八年级数学上册16.3角的平分线课件(新版)冀教版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PD OA， PE OB，垂足分别为D，E 。求证：PD=PE.
E B
应用定理的书写格式：
推理的理由有三个，必须
∵ OP 是 AOB 的平分线，
写完全，不能少了任何一 个。
PD OA PE OB
\ PD = PE. （在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等.）
第四页，共13页。
定理 2 到一个角的两边的距离(jùlí)相 等的点， 在这个角的平分线上。
第十二页，共13页。
4.如图所示,ΔABC中，∠C=90°，AM平分 (píngfēn)∠CAB，BC=16 cm,CM∶MB=3∶5，求点 M到AB的距离.
解析(jiě xī):过点M作MD⊥AB
于D，先求出CM，再根据角平
D
分线上的点到角的两边距离相等
可得DM=CM.
解:如图所示,过点M作MD⊥AB于D， ∵BC=16 cm， CM∶MB=3∶5， ∴∵C∠MC==903°3 5,AM16平=6分(cm)， (píngfēn)∠CAB， ∴DM=CM=6 cm， 即点M到AB的距离为6 cm.
1.以点O为圆心(yuánxīn)，适当 长为半径画弧，分别交OA，OB 于点D，E.
2.分别以点D，E为圆心,适当长 为半径，在∠AOB的内部画 弧，两弧相交于点C.
3.作射线(shèxiàn)OC,则OC为所 要求作的∠AOB的平分线.
D C
E
第八页，共13页。
课堂(KÈTÁNG)小结
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边 (liǎngbiān)的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用 的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.
D
A
P E
B
∵ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
∴ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
∴ 点P在 AOB 角的平分线上
第五页，共13页。
(补充例题)如图所示，ΔABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证(qiúzhèng)点P到 三边AB，BC，CA的距离相等.
〔解析〕因为已知、求证中都没有具体 ( jùtǐ)说明哪些线段是距离,而证明它们相等 必须标出它们,所以这一段话要在证明中写 出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线, 在证明中就可以不写.
1 2
4×2+
第十页，共13页。
2.如图所示,OP平分∠AOB，PA⊥OA， PB⊥OB,垂足分别为A，B，连接(liánjiē)AB. 下列结论中不一定成立D的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB平分OP
解析:∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,∴PA=PB， ∴ΔOPA≌ΔOPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A,B,C正确. 设PO与AB相交于E.∵OA=OB，∠AOP=∠BOP,OE=OE， ∴ΔAOE≌ΔBOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直于AB, 而不能得到AB平分OP，故D不一定(yīdìng)成立.故选D.
八年级数学(shùxué)·上 新课标 [冀教]
第十六章 轴对称和中心对称(zhōnɡ
xīn duì chēnɡ)
16.3 角的平分线
学习新知
检测反馈
第一页，共13页。
问题(WÈNTÍ)思考
学习新知
.
在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方 指挥部设在A区内(qū nèi),到公路BC,铁路BD 的距离均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在 图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为 1∶20000)
第十一页，共13页。
3.如图所示,在ΔABC中，角平分线AD， BE相交于O点，连接CO,则下列结论成 立(chénglì)的是C ( ) A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD C.CO平分∠ACB D.OC=OD
解析:∵角平分线AD，BE相交(xiāngjiāo)于O点， ∴CO平分∠ACB.故选C.
第十三页，共13页。
证明:过点P作PD，PE，PF分别(fēnbié)垂直于AB，BC，CA，垂 足为分别(fēnbié)D，E，F.
∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.
同理PE=PF，∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
第六页，共13页。
[知识拓展] 利用(lìyòng)角的平分线的性质可直接推 导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程 中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点 与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不动一:角平分线的性质(xìngzhì)定理及其逆定理 按下图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折 后，设折痕(shéhén)为直线OC；再折纸,设折痕(shéhén)为 直线n,直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交 于点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与线 段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上.作用:证明角相等.
3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是 角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判 定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的 点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用 (yìngyòng)中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等( 角平分线).
第三页，共13页。
角平分线的性质(xìngzhì)定理：
定理 1 角平分线上的点到这个(zhège)角的两边的距
离相定理等应. 用所具备(jùbèi)的条件：
（1）角的平分线；
D
A
（2）点在角平分线上；
（3）垂直距离.
O
定理的作用： 证明线段相等。
C P
已知：如图所示，OC是 A的O平B 分线，P是OC上任意一点，
第九页，共13页。
检测反馈
1.如图所示，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，
DE⊥AB于点E，SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长
是 ( A)
A.3 B.4 C.6 D.5
解析( jiě xī):过点D作DF⊥AC于F，∵AD是ΔABC中 ∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴DE=DF，
∵SΔABC=SΔABD+SΔA1CD，∴ AC×2=7，解得AC=3.故2选A.
已知：如图， PD OA，PE OB， 垂
足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 AOB的角平分线上. O 证明 作射线(shèxiàn)OP,
(zhèng∵m PD OA PE OB
íng)： ∴ PDO PEO 90 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明 (zhèngmíng)角相等,使证明(zhèngmíng)过程简化. (2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合 . (3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三 边的距离相等.
第七页，共13页。
活动(huó dòng)二:角平分线的画法
E B
应用定理的书写格式：
推理的理由有三个，必须
∵ OP 是 AOB 的平分线，
写完全，不能少了任何一 个。
PD OA PE OB
\ PD = PE. （在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等.）
第四页，共13页。
定理 2 到一个角的两边的距离(jùlí)相 等的点， 在这个角的平分线上。
第十二页，共13页。
4.如图所示,ΔABC中，∠C=90°，AM平分 (píngfēn)∠CAB，BC=16 cm,CM∶MB=3∶5，求点 M到AB的距离.
解析(jiě xī):过点M作MD⊥AB
于D，先求出CM，再根据角平
D
分线上的点到角的两边距离相等
可得DM=CM.
解:如图所示,过点M作MD⊥AB于D， ∵BC=16 cm， CM∶MB=3∶5， ∴∵C∠MC==903°3 5,AM16平=6分(cm)， (píngfēn)∠CAB， ∴DM=CM=6 cm， 即点M到AB的距离为6 cm.
1.以点O为圆心(yuánxīn)，适当 长为半径画弧，分别交OA，OB 于点D，E.
2.分别以点D，E为圆心,适当长 为半径，在∠AOB的内部画 弧，两弧相交于点C.
3.作射线(shèxiàn)OC,则OC为所 要求作的∠AOB的平分线.
D C
E
第八页，共13页。
课堂(KÈTÁNG)小结
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边 (liǎngbiān)的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用 的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.
D
A
P E
B
∵ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
∴ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
∴ 点P在 AOB 角的平分线上
第五页，共13页。
(补充例题)如图所示，ΔABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证(qiúzhèng)点P到 三边AB，BC，CA的距离相等.
〔解析〕因为已知、求证中都没有具体 ( jùtǐ)说明哪些线段是距离,而证明它们相等 必须标出它们,所以这一段话要在证明中写 出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线, 在证明中就可以不写.
1 2
4×2+
第十页，共13页。
2.如图所示,OP平分∠AOB，PA⊥OA， PB⊥OB,垂足分别为A，B，连接(liánjiē)AB. 下列结论中不一定成立D的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB平分OP
解析:∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,∴PA=PB， ∴ΔOPA≌ΔOPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A,B,C正确. 设PO与AB相交于E.∵OA=OB，∠AOP=∠BOP,OE=OE， ∴ΔAOE≌ΔBOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直于AB, 而不能得到AB平分OP，故D不一定(yīdìng)成立.故选D.
八年级数学(shùxué)·上 新课标 [冀教]
第十六章 轴对称和中心对称(zhōnɡ
xīn duì chēnɡ)
16.3 角的平分线
学习新知
检测反馈
第一页，共13页。
问题(WÈNTÍ)思考
学习新知
.
在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方 指挥部设在A区内(qū nèi),到公路BC,铁路BD 的距离均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在 图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为 1∶20000)
第十一页，共13页。
3.如图所示,在ΔABC中，角平分线AD， BE相交于O点，连接CO,则下列结论成 立(chénglì)的是C ( ) A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD C.CO平分∠ACB D.OC=OD
解析:∵角平分线AD，BE相交(xiāngjiāo)于O点， ∴CO平分∠ACB.故选C.
第十三页，共13页。
证明:过点P作PD，PE，PF分别(fēnbié)垂直于AB，BC，CA，垂 足为分别(fēnbié)D，E，F.
∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.
同理PE=PF，∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
第六页，共13页。
[知识拓展] 利用(lìyòng)角的平分线的性质可直接推 导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程 中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点 与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不动一:角平分线的性质(xìngzhì)定理及其逆定理 按下图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折 后，设折痕(shéhén)为直线OC；再折纸,设折痕(shéhén)为 直线n,直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交 于点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与线 段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上.作用:证明角相等.
3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是 角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判 定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的 点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用 (yìngyòng)中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等( 角平分线).
第三页，共13页。
角平分线的性质(xìngzhì)定理：
定理 1 角平分线上的点到这个(zhège)角的两边的距
离相定理等应. 用所具备(jùbèi)的条件：
（1）角的平分线；
D
A
（2）点在角平分线上；
（3）垂直距离.
O
定理的作用： 证明线段相等。
C P
已知：如图所示，OC是 A的O平B 分线，P是OC上任意一点，
第九页，共13页。
检测反馈
1.如图所示，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，
DE⊥AB于点E，SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长
是 ( A)
A.3 B.4 C.6 D.5
解析( jiě xī):过点D作DF⊥AC于F，∵AD是ΔABC中 ∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴DE=DF，
∵SΔABC=SΔABD+SΔA1CD，∴ AC×2=7，解得AC=3.故2选A.
已知：如图， PD OA，PE OB， 垂
足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 AOB的角平分线上. O 证明 作射线(shèxiàn)OP,
(zhèng∵m PD OA PE OB
íng)： ∴ PDO PEO 90 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明 (zhèngmíng)角相等,使证明(zhèngmíng)过程简化. (2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合 . (3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三 边的距离相等.
第七页，共13页。
活动(huó dòng)二:角平分线的画法