-5(舍去).
所以圆C的方程为x2+y2=4.
(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
若x轴平分∠ANB,
则k AN=-k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒
-+2t=0⇒t=4,
所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.
15.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为直线l与圆C交于两点,
所以<1.
解得<k<.
所以k的取值范围为(,).
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
·=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=+8.
由题设可得+8=12,
解得k=1,所以l的方程为y=x+1.
故圆C的圆心(2,3)在l上,所以|MN|=2.
16.已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.
(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
(1)证明:因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而|PC|=<2=R,所以点P(0,1)在圆C 的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.
(2)解:由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦,只有与PC(C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2=2,即直线l被圆C截得的最短弦长为2.。