2018年高考(新课标全国卷Ⅰ)理科数学预测信息卷(13)

2018年高考预测信息卷(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(十三)
本试卷分必考和选考两部分．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．已知集合{|M x y ==，2{|20}N x x x =-<，则()
R M N ð=
A ．(0，2)
B ．(1，2)
C ．[1，2)
D ．(−∞，1]
2．已知i i(1i)x y +=+(x ，y ∈R )，复数z =x +y i ，则z z ⋅=
A ．2
B
C ．2+3i
D ．−2+3i
3．执行如图所示的程序框图，输出的n 的值是
A ．3
B ．9
C ．27
D ．81
4．珠算被誉为中国第五大发明，2013年12月4日，中国珠算正式被列入人类非物质文化遗产名录．以珠算为代表的中国古代科技灿烂辉煌，曾长期领先于世界．《中国的世界记录》收录的中国古代科技成果如下表：
则该组数据的中位数与众数的差的绝对值是
A ．1
B ．14
C ．16
D ．15
5．已知向量a =(−2，5)，b =(−
12，−1)，则2a +4b 与13a −43b 的夹角等于 A ．2π B ．4π C ．3π D ．6
π 6．已知抛物线C ：22x py =(p >0)的焦点与椭圆2
212
y x +=的一个焦点重合，点M 是抛物线C 上的一个动点，则点M 到点A (2，0)的距离与点M 到抛物线C 的准线的距离之和的最小值为
A ．
B
C ．
D 7．如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，
且MD =NB =1，E 为MC 的中点，则下列结论不正确的是
A ．平面BCE ⊥平面ABN
B ．M
C ⊥AN
C ．平面CMN ⊥平面AMN
D ．平面BD
E ∥平面AMN
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中1a =1，1a ，22a ，3a +3成等差数列，
且1n a +=λ1n S +(n ∈N *，λ≠−1)，则n a =
A ．21n -
B ．12n -
C ．1(1)1n λ-+-
D ．1(2)n λ-+
9．已知在△ABC 中，点D 是边AB 上的点，且AC ∶CD ∶BC 2∶4，2∠CDB −∠A =π，
则sin ∠B 的值为
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
10．已知双曲线M ：22
221x y a b
-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 、B 分别位于双曲线M 的左、右支上，且四边形ABF 2O 为菱形(O 为坐标原点)，F 1B 交双曲线M 的左支于点Q ，1
1FQ F B λ=，则λ= A
．6 B
．112 C
．111 D
．11
11．在三棱柱ABC −111A B C 中，△ABC 为正三角形，1AA ⊥平面ABC ，且1AA =AB ，过1
AB 作平面α与1BC 平行，且交平面11ACC A 于直线m ，则直线m 与直线BC 所成角的余弦值为
A
．3 B
．5 C
．10 D
．12
12．已知函数()f x
=31,00
x x x -⎧-<⎪⎨⎪⎩≥，若函数()g x =()f x −x −b 有三个零点，则实数b 的取
值范围为
A ．(−∞，2]
B ．(1，2)
C ．(0，1)
D ．(1，2]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．函数sin cos()3y x x π=+
的最小正周期是 ． 14．92()a x x
+的展开式的常数项为−672，则其所有项的系数和为 ． 15．生产一台甲型机器需A 材料2吨，B 材料3吨，生产一台乙型机器需A 材料3吨，B 材
料2吨，仓库存有A 、B 两种材料各60吨．一台甲型机器可获利3 000元，一台乙型机器可获利4 000元，则以仓库现有材料生产甲、乙两种型号的机器所获最大利润为 元．
16．已知函数()log a f x x =，a >1，且当x ∈(0，1)时，2(1)(1)f x f x m +--≥恒成立，
则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足1a =1，1{}n
a 为等差数列，且公差为3．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若2n
n n
b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)
已知一个棱柱的直观图和三视图如图所示，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．
(1)求证：GN ⊥AC ；
(2)求二面角A −FM −C 的余弦值．
19．(本小题满分12分)
某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期的10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示．
(1)你认为选派谁参赛更合适?并说明理由．
(2)若从甲、乙两人10次的成绩中各随机抽取1次，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
20．(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：22
12x y +=，经过点A (3，的直线l 与圆O 相交于P ，Q 两点，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，分别交x 轴于M ，N 两点，且N (2，0)，|NQ |−|MP |=2．
(1)求直线l 的方程；
(2)若点B 为直线y =
−3
x 与直线l 的交点，是否存在定点C ，对于圆O 上任一点D 都有|DC
|=
DB |(λ为常数)?若存在，求出点C 的坐标及λ的值；若不存在，请说明
理由． 21．(本小题满分12分)
已知函数()f x =(1)ln x a e a x x x ----．
(1)当a =1时，求证：()f x 为增函数；
(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围．
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22tan 1
tan x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(α为参数)，点M (−2，
1)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(2cos sin )ρθθ-=3．
(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
(2)若曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值．
23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲
设函数()||f x x a =-，a ∈R ．
(1)若a =1，解不等式()f x ≥1(1)2
x +； (2)记函数()g x =()f x −|x −2|的值域为A ，若A ⊆[−1，3]，求a 的取值范围．
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(十三)答案
1．B 【解析】由题意得M ={x |x ≤1}，N ={x |0<x <2}，∴R M ð={x |x >1}，
()R M N ð={x |1<x <2}．故选B ．
2．A 【解析】由i i(1i)x y +=+=i −1，得11
x y =⎧⎨=-⎩，则z z ⋅=22x y +=2．故选A ． 3．C 【解析】由程序框图知，开始，S =2，n =1；第一次循环，S =−1，n =3；第二次循环，S =
12，n =9；第三次循环，S =2，n =27，结束循环，故输出的n 的值为27．故选C ．
4．C 【解析】把已知数据从小到大排列为7，7，8，8，9，22，25，25，25，所以中位数是9，众数是25，所以中位数与众数的差的绝对值为|9−25|=16．故选C ．
5．B 【解析】设2a +4b 与13a −43
b 的夹角为α， 由题意知，2a +4b =(−4,10)+(−2,−4)=(−6,6)，
13a −43b =(−23，53)−(−23，−43
)=(0，3)，
故|2a +4b =|13a −43
b |=3， 又(2a +4b )·(13a −43
b )=(−6，6)·(0，3)=18，
所以cos α
=α=4π．故选B ． 6．B 【解析】设抛物线C 的焦点为F ，由题意知F (0，1)，∴p =2，
∴抛物线C 的方程为2
4x y =．
过点M 作MM '垂直于抛物线C 的准线于点M '，
∴|MM '|=|MF |，|MM '|+|MA |=|MF |+|MA |≥|AF B ．
7．C 【解析】该几何体为正方体截去两个正三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到边长为1的正方体中，如图所示．
由BC ⊥BN ，BC ⊥AB ，BN ∩AB =B ，得BC ⊥平面ABN ，又BC ⊂平面BCE ，故平面BCE ⊥平面ABN ，所以A 正确；取AN 的中点F ，连接FB ，MF ，则MC ∥FB ，又FB ⊥AN ，所以MC ⊥AN ，所以B 正确；由题意易得EB ∥MF ，又EB ⊄平面AMN ，MF ⊂平面AMN ，所以EB ∥平面AMN ，同理BD ∥平面AMN ，EB ∩BD =B ，故平面BDE ∥平面AMN ，所以D 正确．故选C ．
8．B 【解析】已知1n a +=λ1n S +，当n ≥2时，1=1n n a S λ-+，则1n a +−n a =λn a ，
即1n a +=(1+λ)n a (n ≥2)，2a =λ1S +1=λ+1，当n =1时，满足此式，又λ≠−1，因而数列{}n a 是首项1a =1，公比为1+λ的等比数列，则n a =1(1)
n λ-+，由题意得2×22a =1a + 3a +3，即4×(1+λ)=1+(1+λ)2+3，得λ=1，从而n a =12
n -． 9．A 【解析】在△BCD 中，由正弦定理，得
sin sin BC CD CDB B =∠∠，又CD ∶BC =2∶4， 所以sin ∠B =12
sin ∠CDB ①，又∠A =2∠CDB −π， 所以sin ∠A =−sin(2∠CDB )=−2sin ∠CDB cos ∠CDB ．
在△ACD 中，由正弦定理，得sin()sin AC CD CDB A
π=-∠∠，
由AC ∶CD 2及sin ∠A =−2sin ∠CDB cos ∠CDB 得，
cos ∠CDB =sin ∠CDB ②，由①②得sin ∠B A ． 10．C 【解析】如图，连接OB ，1AF ，
由对称性可知四边形1ABOF 为菱形，且△1
AFO ，△2BF O 为等边三角形， 则∠12F BF =90°，∠21BF F =60°
，|1F B
2BF
． 连接2QF ，设|1FQ |=t ，在△12QF F 中，∠12QF F =30°
，|12F F |=2c ， 由余弦定理，得|2QF
．
由|2QF |−|1
FQ |=2a =|1BF |−|2BF
|=−c ，
−t
−c ，移项、平方并化简得t
， 所以λ
=11||111||3FQ F B ==．故选C ． 11．C 【解析】如图，延长
CB 至P ，使BP =CB =11C B ，连接1B P ，AP ，
则BP ∥11B C ，∴四边形11PBC B 为平行四边形，∴1BC ∥1PB ．又1BC ⊄平面1AB P ，∴1BC ∥平面1AB P ，∴平面1AB P 即平面α，分别取AC ，11AC 的中点M ，N ，连接AN ，1NB ，BM ，1C M ，1B M ，则1B N ∥BM ∥AP ，故1B N 为平面α与平面111A B C 的交线，A ∈α，N ∈α，故AN 为平面α与平面11ACC A 的交线m ．由1C M ∥AN ，11B C ∥
BC 可知，∠11B C M 为直线m 与直线BC 所成的角．设1AA =AB =2，则11B C =2，1C M
1B M
=
∴在△11B C M 中，由余弦定理得cos ∠11B C M
=C ． 12．C 【解析】函数()g x =()f x −x −b 有三个零点等价于方程()f x −x −b =0有三个不同的解，
即函数y=()f x 的图象与直线y =x +b 有三个不同的交点．
如图，作出函数y =()f x 的大致图象．
当直线y = x +b 过原点时，b =0．
由y x b y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y 得，x −
b =0
，即20b -=， 当Δ=2(2)410b --⨯⨯=，即b =1时，方程组只有一组解，
直线y =x +b 与函数
故结合图象可得0<b <1．故选C ．
13．π【解析】sin cos()3y x x π=+
=21sin cos 2x x x
=11cos 21sin 2sin(2)4223x x x π-=+ 故最小正周期T =
22
ππ=． 14．−1【解析】92()a x x +的展开式的通项1r T +=993992C ()C r r r r r r a x x a x
--⋅⋅=⋅⋅，令9−3r =0，得r =3，故339C a ⋅=−672，得a =−2．令x =1，则92()a x x +=9(12)-=−1，故92()a x x +的所有项的系数和为−1．
15．84 000【解析】设生产甲型机器x 台，乙型机器y 台，获取利润为z 元，则z =3 000x +4 000y ，
且3260
2360x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N
≤≤，结合图形知当直线z =3 000x +4 000y 经过点(12，12)时取最大值，此时max z =84 000．
16．(−∞，0]【解析】由题意知，a >1，且当x ∈(0，1)时，2
(1)log 1a
x m x
+-≥恒成立． 设y =
2(1)4
(1)411x x x x
+=-+---，令1t x =-，t ∈(0，1)， 所以4
4y t t
=+
- ，t ∈(0，1)． 设0<1t <2t <1，由12121212
444
4(4)()(1)0t t t t t t t t +--+-=-->， 知4
4y t t
=+
-在(0，1)上单调递减，所以y ∈(1，+∞)． 又a >1，所以2
(1)log 01a
x x
+-≥，所以m 的取值范围是(−∞，0]． 17．【解析】(1)由题意得，
1
11
(1)332n n n a a =+-⨯=-， 故1
32
n a n =
-(n ∈N *)．
(2)由(1)知(32)2n n b n n =-⨯+， 设(32)2n n c n =-⨯，其前n 项和为n A ， 则n A =2+4×22+7×23+…+(3n −2)×2n ，① ∴2n A =22+4×23+…+(3n −5)×2n +(3n −2)×2n +1，② ①−②得，−n A =2+3(22+23+…+2n )−(3n −2)×2n +1
=6(12)
12
n --−4−(3n −2)×2n +1=(5−3n )×2n +1−10，
∴n A =(3n −5)×2n +1+10．
设n d =n ，其前n 项和为n B ，
则n B =1+2+…+n =
(1)
2
n n +． 故n T =n A +n B =(3n −5)×2n +1+(1)
2
n n ++10．
18．【解析】(1)由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是腰长为a 的等腰直角三角形，
侧面ABCD ，CDFE 是边长为a 的正方形． 连接DN ，因为FD ⊥CD ，FD ⊥AD ，AD ∩CD =D ， 所以FD ⊥平面ABCD ．
又AC ⊂平面ABCD ，所以FD ⊥AC ， 又AC ⊥DN ，DN ∩FD =D ，
所以AC ⊥平面GND ，又GN ⊂平面GND ， 所以GN ⊥AC ．
(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0，0)，M (a ，2
a
，0)，F (0，0，a )，C (0，a ，0)， 故AM =(0，
2a ，0)，FM =(a ，2
a
，−a )，FC =(0，a ，−a )． 设平面AFM 的法向量为1n =(1x ，1y ，1z )，
则1
100AM FM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即1111
0202
a
y a ax y az ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，则1y =0，令1x =1，则1z =1， 故1n =(1，0，1)是平面AFM 的一个法向量． 设平面CFM 的法向量为2n =(2x ，2y ，2z )，
则2
200FC FM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22222002
ay az a
ax y az -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令2y =2，则2z =2，2x =1，故2n =(1，2，2)是平面CFM 的一个法向量． 所以cos<1n ，2n
>=
1212||||2⋅==
n n n n ． 由图可知，二面角A −FM −C 是钝角，所以二面角A −FM −C 的余弦值为
． 19．【解析】(1)根据茎叶图可知，甲的平均成绩
79858688888894959596
10
x +++++++++=
甲=89．4，
乙的平均成绩74+78+8586889293979899
=10x +++++++乙=89，
甲的平均成绩略大于乙的平均成绩． 又甲的成绩的方差
21
10
s =
甲[(79−89.4)2+(85−89.4)2+(86−89.4)2+(88−89.4)2+(88−89.4)2+(88−89.4)2 +(94−89.4)2+(95−89.4)2+(95−89.4)2 +(96−89.4)2]=27.24， 乙的成绩的方差
21
10
s =
乙[(74−89)2+(78−89)2+(85− 89)2+ (86− 89)2+(88−89)2+(92−89)2 +(93−89)2+(97−89)2+(98−89)2+(99−89)2]=64.2， 故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差， 因此选派甲参赛更合适．
(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2．
P (X =0)=1165
111010C C 3C C 10=，
P (X =1)=11114565
11
1010C C C C 1C C 2+=， P (X =2)=1145
111010C C 1C C 5
=．
随机变量X 的分布列为
数学期望EX =0×310+1×2+2×5=10
．
20．【解析】(1)如图，过点O 作
OE ⊥PQ 于点E ，过点M 作MF ⊥NQ 于点F
，
则E 为
PQ 的中点，O 为MN 的中点，所以|MN |=4． 又|NQ |−|MP |=|NF |=2，所以在Rt △MFN 中，∠FMN =30°， 所以直线l 的斜率k
=
3
，所以直线l 的方程为x +9=0．
(2)假设存在定点C (a ，b )满足条件，D (0x
，0y )，则22
00
x y +=12，
由90x y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，得
B (−3，． 由|
DC DB |可得2200()()x a y b -+-=λ[20(3)x ++20(
y -]，
整理得2200(62)(2)33(12)0a x b y a b λ
λ++-+-++=． 由对圆O 上任意的点D ，上式恒成立，
可得2
2620201233a b a b λλ+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩，解得13a b λ⎧=
⎪=-⎨⎪
=⎩或4
7127
a b λ⎧=⎪⎪
⎪=-⎨⎪⎪=⎪
⎩
．
所以存在点C 满足条件，且当λ=1时，C (−3，；当λ=47时，C (−127，7
)． 21．【解析】(1)当a =1时，()f x =1
ln x e
x x --，
令()x ϕ=()f x '=1
1ln x e x ---(x >0)，
则()x ϕ'=1
1
x e
x
--(x >0)为增函数，且(1)ϕ'=0， 故在(0，1)上，()x ϕ'<0，在(1，+∞)上，()x ϕ'>0， ∴()f x '=()x ϕ≥(1)ϕ=0， 即当a =1时，()f x 为增函数． (2)令()g x =()f x '=ln x a
e
a x ---，函数()f x 有两个极值点1x ，2x 等价于方程()g x =0
有两个不同的实数根1x ，2x ，等价于()g x '=1
x a
e x
--
=0在(0，+∞)上有唯一解， 不妨设为0x ，
在(0，0x )上，()g x '<0，()g x 单调递减，在(0x ，+∞)上，()g x '>0，()g x 单调递增， 故原条件等价于0()g x <0， 由00
1
x a
e
x -=
，得00ln a x x =+， 代入0()g x <0，得
0000
1
(ln )ln x x x x -+-<0， 化简得
000
1
2ln x x x --<0． 令()x φ=
12ln x x x --，212
()1x x x
φ'=---<0， ∴()x φ在(0，+∞)上为减函数，∴0()x φ<0=(1)φ的解集为0x >1， 故00ln a x x =+>1+ln 1=1，∴a >1．
22．【解析】(1)因为曲线1C 的参数方程为22tan 1tan x y α
α⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
(a 为参数)，
所以其普通方程为2
4x y =(x ≠0)．
因为曲线2C 的极坐标方程为(2cos sin )ρθθ-=3，
所以其直角坐标方程为2x −y =3．
(2)由(1)得曲线1C 的普通方程为24x y =(x ≠0)， 曲线2C 的直角坐标方程为2x −y =3，
由2234x y x y
-=⎧⎨=⎩，得2x −8x +12=0， 得1x =2，2x =6．
不妨取A (2，1)，B (6，9)， 则|MA |=4，|MB
= 故|MA |·|MB
| =
23．【解析】(1)由于a =1，故()f x =1,1
1,1
x x x x -<⎧⎨
-⎩≥．
当x <1时，由()f x ≥
1(1)2x +，得1−x ≥1(1)2x +，解得x ≤13； 当x ≥1时，()f x ≥1(1)2x +，得x −1≥1
(1)2x +，解得x ≥3．
综上，不等式()f x ≥1(1)2x +的解集为(−∞，1
3
]∪[3，+∞)．
(2)当a <2时，()g x =2,22,22,2a x a x a a x a x -⎧⎪
--<<⎨⎪-⎩
≤≥，()g x 的值域A=[a − 2，2−a ]，
由A ⊆[−1，3]，得21
23
a a --⎧⎨
-⎩≥≤，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2；
当a ≥2时，()g x =2,222,22,a x x a x a a x a -⎧⎪
-++<<⎨⎪-⎩
≤≥，()g x 的值域A=[2−a ，a −2]，
由A ⊆[−1，3]，得221
23
a a --⎧⎨
-⎩≥≤，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3．
综上，a 的取值范围为[1，3]．。