2016年高考数学高频考点原创与改编试题

2016年高考数学高频考点原创与改编试题
一、选择题与填空题创新题
原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有
2016)()2(-=⋅+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则
=+-)2016()2015(f f （）
A
51344
B 5
1344- C 672 D 672-
解：0>x 时，.2016)()2(-=+x f x f
)
(2016
)2(x f x f -
=+∴ )()
2(2016
)4(x f x f x f =+-
=+∴
52016
1
22016)2(2016)4()2016(2-=+-=-
==∴f f f ()()()()6721
22016
120163201520151=+==-=-=-f f f f ()()5
1344
20162015=
+-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，
且0
2160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2
11
e e 取最大值时，2
1,e e 的值分别是（）
A
26,22 B 25,21 C
6,33 D 3,4
2
解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。

设
.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。

2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+=
在21PF F ∆中：()()()()()0
21212
212
212
60cos 22a a a a a a a a c -+--++=
2
221234a a c +=∴
()2
12
212
2
2
1
2
22
113
23
2
11114e e e e e e a c a c =≥+
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
∴ （当且仅当
2131e e =时，取=）由,3
3
21,32112==e e e e 得26,2221==e e 。

∴选A
解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。

设
.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。

2211212,2a r r a r r =-=+∴
22
2212212141
c
r r c a a e e -==∴ 在21PF F ∆中，,60,60,600
120
210
21αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F
()
00
600
<<α由正弦定理：
()()
020160sin 260sin 60sin c
r r =-=+αα，
()
()
αα-=
+=
∴020160sin 3
4,60sin 3
4c r c r
()()()
ααα2sin 3
3
260sin 60sin 341020221=--+=∴
e e ∴当045=α时，
33
2|1max 21=
e e 此时,3
26426341c c r +=+⨯= c r 3
262-=
，22211=
∴=∴e c a ，2
6
2=e 。

∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ∆的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,，
若03
3
22=+
+GC b GB a GA c ，则ABC ∆为（） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形
答案：C
原创题或改编题4：.一个几何体的三视图与其尺寸如图所示，则这个几何体的
所有棱的长度之和是（ ） （A ）8+22（B ）12
（C ）6+32 （D ）
4+42
答案：A
原创题或改编题5：有一个棱锥的三视图与其尺寸如图所
示，则该棱锥侧
棱与底面所成角的正弦值为（ ）
（A ）4
5
（B ）23417
（C ）2
3
（D 317
答案：B
原创题或改编题6：已知一个几何体的三视图与其尺寸如图所示，则它的外接球的表面积为_____.
答案：12π
（二）15题原创题与详解。

原创题或改编题7：若函数()f x 在其图象上存在不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其
坐标满足条件：
2222
12121122
||x x y y x y x y +-++的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：
①1
()(0)f x x x x
=+
> ；②()ln (03)f x x x =<<；
③()f x
④()f x =.
其中为“柯西函数”的有______(填出所有正确答案的番号)
22121211||||||||,()x x y y x y x OA OB OA OB O A B y kx y f x +-+⋅⇔⋅≤⋅⇔⇔==解：0
且能取等号、、三点共线
存在过原点的直线与的图象 有两个不同交点
①1
()(0)f x x x x
=+
>思考1：用图象 y x y kx ==它以为渐近线，与最多一个交点.
1
()(0)y kx f x x x x
==+>思考2：将代入，21)1,k x -=得(
(1)1(2)1k k ≤>时无解；时,有一个解不合题意.
②00()ln ,y kx f x x x
y ==设与的图象的切点为()
000001
,1,(01(),3)
y x x e x x f x x '==∴==∴∈得ln 结合图象得，是,“柯西函数
”
③221(0)84
y x y y =-=≥ 22
184
y x y kx -==图象是双曲线的上支，给合其渐近线，
与它的图象只有一个交点，不合题意。

220,k x y y y y k >=>=±若解方程组，易得时，原因是否还没解，就忽略了的隐含条件：从而（点拔：解方程组必须解所有未知数哟！）
④22
1(0)48
x y y y =⇔
-=≥ 22
184x y x x x -=图象是双曲线在轴上或轴上方的部分
在轴上有两个交点，合题意。

原创题或改编题8：若函数()f x 在其定义域的一个子集[,]a b 上存在实数()m a m b <<，
使()f x 在m 处的导数()f m '满足()()()()f b f a f m b a '-=-，则称m 是函数()f x 在[,]a b 上的一个“中值点”。

则下列命题： ①函数
2()3ln f x x x x =-+在1[,3]4
上恰有两个“中值点”；
②函数3
21()ln 23
x f x x =
-在[5,5]-上恰有两个“中值点”； ③函数321()3f x x x =
-在[0,]b 上恰有两个“中值点”，则实数b 的取值范围是3
(,3)2； ④函数321
()3
f x x x b =-+在[0,]b 上恰有一个“中值点”，则实数b 的取值范围是
3
(0,][3,)2
+∞ 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)． 2解： 设(,(),(,())A a f a B b f b ，则
()()()()f b f a f m b a '-=-()()
()f b f a f m b a
-'⇔=
-()AB f m k '⇔=
①求导，结合图象，正确。

②
2()2x f x x '=-=0，有三个解（教材结论），图象有三个极值点，
由图象得②错
③
22
()(0)1()2,,
03
f b f f x x x b b b -'=-=--设
22122222
21
,20(0,),
3
1(0)032()013()2,,33
321
44403x x x x b b b g b b g b b b g x x x b b b b b b --+=⎧
=-+>⎪⎪
⎪=->⎪=--+<<⎨⎪>⎪
⎪∆=+->⎪⎩
由已知得为方程在上两个不同根令则 ④321()3f x x x b =
-+可由321
3
y x x =-上下平移得，不影响“中值点”的个数；
由③的解答过程知，它不可能有三个与其以上的“中值点”， 由图象得，连续函数至少有1个“中值点”，④实际就是③的否定. ④正确.
综上，填①③④
原创题或改编题9：.已知点P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上除点A 外的
任意一点，作以
A 为圆心，P 到A 的距离r 为半径的球面与正方体的表面相交，设交线为
m ，定义函数()c r 为m 的长度，则下列命题：
① 当r ∈时，m 在侧面11BCC B 上的部分在以B 为
圆心的圆上； ②(1)2c π=；
③(
)36
c =；
④函数()c r 在上是增函数，()c r 在上是减函数. 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)．
3解：① 当r ∈时，P 可在侧面11BCC B 上，
这时
AB ⊥侧面11BCC B AB BP BP ∴⊥∴=，，
②当1r =时，P 点的轨迹是以A 为圆心以1 为半径在三个面1111,,ABB A ABCD ADD A 上圆心角
为
2
π
的圆弧，3(1)312
2
f π
π
=⋅
⋅=
，所以②错
③当3r =
时，在面11B C CB 内点B 到圆弧的距离为3，此圆弧的长为
32π=6
同样在面1111A B C D , 11DCC D .
又当P 在侧棱1BB 上时，,63
PAB AP π∠==； 同理
P 在侧棱11A B 上时1,6
PAA π∠=在面11ABB A 内P 点的轨迹均是以A 为圆心，以
3为半径的中心角为16
π的圆弧，弧长为1639π⋅
=，
同理，在平面ABCD ,11ADD A 内的弧长也为
9
所以(
3()3696
c =+=，所以③正确.
④当r =
P 在面11B C CB 内的轨迹是以B 为圆心，1为半径的圆弧，长
为
2
π
，同理在面1111A B C D ,11DCC D 内的弧长也为
2
π
，所以32
c π=
由②知3(1)312
2
c c π
π
=⋅⋅=
=，所以④错误。

综上，填①③
二、 三角函数
1.原创题或改编题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
2sin sin()sin()cos()sin 12
A B
A B A B A B C -+--+-=, (Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)若6c =
，b =点D 在BC 边上，2BD DC =，求AD 的长.
原创题或改编题解析：【答案】(Ⅰ)34
A π
=(Ⅱ)2AD = 【解析】略
2.原创题或改编题：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且
2
sin 2)2cos(12
C
B A +=++π （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若2b =，ABC ∆
的面积S =a 的值。

原创题或改编题解析：答案：（Ⅰ）3
π
=
A （Ⅱ）
3.原创题或改编题：
三、数列
1.原创题或改编题：1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已
2,
，求数列2.原创题或改编题：已知正项数列{n a }的前项和为n S ，且对任意n N ∈，都有
1n S +，1n a +，4成等比数列.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{n b }的前n 项和n T ，并证明16n T <.
原创题或改编题解析：（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11
646
n -+
四、概率 （理科）
1.原创题或改编题：某市进行中学生排球比赛，以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中学甲球队每一局赢中学乙球队的概率为35
.已知比赛中，第一局中学乙球队先胜一局，在
这个条件下，
（Ⅰ）求中学甲取胜的概率；
（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列与ξE .（两问均用分数作答） 【解】（Ⅰ）解：中学甲取胜的情况有两种：
中学甲连胜三局;
②中学甲在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.……………………2分
故中学甲取胜的概率为
32233332()C ()5555
p =+⨯⨯ …………………………………………………4分
27162297.125625625
=+=
故所求概率为297.625
………………………………………………………………5分
（Ⅱ）比赛局数,ξ
则2
24(3)();525
P ξ===
1
32335122(4)();5555125
P C ξ==⨯⨯⨯+=
1
2223333327054222(5)()().555555625125
P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯==………………8分
ξ的分布列为:
……………………10分
125
534
1255451255142543=
⨯+⨯+⨯
=ξE .……………………………………………12分 2.原创题或改编题：据有关调查统计，2015年某大城市私家车平均每天增加36辆，
公交车也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重，现有A 、B 、C 三辆车从同一地点出发，开往甲、乙、丙三地，已知A 、B 、C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为
51，51，3
1
，且每辆车是否被堵互不影响。

⑴求这三辆车恰有两辆车被堵的概率；
⑵用ξ表示这三辆车被堵的车辆数，求ξ的分布列与数学期望E ξ。

答案：⑴25
2
31545131515432512
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=P
⑵()7532
325402
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，()75323154325451212
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯==ξP
()75102=
=ξP ，()7513151513=⨯⨯==ξP 。

15
11
=ξE 。

3.原创题或改编题：科幻片《星际穿越》上映后，全球累计票房高达 6亿美元，为了
了解某市观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“100分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于90分，则称该观众为“满意观众”。

现从调查人群中抽取15名。

如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数。

⑴求从这样15人中随机选取3人，至少有2人为“满意观众”的概率；
⑵以本次抽样的频率作概率，从某市观看此影片的观众中任选4人，记ξ表示抽到“满意观众”的人数，求ξ分布列与数学期望E ξ。

答案：⑴91693
1531015210=+⨯=C C C C P ，⑵ξ服从⎪⎭
⎫
⎝⎛32,4B ，38324=⨯=ξE 4.原创题或改编题：某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项指标需
要检验，设各项技术指标达标与否互不影响。

若有且只有一项技术指标达标的概率为36
11
，
至少一项技术指标达标的概率为
36
35；按质量检验规定：两项技术指标达标的零件为合格品。

⑴求一个零件经过检验为合格品的概率是多少？
⑵任意依次抽出5个零件进行检验，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ ⑶任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ。

答案：⑴设A ，B 项指标达标的概率分别为,,21P P 一个零件为合格品的概率为P
()()()(),36
35111,361111212121=---=-+-P P P P P P 3
2
21=
=∴P P P ⑵24313132313215
554
45=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C ⑶ξ服从⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,4B ，3
8324=⨯
=ξE 文科：
1、甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃4，红桃5，红桃6，方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

⑴设（j i ,）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； ⑵若甲抽到红桃5，则乙抽出的牌的牌面数字比5小的概率是多少？
⑶甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则乙胜。

你认为此游戏是否公平并说明理由。

答案：⑴()()()
()()()'
'
4
,5,6,5,4,5,4,4,6,4,5,4()()()()()()64,5,4,4,4,4,6,5,6,4,6'
,
'
'
共12个；
⑵3
2
=
P ⑶用A 表示甲胜，用B 表示乙胜，()()12
7
,125==
B P A P ；∴不公平
2、某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[)510,495内的产品为合格品，否则为不合格品。

表1是甲流水线样本的频率分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图。

⑴根据上面表1中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；
⑵若以频率作概率，试估计从两条流水线上分别任取一件产品，该产品恰好为合格品的概率分别是多少？
⑵,4
3
40301==
P ()9.0503.009.006.02=⨯++=P
五、
立体几何
原创题或改编题1：如图，在底面是正方形的四棱锥P -ABCD 中，平面PCD
平面ABCD ，
PC =PD =CD =2. （Ⅰ）求证：PD BC ；
（Ⅱ）求二面角B
PD C 的大小；
（Ⅲ）求点A 到平面PBC 的距离.
方法一：（Ⅰ）证明：平面PCD
平面ABCD ,
又平面PCD 平面ABCD =CD ，BC CD ,
BC 平面PCD ,---------------------------3分 PD 平面PCD ,
BC
PD ； ---------------------------4分
（Ⅱ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，
PCD 为正三角形， CE
PD ，
由（Ⅰ）知BC
平面PCD ,
CE 是BE 在平面PCD 内的射影, BE
PD ,
P
A B
D
C
E
F
P
D
C
1
A
CEB为二面角B-PD-C的平面角, ------------------7分在CEB中,90
BCE, BC=2, 3
CE ,
23
tan
BC
CEB
CE
,
二面角B-PD-C的大小为；-------------10分（Ⅲ）解：底面ABCD为正方形，//
AD BC,
AD平面PBC, BC平面PBC,
//
AD平面PBC,
点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离,
过D作DF PC 于F ,
BC平面PCD，
BC DF ,
PC BC C,
DF平面PBC, 且DF平面PBC=F,
DF为点D到平面PBC的距离, --------------13分在等边PCD中, 2,,
DC DF PC
22
1,
3
CF DF DC CF,
点A到平面PBC-------------14分
原创题或改编题2：如图,已知四棱柱
1111
ABCD A B C D
-的底面
ABCD是正方形,点
1
A在
底面上的射影O是正方形ABCD的中心,且
1
AB AA
==.
(Ⅰ) 证明:
1
A C⊥平面
11
BDD B
(Ⅱ) 求二面角
1
B OB C
--的余弦值.
证明:(Ⅰ)
1
A O⊥底面ABCD，且O是正方形ABCD的中心
1
BD AC BD AO
∴⊥⊥
，
1
,
AC AO O BD
=∴⊥平面
11
A AC BD AC
∴⊥
，
O
D 1
B 1
C 1
D
A
C
A 1
111111
1111
//OA OA OC AA AC AA BB BB AC ∴==∴⊥∴⊥，，，
又
1BB BD B =，1A C ∴⊥平面11BDD B
(Ⅱ) 如图建立空间直角坐标系O xyz - 则(1,0,0),(0,1,0),OB OC ==
11111(0,0,1)(1,1,0)(1,1,1)OB OA A B OA AB =+=+=+=
设平面1OB B 的法向量(,,)n x y z =，则
x x y z =⎧⎨
++=⎩，可取(0,1,1)n =- 设平面1OB C 的法向量111(,,)m x y z =，则
111100
y x y z =⎧
⎨
++=⎩，可取(1,0,1)m =- 1
cos ,2
||||22m n m n m n ⋅∴=
==⨯
∴二面角1C OB B --的余弦值1
2
=-（点拔：这里法向量夹角与二面角互补）
法2：传统法。

过B 作1BE OB ⊥于E ，连结CE ，由两次全等三角形证1
CE OB ⊥
原创题或改编题3：（文科）如图, 已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,
点1A 在底面上的射影O 是正方形ABCD 的中心 ,且12AB AA ==.
(Ⅰ) 证明: 1A C ⊥平面11BDD B (Ⅱ) 求四棱锥11C BB D D -的体积. 证明:(Ⅰ)
1A O ⊥底面ABCD ，且O 是正方形ABCD 的中心
1
BD AC BD AO ∴⊥⊥， 1,AC
AO O BD =∴⊥平面11
A AC BD AC ∴⊥，
111111
1111
//OA OA OC AA AC AA BB BB AC ∴==∴⊥∴
⊥，，，
又1BB BD B =，1A C ∴⊥平面11BDD B
(Ⅱ)
四棱柱1111ABCD A B C D -中， 11BB D D 是平行四边形 11//A B 底面ABCD ，
11111
112
222211333C BB D D C BB D B BDC BCD V V V S AO ---∆∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 原创题或改编题4：、已知斜三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点．
（Ⅰ）求证：1BC //平面1A DC ； （
Ⅱ
）
若
11
12,2,60AB AA AC CA CB BAA ︒=====∠=， 求二面角11D B C B --的大小．
证明:(Ⅰ)在三棱柱11ABC A B C -中，连结1AC 交1A C 于E ，连结DE .则E 是1AC 的中点
D 是AB 的中 点，
11
//2
DE BC ∴=
1BC ⊄平面1A DC
1BC ∴//平面1A DC
(Ⅱ)
112,60AB AA BAA ︒==∠=，1ABA ∴∆为等边三角形.
D 是AB 的中 点，113A D AB A D ∴⊥=，2
2
2
111
12,12+CA CB CD AB CD AC CD A D AC CD A D ==∴⊥==∴=∴⊥，，，
如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则
11111(2,3,0),(3,0),(1,0,1)
DB BB AA B C BC =-==-==
设平面11DB C 的法向量(,,)n x y z =，则
2+30
x x z ⎧-=⎪⎨
+=⎪⎩，可取(3,2,3)n = 设平面11BB C 的法向量111(,,)m x y z =，则
111130
x x z ⎧-+=⎪⎨
+=⎪⎩，可取(3,1,3)m = 470
cos ,35||||107
m n m n m n ⋅∴=
==⨯ 二面角1C OB B --为锐角，∴它的余弦值70
35
=
法2：传统法。

过D 作1DF BB ⊥于F ，连结CF ，再过D 作DH CF ⊥于H ，再过H 作
11HP B C ⊥于P ，且BC 于Q ，。

原创题或改编题5：（文科）、已知斜三棱柱11ABC A B C -中，D 是AB 的中点．
（Ⅰ）求证：1BC //平面1A DC ；
（Ⅱ）若侧面11AA B B ⊥底面ABC ，且侧面11AA B B 是菱形，160BAA ︒
∠=，CA CB =，则
在棱1CC 上找一点P 使11A P B B ⊥
证明:(Ⅰ)在三棱柱11ABC A B C -中，连结1AC 交1A C 于E ，连结DE .则E 是1AC 的中点
D 是AB 的中 点，
11
//2
DE BC ∴=
1BC ⊄平面1A DC
1BC ∴//平面1A DC
(Ⅱ)
,CA CB D AB CD AB =∴⊥是中点，，
侧面11AA B B ⊥底面ABC AB ，是交线，11CD AA B B ∴⊥
111111111111
111111111111111160.////11//241
4
AA B B BAA A B B A B F DF BB G AG DF H DF B B C C AG B B H HP C C P HP AA B B HP B B B B A FP B B A P GF B B PC C C
PC C C A P B B
︒∠=∴∆⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥∴==⊥是菱形，，是正三角形作中点，连结，作中点，连结交于则，，过作于，则平面，平面，，
又，即时，使
原创题或改编题6：如图1，在梯形ABCD 中，已知90,4,2A AB BC AD ∠=︒===；将梯形ABCD 沿它的中位线EF 折成直二面角，连结,AB CD 得多面体ABCDFE ，如图2。

(1)在BC 上是否存在点G ，使BD ⊥EG ，若存在，试确定G 的位置；若不存在，说明理由；
(2)求二面角C —DF —E 的正弦值．
解：在图1中，EF 是梯形ABCD 的
中位线，90,////,A EF AD BC EF AB ∠=︒∴⊥
EFDA EFBC EF AE AE EFCB ∴⊥⊥∴⊥图2中，平面平面，平面…………2分
如图建立空间直角坐标系E －xyz ，由已知得),,(222-=BD (1)假设存在，设),,(02t G ，则),,(02t EG = 要使BD ⊥EG ，
只需202402222==+=⋅-=⋅t t t EG BD ,),,(),,( 即G 为BC 中点时，BD ⊥EG
(2)由已知可得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的一个法向量. 设平面DCF 的法向量为(,,)n x y z =，
(0-1,2(210)FD FC ==，），，，，
20,20
y z x y -+=⎧∴⎨+=⎩可取(1,2,1)n =- 则6
cos ,||||26
n EB n EB n EB ⋅<>=== 30sin ,6n EB ∴<>=，30
6C DF E ∴--二面角
六、解析几何
原创题或改编题：
1..如图，F1，F2是双曲线C：22 22
1
x y
a b
-=(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若∆ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为
（C ）
A．3B．2C．7D．13
2.已知直线(14)(23)(312)0()
k x k y k k R
+---+=∈所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆22
:1
O x y
+=,直线:1
l mx ny
+=.试证明当点(,)
P m n在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.
解: （1）由(14)(23)(312)0()
k x k y k k R
+---+=∈,
得(23)(4312)0
x y k x y
--++-=,则由
230
43120
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
,解得F（3,0）
设椭圆C的方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>,则
222
3
8
c
a c
a b c
=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪=+
⎩
,解得
5
4
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
所以椭圆C的方程为
22
1
2516
x y
+=
.
（2）因为点(,)
P m n在椭圆C上运动,所以
22
22
1
2516
m n
m n
=+<+,
从而圆心O到直线:1
l mx ny
+=的距离
22
1
d r
m n
=<=
+
.
所以直线l与圆O恒相交,
又直线l被圆O截得的弦长为22
22
1
21
L r d
m n
=-=-
+2
1
21
9
16
25
m
=-
+
由于2
025
m
≤≤,所以2
9
161625
25
m
≤+≤,则
156
25
L∈,
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是
156
25
L∈
3.如图，已知椭圆
2
2
:1
4
x
C y
+=的上、下顶点分别为,A B，点P在椭圆上，且异于点,A B，直线,
AP BP与直线:2
l y=-分别交于点,
M N，
（Ⅰ）设直线,
AP BP的斜率分别为
12
,k k，求证：
12
k k⋅为定值；
（Ⅱ）求线段MN的长的最小值；
（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
解析：()()()
00
(1)0,1,0,1,,,
A B P x y
-令则由题设可知
x≠，
∴直线AP的斜率0
1
1
y
k
x
-
=，BP的斜率0
2
1
y
k
x
+
=，又点P在椭圆上，所以
()
2
00
1,0,
4
x
y x
+=≠从而有
2
000
112
000
1111
4
y y y
k k
x x x
-+-
⋅===-
（2）则由题设可知直线AP的方程为()
1
10
y k x
-=-
直线BP的方程为()
2
10
y k x
+=-
由1
1
2
y k x
y
-=
⎧
⎨
=-
⎩1
3
,
2
x
k
y
⎧
=-
⎪
∴⎨
⎪=-
⎩
由2
1
2
y k x
y
+=
⎧
⎨
=-
⎩2
1
,
2
x
k
y
⎧
=-
⎪
∴⎨
⎪=-
⎩
∴直线AP与直线l的交点
1
3
,2
M
k
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，直线BP与直线l的交点
2
1
,2
N
k
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
又111
4
k k ⋅=-
，
∴11213134MN k k k k =
-=+≥=等号当且仅当
11
3
4k k =
，即12k =±时取到，故MN
线段长的最小值是(3)设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆上任意一点，则0QM QN ⋅=,故有
()()1231220x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，又11
14k k ⋅=-，所以以MN 为直径的圆的方程为 ()2
2
113240,x y k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭令()2
20212x x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩
解得02x y =⎧⎪⎨=-±⎪⎩ 以MN
为直径的圆经过定点(
(0,20,2-+--和
七、函数与导数
1.原创题或改编题：
1.已知函数1
2()ln x x
e f x e x x
-=+.
(Ⅰ)求曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()1f x >.
解析：
()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+), 112122'()1x x x x f x e nx e e e x x x
==∴=+-+
∴(1)2,'(1)f f e ==
∴()y f x =在点（1，(1)f 处的切线方程为(1)2y e x =-+……5分
122
()1,()11.
()1,'()1.
x x x f x e n e f x x nx xe x e g x x nx g x nx =-=+>>-==（II ）由（I ）知从而等价于设函数则
11
(0,)'()0;(,)'()0.x g x x g x e e ∈<∈+∞>所以当时，当时，
11
(),()g x g x e e
+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为
11
.e e
g()=-……………………………8分 2
(),'()(1).x x h x xe h x e x e
--=-=-设函数则
(0,1)'()0;(1,)'()0.()x h x x h x h x ∈>∈+∞<所以当时当时，故在（0,1）单调递增，…
1()(0,)(1).h x h e
∞∞=-在(1,+)单调递减，从而在的最大值为
0()(),() 1.x g x h x f x >>>综上，当时，即…………………………12分
2.原创题或改编题：12.设函数()()21
ln 12
f x x ax x =++-，其中a R ∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性，并说明理由； （Ⅱ）若()0,x f x ax x ∀>≥-成立，求a 的取值范围.
解析：（I ）函数()()21
ln 12f x x ax x =++-的定义域为(1,)-+∞，
2(1)()1
ax a x
f x x +-'∴=+
2()(1)g x ax a x =+-，(1,)x ∈-+∞
（1）当0a =时，()g x x =-
∴令()0g x x =->，10x ∴-<<，
∴()f x 的增区间为：(1,0)-，减区间为：(0,)+∞，
（2）当0a >时，令2()(1)0g x ax a x =+-=，1211
0,1a x x a a
-===-+ ①当01a <<时，21x x >，
∴()f x 的增区间为：(1,0)-，1(1,)a -++∞，减区间为：1
(0,1)a
-+，
②当1a =时，21x x =，2()(1)0g x ax a x =+-≥，()f x 的增区间为：(1,)-+∞ ③当1a >时，1201x x =>>-，
∴()f x 的增区间为：1(1,1)a --+，(0,)+∞，减区间为：1
(1,0)a
-+，
（3）当0a <时，令2()(1)0g x ax a x =+-=，1211
0,11a x x a a
-===-+<-
. ∴当10x -<<时，()0g x >，当0x >时，()0g x < ∴()f x 的增区间为：(1,0)-，减区间为：(0,)+∞ 综上所述：略
（Ⅱ）因为()0,x f x ax x ∀>≥-成立，所以()()21ln 102
x x ax ax ϕ=++->对0x >恒成立，
()21111
ax a x ax a x x ϕ+-'=+-=++ （1）当01a ≤≤时，()0x ϕ'≥，则()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴>=，满足题意。

（2）当1a >时，令()0x ϕ'<
，则0x <<，∴()x ϕ
在上单调递减，x ∴
∈时，()(0)0x ϕϕ∴<=，不满足题意。

（3）当0a <时，令()0x ϕ'>
，则0x <<
，∴()x ϕ
在上单调递
增，在)+∞上单调递减，
取012(1))x a =-∈+∞时，
()()22000000011
ln 12
2
x x ax ax x ax ax ϕ=++-<+-200000112(1)()(1)[]022a x ax a x ax x a ϕ-∴<+-=-<，不满足题意。

综上所述：a 的取值范围[0,1]。