江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四抛物线20180530489

课时达标检测(四十四）抛物线
[练基础小题——强化运算能力]
1．设抛物线y 2
＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．
解析：依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.
答案：4
2．若抛物线y 2
＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积
为________．
解析：由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－1
2
.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点
M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×
12
×2＝
24
. 答案：
24
3．设F 为抛物线y 2
＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→|＋|FB ―→ |＋|FC ―→
|的值为________．
解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝
32＋3
2
＝3. 答案：3
4．直线l 过抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2
＝8y .
答案：x 2
＝8y
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2
＋y 2
－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝________.
解析：抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p
2
，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2
＝2，
圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝(2)2
，解得p ＝2.
答案：2
2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5
4x 0，则x 0＝________.
解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋1
4＝
|AF |＝5
4
x 0，解得x 0＝1.
答案：1
3．已知抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则
1|FP |＋
1
|FQ |
＝________. 解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知直线y ＝k (x －2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则
1
|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4.联立直线与抛物线方程消去y ，得k 2x 2
－(4k 2
＋8)x ＋4k 2
＝0，可知x 1x 2＝4，故
1|FP |
＋
1|FQ |
＝
x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝1
2
.
答案：12
4．设抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为________．
解析：由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 2
02p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2
＝4x 或y 2
＝16x .
答案：y 2
＝4x 或y 2
＝16x
5．(2018·长春模拟)过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF |
|BF |
的值等于________．
解析：记抛物线y 2
＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF |
|AF |＋|BF |
，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝1
3
.
答案：1
3
6．(2017·天津高考)设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．
解析：由题意知该圆的半径为1，
设圆心坐标为C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )． 又F (1,0)，所以AC ―→＝(－1,0)，AF ―→
＝(1，－a )， 由题意得AC ―→与AF ―→
的夹角为120°，
故cos 120°＝－11×1＋(－a )2
＝－1
2，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2
＋(y －3)2＝1
7．(2017·全国卷Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点
M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．
解析：法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨
⎧
y ＝3(x －1)，
y 2＝4x ，
得x ＝1
3
或x ＝3.
由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.
又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×
3
2
＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |＝|MF |＝
2
1－cos 60°
＝4.
又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形，。