一招通解“二面角”和“点到平面的距离prt
二面角四种求法_5个例题解决二面角难题
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
一招通解“二面角”和“点到平面的距离”
点 Ａ 为平 面 ａ内一 点 ，
Ｄ
若点 Ａ 到二 面角棱 Ｃ 的 Ｄ
距离 为 ＡＢ＝ｍ， Ａ 到平 点 面 口的距 离 ＡＨ — ， 有 则
ｄ＝ Ｉ ・ ｉ ７ ｓｎ ｌ 图 １
又二 面 角 ＰＡ ０ 与 二 面 角 Ｐ Ａ Ｂ 互 补 ， ＿ — 所 以二 面角 ＰＡ ０ 的大小 为 ６ 。即 一６ 。于是 由公 ＿ Ｏ， ０． 式ｄ ＝ｍ・ｉ 知 ： Ｐ 到平 面 ＡＢＣ 的距 离 为 ｓｎ 点 Ｄ
Ａ 上 ＢＢ ＝ － ＝ ， Ｆ Ｐ ，Ｆ ￣Ｐ 所以Ａ ＝／Ｂ－ Ｆ一 Ｂ Ｆ ￣ ２Ｂ 。 Ａ
１
，
离 Ｉ 求解 二 面 角 的 大 小 时 ， ７ ｌ 若所 求 二 面 角 为锐 二 面
』
即Ｓ Ａ 专Ｐ ・Ｆ 号 又 求 一 一 ＢＡ 一 ． 易 得ｓ
０
３点 Ｂ Ｐ 角， 则有 ｒ ｉ兰； 一ａ ｓ ｃｎ 若所求二面角为钝二面角， √ ， Ｐ到平面 Ａ Ｃ的距离 ： Ｏ＝詈． 则
０
Ｐ Ｏ＝ｍ・ｉ 一√ ・ｉ ０ 一 ． ｓ ｎ ３ ｓ ６。 ｎ
说明
ｄ ＝ｍ・ｉ 中含 有３ 参数 ， ｓ ｎ 个 已知 其 中任 （）设所 求 二 面角 Ａ Ｐ Ｃ 的大 小为 ａ， Ｃ 到 ２ ＿ Ｂ— 点
平 面 Ｐ Ｂ 的距 离为 ｄ． Ａ ｌ 连结 ＢＥ， Ｂ 则 Ｅ上ＡＤ（ 三垂 线 定理 ）ＡＤ上 平 面 ，
求“ 二面 角” 点 到平 面 的距 离 ” 与“ 问题一 直 是 高 考命 题 的热点 ， 这两 方面 的题 目又是 很 多学生感 到 而 头痛 的． 事实 上 ， 两类 问题 有着 较强 的相关 性 ， 面 这 下 给 出这两类 问题 的一 个 “ 统一 ” 解公式 ， 你一招 通 求 让
点到平面的距离 高中数学 高考 立体几何
求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。
事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，定理：如下图，若锐二面角βα--CD 的大小为θ，点A 为平面α内一点，若点A 到二面角棱CD 的距离为m AB =，点A 到平面β的距离AH=d ，则有θsin ⋅=m d 。
说明：θsin ⋅=m d 中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。
其中θ是指二面角βα--CD 的大小，d 表示点A 到平面β的距离，m 表示点A 到二面角βα--CD 棱CD 的距离。
值得指出的是：θsin ⋅=m d 可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。
其优点在于应用它并不．强求．．作出经过点A 的二面角βα--CD 的平面角∠ABH ，而只需已知点A 到二面角βα--CD 棱的距离，与二面角大小θ，即可求解点A 到平面β的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小θ。
这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。
还要注意，当已知点A 到平面β的距离d 与点A 到二面角棱CD 的距离m 求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有mdarcsin =θ；若所求二面角为钝二面角，则md arcsin-=πθ 下面举例说明该公式在解题中的应用。
例1. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。
第（1）问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。
高中数学立体几何中点到平面距离的求法
例谈点到平面距离的求法某某省洪泽中学 花鹤波邮编 223100立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。
由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。
点到平面的距离的求法可分为三大类：一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。
1、 用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是等腰三角形，2AB BC a ==，0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。
求点A 到平面SBC 的距离。
解：作AD BC ⊥交BC 于D,连结SD.SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥又SD AD D ⋂=,BC ∴⊥平面SAD 。
又BC ⊂平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ⋂平面ADS=SD∴过点A 作AH SD ⊥于H ，那么AH ⊥平面SBC 。
在Rt SAD ∆中，SA=3a,0sin 60AD AB ==，2232SA AD a AH AD ∴==+ 故点A 到平面SBC 的距离为32a 。
[点评]利用构造法关键是定位点在面内的射影。
常常要寻找过点且与所给面垂直的面，再过点作两垂面交线的垂线。
2、转移构造法〔1〕利用平行线转换点例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===〔b >a 〕 〔1〕求证：11A C AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离.解：(1)连结1A B ,那么11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。
知111AC AB ⊥，得1111A C ABB A ⊥面,知11A C AB ⊥。
〔2〕由〔1〕得111ABC AAC ⊥面面.11111,A B AB A B ABC ∴平面CC1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离过1A 作11A G AC ⊥于G ,11AB ACC A ⊥平面, 1AB A G ∴⊥从而11AG ABC ⊥平面. 故1A G即为所求的距离。
点到平面的距离的几种求法-高中数学-高考-立体几何
点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，则三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝，ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，则三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝，ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。
一招通解“二面角”和“点到平面的距离prt
一招通解“二面角”和“点到平面的距离”求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。
事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，定理：如下图，若锐二面角βα--CD 的大小为θ，点A 为平面α内一点，若点A 到二面角棱CD 的距离为m AB =，点A 到平面β的距离AH=d ，则有θsin ⋅=m d 。
说明：θsin ⋅=m d 中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。
其中θ是指二面角βα--CD 的大小，d 表示点A 到平面β的距离，m 表示点A 到二面角βα--CD 棱CD 的距离。
值得指出的是：θsin ⋅=m d 可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。
其优点在于应用它并不．强求．．作出经过点A 的二面角βα--CD 的平面角∠ABH ，而只需已知点A 到二面角βα--CD 棱的距离，与二面角大小θ，即可求解点A 到平面β的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小θ。
这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。
还要注意，当已知点A 到平面β的距离d 与点A 到二面角棱CD 的距离m 求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有md arcsin =θ；若所求二面角为钝二面角，则md arcsin-=πθ下面举例说明该公式在解题中的应用。
例1. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。
第1问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。
透视点到平面距离的求法
透视点到平面距离的求法一、定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5Q AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又Q 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=IAA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'Q A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''I AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(312221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA→→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法北京农大附中 闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例 （2005年福建高考题）如图1，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE =，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE .(Ⅰ)求证：⊥AE 平面BCE ； (Ⅱ)求二面角E AC B --的大小； (Ⅲ)求点D 到平面ACE 的距离.FEDCBA图1(Ⅰ)、(Ⅱ)解略，(Ⅲ)解如下： 一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图2,β∈A ,αβ⊥,l =βα , l AM ⊥,则α⊥AM .AM 为点A 到平面α的距离.图2解：如图3，过点A 作AG EC ，连结CG DG ,，则平面ADG ∥平面BCE ，∵平面BCE ⊥平面ACE ， ∴平面ADG ⊥平面ACE ，作,AG DH ⊥垂足为H ，则DH ⊥平面ACE . ∴DH 是点D 到平面ACE 的距离. 在ADG Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=AG DG AD DH ABCDEFGH图3二、平行线法如图4,l A ∈,l ∥α,B 为l 上任意一点, α⊥AM ,α⊥BN ,则BN AM =.点A 到平面α的距离转化为平行于平面α的直线l 到平面α的距离，再转化为直线l 上任意一点B 到平面α的距离.图4解：如图5，过点D 作DMAE ，连结CM ，则DM ∥平面ACE ，点D 到平面ACE 的距离转化为直线DM 到平面ACE 的距离，再转化为点M 到平面ACE 的距离.作,CE MN ⊥垂足为N ，∵平面CEM ⊥平面ACE ， ∴⊥MN 平面ACE ，∴MN 是点M 到平面ACE 的距离. 在CEM Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=CE CM EM MN N MAB CDEF图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7, O l =α ，l B A ∈,, α⊥AM ,α⊥BN ,若t BOAO=,则BN t AM ⋅=.点A 到平面α的距离转化为求直线l 上的点B 到平面α的距离.图6 图7解：如图8，BD 与AC 的交点为Q ，即 BD 平面Q ACE =， ∵BQ DQ =，∴点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ∵平面BCE ⊥平面ACE ，⊥BF 平面ACE ， ∴BF 是点B 到平面ACE 的距离.在BCE Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=CE BE BC BF Q AB CDEF图8四、线面角法如图9，OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，A 到平面α的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有θsin l d =.经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是OP 与α所成的角θ，这里并不强求要作出A 在α上的射影B ，连结OB 得θ.图9解：如图10，∵⊥BF 平面ACE ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ，BQF ∠为DQ 与平面ACE 所成的角为θ,则点D 到平面ACE 的距离θsin DQ d =.由(Ⅱ)知二面角E AC B --的正弦值为36，得36sin =θ. ∴D 到平面ACE 的距离332362=⨯=d .Q FEDCBA图10五、二面角法如图11，l =βα ，α、β所成二面角的大小为θ，β∈A ，l AB ⊥，a AB =，点A 到平面α的距离d AO =，则有θsin a d =.θ也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB 的二面角的平面角.图11解：如图12，∵平面ACD 平面ACE AC =，⊂DQ 平面ACD ，AC DQ ⊥，设二面角E AC D --的大小为θ，则点D 到平面ACE 的距离θsin DQ d =.由(Ⅱ)知二面角E AC B --的正弦值为36，得36sin =θ. ∴D 到平面ACE 的距离332362=⨯=d .A BCDE F Q图12六、体积法解：如图13，过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O ,1=OE . ∵二面角E AB D --为直二面角， ∴EO ⊥平面ABCD .设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= ∴.3131EO S h S ACD ACE ⋅=⋅∆∆ ⊥AE 平面BCE ，∴EC AE ⊥.∴.3326221122212121=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=EC AE EODC AD h∴点D 到平面ACE 的距离为.332 OF EDCBA图13七、向量法解：如图14，以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，⊥AE 平面BCE ，⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥，在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点， ∴1=OE ,∴).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(C E A -).2,2,0(),0,1,1(==AC AE设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,0,0,0z y y x n AC n AE 即 解得⎩⎨⎧=-=.,x z x y令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面ACE 的一个法向量. ∵AD//z 轴，2=AD ，∴)2,0,0(=AD ， ∴点D 到平面ACE 的距离33232|||,cos |||===><⋅=n n AD AD d. DA图14。
二面角内两点间距离公式及应用
二面角内两点间距离公式及应用在空间几何中，二面角是由两个不共面的直线确定的夹角。
在数学和物理学中，二面角在计算几何、航空航天、地理测量、工程等领域中有重要的应用。
计算二面角内两点间的距离是其中一个常见的问题。
本文将介绍二面角内两点间距离的公式及其应用，并提供相关的例题进行说明。
一、二面角内两点间距离公式假设二面角的两边分别为AB和AC，两个不共面的直线分别为AD和AE。
在二面角内，有两个点P和Q，其中P位于AD上，Q位于AE上。
1.直接计算法在几何图形中，通过绘制AP的垂线AH和AQ的垂线AK，可以得到三角形APH和三角形AKQ。
根据勾股定理，可以得到PH和QK的长度。
二面角内的两点P和Q的距离等于PH和QK的长度之和。
距离公式：PQ=PH+QK2.使用向量法使用向量法计算二面角内两点间的距离可以更简洁和直观。
将向量AP表示为向量PA，向量AQ表示为向量QA，二面角内两点P和Q的距离等于向量PA和向量QA的长度之和。
距离公式：PQ=，PA，+，QA其中，PA，表示向量PA的模，QA，表示向量QA的模。
二、二面角内两点间距离的应用1.航空航天技术在航空航天技术中，飞行器的导航和控制需要通过计算机系统进行精确的位置估计和航迹规划。
二面角内两点间距离的计算可以用于确定飞行器的位置与目标位置之间的距离，从而帮助飞行器选择最佳路线和进行准确的飞行。
2.地理测量学二面角内两点间距离的计算在地理测量学中有广泛的应用。
例如，地球上两个不共面的直线可以表示为大圆线和小圆线。
通过计算二面角内两点间的距离，可以确定地球上两点之间的最短路径，帮助航海、航空、地图制作等领域。
3.工程设计在工程设计中，计算二面角内两点间的距离可以用于确定不同部分之间的距离或障碍物的避让距离。
例如，在道路设计中，可以通过计算二面角内两点间距离来确定车辆在转弯时的半径，从而避免与其他车辆或固定障碍物的碰撞。
三、例题分析下面通过例题来说明二面角内两点间距离的计算和应用。
计算二面角以及点到面的距离
shelxl软件(ins指令）计算二面角以及点到面的距离用mercury计算晶体结构中的二面角这样的计算缺少误差在实际的论文发表中很不方便可能有一些人都知道是用xp来计算二面角就下图中的一个分子而言，计算：1）.由C1 C2 C3 C4 C5 C6 N1平面和C9 C10 C11 C12 C13 N2平面的二面角2）.C7到C1 C2 C3 C4 C5 C6 N1平面的距离1）步骤：1. 打开ins文件2. 在UNIT一行下加入以下指令mpla 6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 N1mpla 6 C9 C10 C11 C12 C13 N2 其中6为平面中的原子数3.保存ins4. xl计算5.打开lst文件在最下方可以看到如下结果:Least-squares planes (x,y,z in crystal coordinates) and deviations from them(* indicates atom used to define plane)8.4032 (0.0088) x + 4.3673 (0.0076) y + 5.9809 (0.0156) z = 1.7816 (0.0014)* 0.0005 (0.0017) C1* -0.0106 (0.0017) C2* -0.0035 (0.0016) C3* -0.0065 (0.0017) C4* 0.0080 (0.0016) C5* 0.0122 (0.0015) N1Rms deviation of fitted atoms = 0.00795.6400 (0.0108) x - 1.1439 (0.0103) y - 13.9404 (0.0099) z = 1.1027 (0.0083)Angle to previous plane (with approximate esd) = 84.39 ( 0.08 )* -0.0012 (0.0019) N2* -0.0085 (0.0017) C13* 0.0061 (0.0018) C12* -0.0010 (0.0020) C11* -0.0018 (0.0020) C10* 0.0063 (0.0018) C9Rms deviation of fitted atoms = 0.0051其中斜体部分为得到的二面角，括号内为误差2）步骤：1. 打开ins2. 在UNIT行下加入如下指令mpla 6 n1 c1 c2 c3 c4 c5 c73.xl计算4.lst文件最下方出现结果Least-squares planes (x,y,z in crystal coordinates) and deviations from them (* indicates atom used to define plane)8.4032 (0.0088) x + 4.3673 (0.0076) y + 5.9809 (0.0156) z = 1.7816 (0.0014) * 0.0005 (0.0017) C1* -0.0106 (0.0017) C2* -0.0035 (0.0016) C3* -0.0065 (0.0017) C4* 0.0080 (0.0016) C5* 0.0122 (0.0015) N11.5047 (0.0042) C7斜体为结果。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法北京农大附中 闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点。
本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法。
例 （2005年福建高考题）如图1，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE =，F 为CE 上的点,且⊥BF 平面ACE 。
（Ⅰ)求证：⊥AE 平面BCE ； (Ⅱ）求二面角E AC B --的大小; (Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离。
FEDCBA图1（Ⅰ）、(Ⅱ)解略，（Ⅲ)解如下： 一、直接法利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离。
如图2，β∈A ,αβ⊥,l =βα , l AM ⊥，则α⊥AM .AM 为点A 到平面α的距离。
图2解：如图3，过点A 作AGEC ，连结CG DG ,，则平面ADG ∥平面BCE ，∵平面BCE ⊥平面ACE , ∴平面ADG ⊥平面ACE ，作,AG DH ⊥垂足为H ，则DH ⊥平面ACE 。
∴DH 是点D 到平面ACE 的距离。
在ADG Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=AG DG AD DH ABCDEFGH图3二、平行线法如图4，l A ∈，l ∥α，B 为l 上任意一点, α⊥AM ,α⊥BN ，则BN AM =。
点A 到平面α的距离转化为平行于平面α的直线l 到平面α的距离，再转化为直线l 上任意一点B 到平面α的距离.图4解：如图5,过点D 作DMAE ,连结CM ，则DM ∥平面ACE ，点D 到平面ACE 的距离转化为直线DM 到平面ACE 的距离,再转化为点M 到平面ACE 的距离。
作,CE MN ⊥垂足为N , ∵平面CEM ⊥平面ACE ， ∴⊥MN 平面ACE ,∴MN 是点M 到平面ACE 的距离. 在CEM Rt ∆中,.332622=⋅=⋅=CE CM EM MN N MAB CDEF图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7， O l =α ，l B A ∈,， α⊥AM ,α⊥BN ，若t BOAO=，则BN t AM ⋅=。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法目录1.引言 (1)2.预备知识 (1)3.求点到平面距离的若干求法 (3)3.1定义法求点到平面距离 (3)3.2转化法求点到平面距离 (5)3.3等体积法求点到平面距离 (7)3.4利用二面角求点到平面距离 (8)3.5向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式13V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
两平面之间的距离和二面角
两平面之间的距离和二面角学习目标：了解两平行平面之间的距离的定义；了解二面角及二面角的平面角的定义并会求二面角的大小；理解两平面垂直的定义.教学过程：问题：已知α∥β , AB 和DC 为夹在α、β间的平行线段。
则AB 与DC 长度关系如何？一、两个平行平面的距离和两个平行平面α，β同时垂直的直线l ，叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。
二、二面角及二面角的平面角问题：在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
类比：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这两个半平面叫做二面角的面，这条直线叫做二面角的棱。
符号：_____________________ 画法：二面角的大小的刻画：二面角的平面角二面角的平面角的定义：垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角。
二面角的平面角的作法：从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的范围：_______________________直二面角的定义:平面角是直角的二面角叫做直二面角.拓展：两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角为直二面角，则称这两个平面互相垂直。
课堂探究：1.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为___________A.∠ABPB.∠ACPC.都不是2.如图所示：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求二面角D1﹣AB﹣D的大小；（2）求二面角A1﹣AB﹣D的大小．3.如图，将等腰直角△ABC沿中线AD折成二面角B－AD－C，使BC＝AB，求二面角B－AD－C的大小．课堂回顾：一、两个平行平面的距离二、二面角１.二面角的定义;２.二面角的平面角两平面之间的距离和二面角作业1.下列命题正确的序号是_________________________(1)平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条相交直线, 则α//β;(2)两个平面分别经过两条平行直线, 则这两个平面互相平行;(3)平面上的不共线三点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行.2.已知直线l⊥平面α，直线mÌ平面β，下列四个命题正确的序号是________ (1)若α//β，则l⊥m (2) 若α⊥β，则l//m(3)若l//β，则α⊥β (4) 若l⊥m，则α//β3.平面α//平面β，它们之间的距离为８，点A，DÎα，点BÎβ，点C是点D 在上的射影，且AD=20,AB=10则BC的最大值为_________4.平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等, 则直线与该平面的位置关系是_____5.∠A为直角的等腰直角△ABC与正△BCD有公共边BC，已知BC＝10,AD＝5,求二面角A-BC-D的大小6.已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别是AC、BF上的点且AM=FN求证：MN//平面BCE7.在△ABC中，∠Ｂ＝90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，求证：AN⊥BC，MN⊥SC8.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A=AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．9.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 .10.在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．。
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一招通解“二面角”和“点到平面的距离”
求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。
事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，
定理：如下图，若锐二面角βα--CD 的大小为θ，点A 为平面α内一点，若点A 到二面角棱CD 的距离为m AB =，点A 到平面β的距离AH=d ，则有θsin ⋅=m d 。
说明：θsin ⋅=m d 中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。
其中θ是指二面角βα--CD 的大小，d 表示点A 到平面β的距离，m 表示点A 到二面角βα--CD 棱CD 的距离。
值得指出的是：
θsin ⋅=m d 可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。
其优点在于应用它并不．
强求．．
作出经过点A 的二面角βα--CD 的平面角∠ABH ，而只需已知点A 到二面角βα--CD 棱的距离，与二面角大小θ，即可求解点A 到平面β的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小θ。
这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。
还要注意，当已知点A 到平面β的距离d 与点A 到二面角棱CD 的距离m 求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有m
d arcsin =θ；若
所求二面角为钝二面角，则m
d arcsin
-=πθ
下面举例说明该公式在解题中的应用。
例1. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。
第1
问要求解距
离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。
第2问要求解二面角A-PB-C 的大小，只需求出点C 到二面角A-PB-C 棱PB 的距离及点C 到半平面APB 的距离即可。
解：（1）如上图，取AD 的中点E ，连结PE 。
由题意，PE ⊥AD ，即3=
=PE m 。
又二面角P-AD-O 与二面角P-AD-B 互补，所以二面角P-AD-O 的大小为60°，即︒=60θ。
于是由公式θsin ⋅=m d 知：点P 到平面ABCD 的距离为2
360sin 3sin =
︒⋅=
⋅=θm PO 。
（2）设所求二面角A-PB-C 的大小为α，点C 到平面PAB 的距离为d 。
连接BE ，则BE ⊥AD （三垂线定理），AD ⊥平面PEB ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ，BC ⊥PB ，即点C 到二面角棱PB 的距离为2，即m=2。
又因为PE=BE=3，∠PEB=120°，所以在ΔPEB 中，由余弦定理可求得PB=3。
取PB 的中点F ，连结AF ，因为PA=AB=2，则AF ⊥PB ，2
321=
=PB BF ，所以2
7BF
AB
AF
2
2
=
-=，
即74
32
1=
⋅=
∆AF PB S PAB 。
又易求得3=
∆ABC S ，点P 到平面ABC 的距离：2
3=
PO 。
根据等体积法PAB C ABC P V V --=，有
PAB ABC S d S PO ∆∆⋅⋅=⋅⋅3
13
1，
即
74
332
3⨯
=⨯d ，所以7
21
2
=
d ，代入公式7
21m
d sin ,sin m d
=
=
θθ⋅=。
又由于面PBC ⊥面PEB ，所以所求二面角A-PB-C 为钝二面角，所以m
d arcsin -=πθ
点评：对于这个高考试题，许多考生反映第（2）问求解困难，失分较为严重。
究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。
利用公式θsin ⋅=m d 求解，省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证，其优势显而易见。
例2. 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。
分析：欲求点B 到平面GEF 的距离，直接求解较困难。
为此我们令平面GEF 作为某二面角的一个半平面，当然二面角的另一个半平面即为平面BEF ，为此我们只需找到该二面角的平面角及点B 到二面角棱EF 的距离即可。
解：如下图，过B 作BP ⊥EF ，交EF 的延长线于P ，连结AC 交EF 于H ，连结GH ，易证∠GHC 就是二面角G-EF-C 的平面角。
又2==AH BP ，这就是点B 到二面角C-EF-G 棱EF 的距离2=m
因为GC=2，24=AC ，所以23=CH ，GH=22，在Rt ΔGCH 中，22
2sin =
∠GHC
，于
是由θsin ⋅=m d 得所求点B 到平面GEF 的距离：11
11222
22sin =
⋅
=
∠⋅=GHC BP d 。
例3. 已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=90°，BC=2，
22=AC ，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C 。
求顶点C 与侧面A 1ABB 1的距离。
分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC 的垂线A 1D ，找到了底面的垂线A 1D ，就可根据三垂线定理，作出侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的平面角A 1DE ，求出二面角A 1-AB-C 的平面角大小，就可依据公式θsin ⋅=m d 找到点D 到平面A 1ABB 1的距离d ，进而根据D 为AC 中点，也就不难求出点C 到侧面A 1ABB 1的距离。
解：如上图，在侧面A 1ACC 1内，作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，因为AA 1=A 1C ，所以D 为AC 的中点。
又因为AA 1⊥A 1C ，32=AC ，A 1D=AD=3。
因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，其交线为AC ，所以A 1D ⊥面ABC 。
过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB （三垂线定理），所以∠A 1ED 为侧面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角。
由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ，又D 是AC 的中点，BC=2，所以DE=1，3tan 11=
=∠DE
D A ED A ，
故∠A 1ED=60°。
于是由公式θsin ⋅=m d 知，点D 到侧面A 1ABB 1的距离2
32
3160sin DE d
=
⨯
=︒⋅=。
又点D 为AC 的中点，故而点C 到侧面A 1ABB 1的距离为点D 到侧面A 1ABB 1距离的2倍，于是知点C 到侧面A 1ABB 1的距离为3。
点评：本例先通过求侧面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的大小，进而利用公式θsin ⋅=m d 求出点D 到侧面A 1ABB 1的距离，再利用中点D 的性质巧妙地求得C 到侧面A 1ABB 1的距离，充分体现了转化与化归的思想方法在解题中的灵活运用。