高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系(1)教案数学教案

课题
1.2.2同角三角函数的基本关系
教
学
目
标
知识与技能
定义推导同角三角函数的基本关系式
过程与方法
求值、化简三角函数式、证明三角恒等式
情感态度价值观
使学生养成探究、分析的习惯，树立划归的思想方法
重点
三个公式的推导及应用
难点
三个公式的推导及应用
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
探究点一利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数关系
∴α是第二或第三象限的角．
(1)如果α是第二象限的角，可以得到
sinα＝ ＝ ＝ .
tanα＝ ＝ ＝－ .
(2)如果α是第三象限的角，可得到：sinα＝－ ，tanα＝ .
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
小结同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
问题2平方关系sin2α＋cos2α＝1与商数关系tanα＝ 成立的条件是怎样的？
答平方关系sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立；
商数关系tanα＝ 中α是使tanα有意义的值，
即α≠kπ＋ ，k∈Z.
探究点二 已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值
已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α
问题1利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方关系和商数关系．
答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝ >0，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ .
于是sin2α＋cos2α＝( )2＋( )2＝ ＝1， ＝ ＝ ＝tanα.
即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝ .
由 .∴4cos2θ＝1，cos2θ＝ .
当θ为第二象限角时，cos θ＝－ ，sin θ＝ ；
当θ为第四象限角时，cos θ＝ ，sin θ＝－ .
类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论．
例如：已知cos α＝m，且|m|<1，求sin α，tan α.
(1) ；(2) sin2α＋ sinαcosα＋ cos2α.
解(1)原式＝ ＝ .
(2)原式＝
＝ ＝ ＝ .
教
学
小
结
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3.运用同角三角函数关系式化简、证明
课后
反思
跟踪训练1已知tanα＝ ，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．
解由tanα＝ ＝ ，得sinα＝ cosα.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ .
又α是第三象限角，
∴cosα＝－ ，sinα＝ cosα＝－ .
例2已知tanα＝2，求下列代数式的值．
答∵cos α＝m，且|m|<1，
∴sin α＝± ＝± .
当α在第一、二象限时，sin α＝ ，
tan α＝ ；
当α在第三、四象限时，sin α＝－ ，
ห้องสมุดไป่ตู้tan α＝ ；
当α终边在y轴上时，sin α＝±1，tan α不存在．
例1已知cosα＝－ ，求sinα，tanα.
解∵cosα＝－ <0且cosα≠－1，
教学内容
教学环节与活动设计
＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：
类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解．
例如：已知sin α＝ ，且α是第二象限角，则
cos α＝_____，tan α＝_____.
答 ∵ ＝tan θ＝－ .∴sin θ＝－ cos θ.