江西省新余市2019-2020学年高考数学仿真第三次备考试题含解析

江西省新余市2019-2020学年高考数学仿真第三次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin()f x x π=-
223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ） ①图象C 关于直线512x π=
对称； ②图象C 关于点(,0)3π
-对称；
③由y =2sin2x 的图象向右平移3
π个单位长度可以得到图象C. A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③ 【答案】B
【解析】
【分析】 根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.
【详解】 因为()sin()f x x π=-
223， 又553()2sin(2)2sin 2121236
f ππππ=⨯-==，所以①正确. ()2sin(2)2sin()0333
f ππππ--=⨯-=-=，所以②正确. 将2sin 2y x =的图象向右平移
3π个单位长度，得22sin[2()]2sin(2)33
y x x ππ=-=-，所以③错误. 所以①②正确，③错误.
故选:B
【点睛】 本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）
A ．58厘米
B ．63厘米
C ．69厘米
D ．76厘米
【答案】B
【解析】
【分析】
由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.
【详解】
因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，
故导线长度约为2
3020 3
π
π⨯
=≈63(厘米).
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.
3．已知定义在R上的奇函数()
f x满足：(2)()
f x e f x
+=-（其中 2.71828
e=L），且在区间[,2]
e e上是减函数，令
ln2
2
a=，
ln3
3
b=，
ln5
5
c=，则()
f a，()
f b，()
f c的大小关系（用不等号连接）为（）A．()()()
f b f a f c
>>B．()()()
f b f c f a
>>
C．()()()
f a f b f c
>>D．()()()
f a f c f b
>>
【答案】A
【解析】
因为()()
2
f x e f x
+=-，所以()()
f x e f x
+=
４，即周期为４，因为()
f x为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()
f x在（０，１）单调递增，因为
11
11
2532
53
22
5252,232301
c a b
<∴<<∴<∴<<<<，因此
()()()
f b f a f c
>>，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数()
f x为奇函数()()
f x f x
⇔=--，函数()
f x为偶函数()()
f x f x
⇔=-（定义域关于原点对称）；
（2）函数()
f x关于点(,)
a b对称()(2)2
f x f x a b
⇔+-+=，函数()
f x关于直线x m
=对称()(2)
f x f x m
⇔=-+，
（3）函数周期为T,则()()
f x f x T
=+
4．已知数列{}n a为等比数列，若a a a
7
68
26
++=，且a a
59
36
⋅=，则
a a a
7
68
111
++=（）
A．13
18
B．
13
18
或
19
36
C
．
13
9
D．
13
6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可得2
59687
36
a a a a a
⋅=⋅==，通分化简即可.
【详解】
由题意，数列{}n a为等比数列，则2
59687
36
a a a a a
⋅=⋅==，
又a a a
7
68
26
++=，即
687
26
a a a
+=-，
所以，
()()
76877
786867
67877
7
68
363626
111
3636
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a
+⋅++⋅-
⋅+⋅+⋅
++===
⋅⋅⋅⋅
，
()2
777777
7777
362636263626362613
3636363618
a a a a a a
a a a a
+⋅-+⋅-+⋅-⋅
=====
⋅⋅⋅⋅
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
5．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )
A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个
D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
由绘制出的折线图知：
在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；
在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；
在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；
在D 中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D.
【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.
6．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）
A ．74
B ．94
C ．52
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：
当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.
(
)(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33
a b ==时等号成立. 故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）
A ．多1斤
B ．少1斤
C ．多13斤
D ．少13斤 【答案】C
【解析】
设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，
则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333
a a a a =∴-=
-=＝ ， 故选C
8．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )
A ．2±
B ．2-
C ．22
D ．22± 【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，
设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时22y =±(2,2)A ±．
则直线AF 的斜率222221k ±=
=±-． 故选：D ．
【点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
9．若函数f(x)＝
13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)
B ．(－5，0)
C ．[－3，0)
D ．(－3，0)
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解.
【详解】
由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令13x 3＋x 2－23＝－23
，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩
解得a ∈[－3，0)， 故选C.
【点睛】
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.
10．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为
，又由正弦定理得，故，两直线垂直 考点：直线与直线的位置关系
11．函数()22x f x a x
=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3
B ．()1,2
C ．()0,3
D ．()0,2 【答案】C
【解析】
【分析】
显然函数()22x f x a x
=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解.
【详解】
由题,显然函数()22x f x a x
=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,
故选:C
【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
12．一个正四棱锥形骨架的底边边长为22，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．42π
D ．3π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正四棱锥底边边长为221，从而底面的中心即为球心.
【详解】
如图所示：
因为正四棱锥底边边长为22， 所以2,2OB SB == ，
O 到SB 的距离为1SO OB d SB
⨯==， 同理O 到,,SC SD SA 的距离为1，
所以O 为球的球心，
所以球的半径为：1，
所以球的表面积为4π.
故选：B
【点睛】
本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
【答案】60
【解析】
【分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.
【详解】
首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，
故选派的方法为：225410660C C =⨯=.
故答案为60．
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或
位置)．
14．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1=1，且2S n =a n （a n +t ），n ∈N*，则S 10=_____.
【答案】55
【解析】
【分析】
由()111122a S a a t ==+求出1t =.由()21n n n S a a =+，可得()11121n n n S a a ---=+，两式相减，可得数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，即求10S .
【详解】
由题意，当n=1时，()111122a S a a t ==+，
11,21,1a t t =∴=+∴=Q
当2n ≥时，由()21n n n S a a =+，
可得()11121n n n S a a ---=+，
两式相减，可得()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，
整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
110,10n n n n a a a a --+>∴--=Q ，
即11n n a a --=，
∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，
101091011552
S ⨯∴=⨯+
⨯=. 故答案为：55.
【点睛】 本题考查求数列的前n 项和，属于基础题.
15．某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________． 【答案】
47
【解析】
【分析】
从7人中选出2人则总数有27C ，符合条件数有1143C C ⋅，后者除以前者即得结果
【详解】
从7人中随机选出2人的总数有2721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ，
∴114327124()217
C C P A C ⋅=== 故答案为：
47
【点睛】 组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
16．抛物线24y x =的焦点F 到准线l 的距离为 ． 【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，因为抛物线24y x =，即211,48x y p =∴=，即焦点F 到准线l 的距离为18
. 考点：抛物线的性质．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()x f x xe =，ln ()x g x x =
. （1）求函数()f x 的极值；
（2）当>0x 时，求证：>()()f x g x .
【答案】 (1) ()f x 的极小值为1(1)f e -=-
，无极大值.（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）对()x f x xe =求导，确定函数单调性，得到函数极值.
（2）构造函数2()ln (0)F x x x x =->，证明()0F x >恒成立，得到2ln 1x x
<， 22ln ln x x x e xe x x
>⇒>，得证. 【详解】
（1）由题意知，()(1)x x x
f x xe e x e '=+=+，
令()>0f x '，得>1x -，令()0f x '<，得1x <-. 则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，
所以()f x 的极小值为1(1)f e
-=-，无极大值. （2）当0x>时，要证()()f x g x >，即证2ln x x e x >.。