有关三角形四心的题目(答案)
三角形“四心
一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是)|CB |CB |CA |CA (OC )|BC |BC |BA |BA (OB )ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为ABAB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零ACB1e 2e PBCHA图6向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的四心习题及解析
三角形的四心习题及解析一、单选题1. ( )△ ABC 中，若/ A :/ B :/ C = 1 : 2: 3, G 为厶 ABC 的重心，则△ GAB 面积：△ GBC 面积：△ GAC 面 积=(A ) 1: 2:,3( B ) 1 :3 : 2( C )2: 1 : 3 ( D ) 1 : 1: 1。
答案：(D )/■△ GAB 面积：△ GBC 面积：△ GAC 面积=1: 1: 1答案：(C ) 答案：(B )2 22.()如图，△ ABC 中，AB = AC ，两腰上的中线相交与G ,若/ BGC = 90°22， 贝 U BE 的长为多少？ ( A ) 2( B )2^2( C ) 3 ( D )4。
，且BC解析：T AB = AC ，且 GABC 的重心 A BE = CD ■- BG = CG BC 2：2--BG = — == 2*2v'2ABE = 3BG =-皂=32 2又 T / BGC = 90 ° ，BC = 2.23.()如图，等腰△ ABC中，AB = AC = 13，BD = CD = 5，O ABC 的外心,?( A ) 117( B )24119( C ) 121( D ) 123。
242424 G 为△ ABC 的重心解析ABC为等腰三角形，二A D丄BCAD = '•. 132—52=12，连接 OB，令 OD = x ,贝UOB =OA = AD-0D= 12(12 — x) 2= x 2 + 52 x =119故选(B ) 244. ()如图，D 、E 分別为AB 、AC 中点，BE 、CD 交于F,若斜线部分的面积为7，则△ ACD 的面积为多少？( A ) 21( B ) 24( C ) 28( D ) 35。
答案：(A)5. ()直角三角形 ABC 中，/ A = 90°, O 为外心，G 为重心，若AC= 6, AB = 8,则2 4 5 7 OG=?(A)-(B )(C ) -(D )。
平面几何三角形四心竞赛题A卷及答案
三角形四心竞赛训练题1一、填空题1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。
2、在△ABC 中，∠A=40º，为△ABC 的内心，则∠BOC ＝ 度。
3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。
4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为 。
5、设△ABC 的垂心为H ，则∠BHC ＋∠BAC= 度。
二、解答题6、如图1，△ABC 中，AD 为BC 边的高线，点O 为△ABC 的外心，求证：∠BAO=∠DAC 。
7、求证：三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于中线长的23。
8、如图2，Rt △ABC 的内切圆⊙O 和斜边BC 的切点为T ，求证：ABCBT TC S ∆⋅=。
9、如图3，已知△ABC 的内心为I ，△BCI 的外心为D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
10、如图4，已知△ABC 的内切圆和BC 相切于D ，求证：△ABD 、△ACD 的内切圆相切。
11、如图5，设△ABC 的垂心为H ，并且直线AH 和外接圆及边BC 的交点分别为E 、D ，求证：HD=DE 。
12、如图6，△ABC 的垂心为H ，外心O 到边BC 的距离为OM ，求证：AH=2OM 。
13、如图7，△ABC 的垂心为H ，外心为O ，若∠A ＝60º；求证：三直线HO 、AB 、AC 所作成的△APQ 是正三角形。
14、如图8，△ABC 的垂心H ，若垂足三角形DEF 的外接圆和HC 的交点为G ，求证：HG=CG 。
15、设从△ABC 的外接圆的圆心O 向BC 边作垂线OD ，求证：∠BOD=∠A 或者∠BOD+∠A=180º16、如图9，△ABC 中，∠A=2∠B ，由顶点C 作∠A 的平分线AD 的垂线CF ，垂足为F ，求证：CF 经过△ABC 的外心。
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖附答案
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖一、填空题：1、G 是△A BC 的重心，连结AG 并延长交边BC 于D ，若△ABC 的面积为6cm 2， 则△BGD 的面积为（ ）A. 2cm 2B. 3 cm 2C. 1 cm 2D. 23 cm 22、如图10-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，则∠AEB 是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°3、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，如图10-2，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ’C ’B ’的位置，其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点，B 在A ’B ’上，CA ’交AB 于D ，则∠BDC 的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°4、设G 是△ABC 的垂心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 845、如图10-3，有一块矩形纸片AB CD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，△CEF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86、在△ABC 中，∠A ＝45°，BC ＝a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH ＝（ ）A.a 21 B. a 22C. aD. a 2 7、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点，若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8、已知AD 、BE 、CF 是锐角△ABC 三条高线，垂心为H ，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题1、如图10-4，I 是△ABC 的内心，∠A ＝40°，则∠CIB ＝＿＿2、在凸四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠ABC ＝90°，则∠DAB 的度数是＿＿＿＿＿3、如图10-5，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线对折，图10-1B 图10-2 D A EB C AD E B C F图10-3 图10-4A BCD E D ’图10-5然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大。
三角形的四心-有答案12
由于四边形 GADB 为平行四边形，所以 GD 平分 AB，所以点 G 在三角形 ABC 的边 AB 的中线上，
同理点 G 应该在 BC 边的中线上，利用重心的定义可知 G 是 th 重心 即三条边上中线的交点 ．
故选 C．
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11. 解： ᦙ ᦙt ᦙt ᦙh ᦙh ᦙ ，
则由ᦙ ᦙt ᦙt ᦙh得：
ᦙt ᦙh ᦙ
，即ᦙt h ， ᦙt h
同理 ᦙ th，
ᦙh t，
即 P 是垂心
故选 D
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍 该点叫做三角形的
重心．
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点 该点叫做三角形的外心．
th
t、 ᦙ
ᦙ，
ᦙ
t
1 2
th
，
，
，
ᦙ t，即 A、P、D 三点共线，
又 t 为 BC 边上的中线，
直线 AP 一定过 th 的重心，
故选：A．
14.. 解：由ᦙ ᦙt ᦙh ᦙt t tᦙ tt tᦙ th
tᦙ tᦙ
t tt th
由题意画出简图为：
由于t tt th
t tt ht，
在图形中，利用平行四边行法则及两向量的加法原理可知：GB 为两相邻边的平行四边形的对角线 GD，
A. 重心
B. 内心
7.点 O 是 th 所在平面内的一点，满足
A. 三角形的内心 B. 三角形的外心
C. 垂心
D. 外心
t t h h ，则点 O 是 th 的
C. 三角形的重心 D. 三角形的垂心
8
th 中，若动点 D 满足h 2
2
向量与三角形的四心问题
Go the distance
一定通过 ABC 的（
）
到顶点的距离与到对边中点的距离之比是 2 :1 ；
A. 外心
【变式 2】
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
（2）重心坐标公式： (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , )； 3 3
（1） （2009 海南） 已知 O, N , P 在 ABC 所在平面内， 且 | OA || OB || OC | ，
(OC OA) CA ，则 O 是 ABC 的（
A. 外心
（3） M 是
）
OP ( AB AC ), [ 0, ，则 ) P 点的轨迹一定通过 ABC 的（
D. 垂心 A. 外心
【变式 3】
）
B. 内心
C. 重心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
ABC 所 在 平 面 上 一 点 ， N 是 BC 的 中 点 ， 若
【变式 4】
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
（ 4 ） O 是 平 面 上 一 定 点 ， A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 三 点 ， 动 点 P 满 足
（1） （2005 全国）点 O 是 ABC 所在平面内一点，满足 OA OB OB OC
（3） ABC 的重心 G 的向量表示： GA GB GC 0 ． 【例题 3】
NA NB NC 0 ，PA PB PB PC PC PA ，则 O, N , P 依次是 ABC
的（ ）
（1） （2010 湖北）已知 ABC 和点 M 满足 MA MB MC 0 ．若存在实数
专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)
三角形”四心“向量形式的充要条件本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：ABC 的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔ABC 的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔ABC 的外心sin 2:sin 2:sin 2C S A B C =⇔sin ABC 的垂心⇔::tan :tan A B C S S S A =ASCS BSA．外心B．内心【答案】B【法一】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，【法二】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h =⋅ ，312OAC S b h =⋅ ，112OAB S c h =⋅ ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ，即2310a h OA b h OB c h OC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，又因为0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，所以123h h h ==，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC ∆所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC ∆的内心⇔0aOA bOB cOC ++=.利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.例题2：已知G 是ABC ∆的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=，求角B【详解】因为G 是ABC ∆的重心，所以0GA GB GC ++=,所以56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，所以sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==，由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，因为(0,)B π∈，所以3B π=.【反思】设G 是ABC ∆的重心,直接利用奔驰定理结论O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=，所以在本例中，已知56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，从而得到sin :sin :sin 5:7:8A B C =，再利用正弦定理，余弦定理求解.例题3：设点O 在ABC ∆内部，且5370OA OB OC ++=,则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为.【详解】因为点O 在ABC ∆内部，满足奔驰定理0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，且5370OA OB OC ++=，所以::5:3:7A B C S S S =,从而得到::(537):35:1ABC AOC S S ∆=++=【反思】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆,AOC ∆,AOB ∆的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该结论.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足ASCS BSA ．外心B ．内心【答案】B【详解】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理A ．25B ．12C ．16【答案】D【详解】解：O 为三角形ABC 内一点，且满足2OA + ∴233()2()()3OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA ++=-+-+-⇒．13C A B C S S S S ==++，△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠A ．若230OA OB OC ++=，则:A S S B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，C ．若O 为△ABC 的内心，34OA OB +=设AF m =，tan A ∠又:tan BE AE EC A =∠由AB FC AC BE ⋅=⋅S 的三个内角，以下命题正确的有（A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC B ．若230OA OB OC ++=，则::A B S S C ．若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ，2OA B ：若2,OE OB OD == 所以AOE DOE S S S == 则::1:2:3A B C S S S =，正确；C ：由题设1225π6ins 2C S =⨯⨯⨯=所以0OF OE OD ++=，即O 为而16C EOF S S =，则6EOF S = ，故所以1391244ABC S =++= ，错误；D ：由BOC BAC π∠+∠=，则OB 同理，||||cos OB OA OB OA BOA ⋅=∠A ．O 为ABC 的外心B ．BOC ∠C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C = D ．:A S S 【答案】BCD【详解】依题意，()OA OB OB OC OB OA OC ⋅=⋅⇔⋅-= 同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，则O 为ABC 的垂心，A 错误；AB ，AC 于P ，Q ，由选项2OBC ACB π∠+∠=，OCB ∠又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB ACBπ∠=-∠C ．sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D ．tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=【答案】ABDOB OC ⋅ ，即OA OB OB OC ⋅-⋅ 0CA =，OB CA ⊥ ，AB，正确；因为OA CB ⊥，所以90ADB ∠=o ，BAO Ð因为OB CA ⊥，所以90BEA ∠= ，ABO Ð则(90AOB ABO BAO ππ∠=-∠-∠=-A ．O 为ABC 的垂心B ．C ．:sin :si n :n :si O A A OB O C C B =D ．【答案】ABD【详解】对于A ，OA OB OB OC ⋅=⋅ ，(OB OA ∴⋅由A 可知：AD BC ⊥，BE ⊥AOE C ∴∠=∠，又AOE ∠+∠对于C ，由B 可得：OA OB ⋅= 同理可得：OB OC OB OC ⋅=-⋅对于②：记点P 到AB 、为PBC PAC S PA S PB ++ △△a h b h PA PB c h PC +⋅⋅⋅+。
初中数学竞赛第十九讲三角形的四心(含解答)
第十九讲三角形的四心【趣题引路】你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,•变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,•空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,•微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,•在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 .初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗?证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径,如图1,BO=OE,做OD⊥BC•于点D,•则BD=DC.∴OD//12EC.∵BE是直径.∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形.∴AH//EC,∴AH=2OD;（1）（2） (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2.OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′.∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′.∴AG′=2G′D.又∵AD是中线,∴G′与△ABC重心重合.∴三角形的外心,重心,•垂心三点共线.即H、G′、O共线.【知识延伸】三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.•由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础.外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC•的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC.内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC•的内心.则有:(1)∠BIC=90°+12∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)•内心I 到△ABC 的三边距离相等;(4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC.(5)•在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=12(a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G•分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ;(3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,•则有AD 2=12(AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理).垂心是三角形三条高所在直线的交点,•常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC .(3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC =12AB ·r. S △ALC =12AC ·r.∵AB>AC,∴S △ALB > S △ALC .当△ABC 为钝角三角形时,若H 为△ABC 的垂心,显然S △ABC ≠S △AHC + S △BHC+ S △BHA . 故选B. 点评利用重心、内心、垂心的性质,用排除法排除了甲和丙不成立,最后确定乙成立. 例2 如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,BC=a,CA=b,AB=c,I 为其内心,则tan 2B +tan 2C 的值为( ). A.2a a b c ++ B.aa b c ++C.22a a b c++ D.以上答案均不对 解析 连BI,AI,CI,过I 分别作三边的垂线ID,IE,IF,垂足分别为点D 、E 、F,•设△ABC 的内切圆I 的半径为r,则ID=IE=IF=r.在Rt △CIF 中,tan 2C =rCE .在Rt △BIF 中,tan 2B rBF=,∴tan 2B +tan 2C =r rCF BF +=()BF CF r BF CF +=ar BF CF.由切线长可知:CF+BF=a,CE+AE=b,AD+BD=c.又∵CE=CF,AD=AE,BD=BF,∴CF=12(a+b-c),BF=12(a+c-b). ∴CF ·BF=12(a+b-c)(a+c-b)=14[a 2-(c-b )2]=14[b 2+c 2-(c-b)2]=12bc.又∵12bc= (a+b+c)r =S △ABC ,∴bc=(a+b+c)r.∴BF ·CF=12(a+b+c)r. ∴tan 2B +tan 2C =2ara b c r ++=2a a b c ++.选A.点评由于I 为内心,由2B , 2C联想到连结BI,IC.在Rt △ABC 中用BF,CF 来表示出tan 2B ,tan 2C的值.再利用切线长定理表示出CF,BF 的长.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,△ABC 的外接圆为⊙O,∠ACB=60°,N 是弧AB 的中点,H 是垂心. 求证:CN ⊥OH.证明 连OC 、ON,延长AH 交⊙O 于H ′,连OH ′,CH ′. 由∠ACB=60°,得∠CAH ′=•30°, ∴∠COH ′=2∠CAH ′=60°.∵OC=OH ′,∴△OCH ′是正三角形,即OC=OH ′=CH ′. ∵AH ⊥BC,CH ⊥AB.∴B 、•Q 、H 、P 四点共圆,得∠CHH ′=∠CBA. 又∠CH ′B=∠CBA,从而知∠CHH ′=∠CH ′A,• 于是△CHH ′为等腰三角形.且有CH=CH ′. 由于H 为垂心,N 为AB 的中点. ∴CH ⊥AB,ON ⊥AB,从而得CH ∥OH.又ON=OC=CH ′=CH,由此知四边形OCHN 为菱形. ∴OH ⊥CN. 点评本题设法证明OH,CN 是菱形的对角线,从而使问题获证.例2 在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=90°,CD 和BE 是△ABC 的两条中线,•且CD ⊥BE,求a:b:c.解析 如图,设CD 、BE 相交于点F,则F 为△ABC 的重心.设EF=x,DF=y,•则FB=2x,CF=2y. 在Rt △BCE 中,∵CF ⊥BE,∴Rt △BCF ∽Rt △BEC, ∴a 2=2x ·3x=6x 2.同理,(12b )2=x ·3x, 即b 2=12x 2.在Rt △DFB 中,由勾股定理,得 (12c )2=(2x)2+y 2,∴c 2=16x 2+4y 2. ① 又∵Rt △FEC ∽Rt △FCB,∴C F 2=EF ·BF.即(2y 2)=x ·2x,∴y 2=12x 2. ②以②式代入①得c 2=18x 2,∴a 2:b 2:c 2=6x 2:12x 2:18x 2=1:2:3 ∴点评由F 为Rt △ACB 的重心,因而a 、b 、•c•均能用两条中线长的代数式来表示.•又由CF 2=EF ·BF,问题获解.本题应用方程的思想方法处理平面几何的有关计算问题,其思路清晰,解题步骤规范.中考真题欣赏例1 (2003年南宁市中考题) 已知E 是△ABC 的内心,∠A 的平分线交BC 于点F,且与△ABC 的外接圆相交于点D,如图. (1)求证:∠DBE=∠DEB;(2)若AD=8cm,DF:FA=1:3,求DE 的长.证明 (1)∵E 是△ABC 的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠BED=∠3+∠1,∠5=∠2, ∴∠4+∠5=∠3+∠2=∠3+∠1, 即∠EBD=∠BED;(2)∵∠EBD=∠BED,∴DE=DB.∵∠D=∠D,∠5=∠2=∠1,∴BD 2=AD ·FD.∵DF:FA=1:3,AD=8, ∴FD:AD=1:4,184DF ,∴DF=2(cm). ∴B D 2=8×2=16,∴DE=BD=4(cm).点评利用内心,圆周角等性质将已知和未知关系联系起来,从而使问题获解.例2 (2001年上海市业务数学招生试题)如图,已知O 是△ABC 的边AB 、AC 的中垂线的交点,I 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点,且∠I+∠BOC=180°.求∠BAC 的度数.解析 ∵O,I 分别是△ABC 的外心和内心,∴∠BOC=2∠BAC,∠I=90°+12∠BAC, 又∵∠I+∠BOC=180°, ∴90°+12∠BAC+2∠BAC=180°. ∴∠BAC=36°. 点评利用外心和内心的性质,将∠BOC 、∠BIC 用∠BAC 来表示,然后建立方程得解.竞赛样题展示例1 (2003年黄冈数学特长生选拔试题)如图,△ABC 中,AB=1998,BC=1999,AC=2000,I 为内心,G 为重心,求IG 的长.解析 连结AI 并延长交BC 于O,连AG 并延长交BC 于J,连BI,IG,由角平分线的性质定理得又∵BO+OC=1999,∴BO=999,OC=1000.又∵BJ=JC=19992,∴OJ=12又∵BI 为角的平分线,∴1998999AB AI BO IO ===2,而AG GJ=2, ∴IG ∥OJ,∴23IG OJ =, GI=23×12=13.点评连结AI,AG 并延长交边BC 于O 、J,连BI.由角平分线的性质可求出BO 、OC 的长,利用角的平分线的性质可计算出AI IO 的值,因为G 为重心,同样可知AG GJ 的值,发现AI IO =AG GJ,从而计算出IG 的长.例2 (第23届加拿大奥赛预选题)△ABC 的外心为O,AB=AC,如图,D 是AB•的中点,E 是△ACD 的重心.证明:OE ⊥CD.证明 设F 、F 分别为AC 、BC 的中点,连结AG 、DF,设AG 交DC 于H,GF 交DC 于I,• 则O 在AG 上,E 在OF 上. ∵AB=AC,AG ⊥BC,DF //12BC. ∴HO ⊥DE,∵D 、F 、G 分别为AB 、AC 和BC 的中点,知H 为△ABC 的重心, ∴DH=13DC=23DI. 由E 为△ADC 的重心,知DE=23DF. 由23DH DEDI DF==,∴EH ∥IF,即EH ∥AB, 由O 为△ABC 的外心,知OD ⊥AB,OD ⊥EH,OH ⊥DE,OD ⊥HE.知O 为△DEH 的垂心.∴EO ⊥DH,即EO ⊥CD. 点评本例综合运用了重心,垂心和外心的概念与性质.全能训练A 卷1.在△ABC 中,∠A 是钝角,O 是垂心,AO=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值是( )2.设G 为△ABC 的重心,且AG=6,BG=8,CG=10,则△ABC 的面积为( )A.58B.66C.72D.843.在△ABC 中,BC=3,AC=4,BC 和AC 的中线AE,BD 互相垂直,则AB 等于( ).4.如图,△ABC 的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,则m:n:p 等于( ) A.111::a b cB.a:b:cC.cosA:cosB:cosCD.sinA:sinB:sinC 5.如图,在锐角△ABC 中,AD ⊥BC,点D 为垂足,DE ⊥AC,点E 为垂足,DF ⊥AB,•F 为垂曲心,O 为△ABC 的外心. 求证:(1)△AEF ∽△ABC; (2)AO ⊥EF.6.如图,直线PQ过△ABC的重心M,P、Q分别内分AB、AC的比值为p、q。
平面向量题型三-三角形“四心”与向量结合
题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P 是三角形的（ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3、在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA •-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心)(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.证明：由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 点为三角形的 （ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 [5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的 （ ）（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点6、在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC ＋2AB ，则Ｏ为ABC ∆的 （ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心(三)平面向量与三角形重心 “重心定理”G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. (证明 图中GE GC GB =+ 连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得+=0⇒2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明+=+=+=⇒)()(3+++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））7、已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心*8、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足 =31 (21+21+2),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）边中线的中点 边中线的三等分点（非重心） C.重心 边的中点(四)平面向量与三角形外心9、若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC==，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心10、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =：(五)平面向量与三角形四心11、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）12、在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
平面向量与三角形的“四心”问题
平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。
三角形的四心问题(最全面精品)
三角形的外心、内心、重心、垂心序号名称定义图形性质1 三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；2.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2 三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一3 三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2；2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4 三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外AB COIKHEFDAB CMABCDEFGA BCDEFO三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径. 用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式SR 4abc公式中 是这三角形的三条边，S 为三角形的面积.证明：例题精讲一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径. （用三角函数表示）COCO例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. .③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.ABCODABCOD E ABCOD E三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径;一般三角形中，r=c b S++a 2(S 为三角形面积）Rt △中，r=2b ca -+（a,b 为直角边，c 为斜边）例题精讲：探索1：如图，在△ABC 中，点O 是内心，∠ABC=50°，∠ACB ＝7０°，求∠BOC 的度数.变式1：在△ABC 中，点O 是内心，∠BAC=50°，求∠BOC 的度数.变式2：在△ABC 中，点O 是内心，∠BOC=120°，求∠BAC 的度数.探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，它的内切圆半径为r ，你会求△ABC 的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c 求其内切圆的半径ｒ和外接圆半径R.二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形例 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.2、一般三角形 ①已知三边例 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.②已知两边夹一角例 已知：如图，在△ABC 中，sin ∠B=53,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.ABCOE Dbca A BCO E FDABCOD③已知两角夹一边例 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°,BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1)总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.三角形的重心三角形重心是三角形三条中线的交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方最小.例：已知：△ABC ，E 、F 是AB ，AC 的中点.EC 、FB 交于G. 求证：EG=1/2CGABCO D例：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线.根据重心性质知：例题精讲：⑴求线段长例如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC 的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm.解：⑵求面积例在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积.解：如图，若G 是ABC ∆的重心，且GH ∥BC ,则GH:BC=如图，若G 是ABC ∆的重心，且GE ∥,CB GF ∥AB ,则=∆GEBF四边形S S ABC。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
立体几何中三角形的四心问题
立体几何中三角形的四心问题一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心）例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等.∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B.例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。
∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。
解析：∵A 1A=A 1B=A 1C∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156取AB 中点E ，连A 1E∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB∴ 12)2AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==∴ S 侧=396二、内心问题（若P 点到三边AB,BC,CA 的距离相等，则O 是三角形ABC 的 内心）例4．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内，那么O 是ΔABC 的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O 到ΔABC 的三边的距离相等，因而O 是ΔABC 的内心，因此选D.说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.质找出与平面平行的直线。
三角形“四心”与向量练习题
1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足之吉白夕凡创作 OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（B ） A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点分析：取AB 边的中点M ，则OM OB OA 2=+，由OP =31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=，∴MC MP 32=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则Ｏ为ABC ∆的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=， 则P 为ABC ∆的（ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 点为三角形的（ D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心6．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P 点为三角形的（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心7．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA •-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心AB →与AC →满足(AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0且AB →|AB →|·AC →|AC →|=12, 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||AB AC AB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 9.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =110.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（B ）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 11．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足ACABOA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）D ）垂心是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基赋性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.。
第6章平面向量专题5 三角形四心问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)
三角形四心问题三角形四心的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则 (1) O 为△ABC 的外心⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a2sinA .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.(2) O 为△ABC 的垂心⇔OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.1、已知是的外心，，，则A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】.【解答】解：如图，是的外心，且，，则 ． 故选：．2、已知△ABC 和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则O ABC ∆||4AB =||2AC =()(AO AB AC +=)A O ABC ∆||4AB =||2AC =()AO AB AC AO AB AO AC +=+221111||||164102222AB AC =+=⨯+⨯=Am ＝__________.【答案】3【解析】由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.3、（多选）在给出的下列命题中，正确的是( )A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线B.若向量a b 和是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足则为等腰三角形D.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形【答案】ACD4．已知O 为ABC ∆的外心，1,,3cosA AO AB AC αβαβ==++若则的最大值为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【分析】如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭ABC △(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠．由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===．可得B ，C ，O 的坐标，设(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)利用向量相等AO AB AC αβ=+，可得())1m m m n n nαβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，又1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．可化为)111m n βααβαβ⎧-=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-，化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++，即可解出．【解答】解：如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠． 由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===． 1cos 3OD COD OC ∠==， 1.OD DC∴==．(B ∴-，C ，(0,1)O ，(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)AO AB AC αβ=+，(m ∴-，1)(,),)n m n m n αβ-=--+-，∴())1m m m n n n αβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．∴可化为11m n αβ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-， 化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++， 解得34αβ+或32αβ+． 又1αβ+<，故32αβ+应舍去． ∴34αβ+， 故αβ+的最大值为34．故选：D ．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．5．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( )A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．【点评】本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．6．ABC ∆中，||2AC =，||3BC =，3AC BC =，O 为该三角形的外心，则(BA AO = )A ．192B ．192-C ．72-D ．72【分析】设BA 的中点为D ，连接OD ，把所求转化为12- 2AB ；结合余弦定理即可得出结论．【解答】解：如图：设BA 的中点为D ，连接OD ，则OD AB ⊥；∴11()22BA AO BA AD DO BA AD BA DO BAAB =+=+==- 2AB ； ||2AC =，||3BC =，∴123cos 3cos 2AC BC C C =⨯⨯∠=⇒∠=， ∴2222cos 7AB AC BC AC BC C =+-∠=；∴72BA AO =-．故选：C ．【点评】本题考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查向量的三角形法则以及计算，考查计算能力，属于中档题目．7．已知O 是ABC ∆的外心，2AB =，3AC =，21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，则cos (BAC ∠= )A ．34B C ．14D 【分析】设出A ，C ，BAC α∠=，(2cos ,2sin )B αα，O 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32，利用21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，求出cos α，即可． 【解答】解：设(0,0)A ，(3,0)C ，BAC α∠=(2cos ,2sin )B ααO 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32， 因为若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，所以：23cos 32x y α=+ 因为21x y +=，所以33322x y +=，23cos 332x y x y α+=+32cos 2α=，即：3cos 4BAC ∠=． 故选：A ．【点评】本题考查三角形五心，向量的共线定理，考查计算能力，是中档题．8．在直角ABC ∆中，90A =︒，6AB =，8AC =，D 是ABC ∆的内心，则(BD = )A ．2134AB AC -+B ．2134AB AC - C ．2133AB AC -+D ．2133AB AC -【分析】如图所示，建立直角坐标系．10BC =．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，可得内切圆的半径681022r +-==．设BD mAB nAC =+，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．10BC ==．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，∴内切圆的半径681022r +-==． (2,2)D ∴，(6,0)B ，(0,8)C ．设BD mAB nAC =+，则(4-，2)(6m =，0)(0n +，8)．46m ∴-=，28n =，解得23m =-，14n =．∴2134BD AB AC =-+，故选：A ．【点评】本题考查了向量线性运算性质、直角三角形的内切圆的性质、平面向量基本定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知ABC ∆，角ABC 的三边分别为a 、b 、c ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ++=，则P 点为三角形( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE ，作AF AD AE =+，则AF 平分BAC ∠，用,,PA AB AC 表示出,PB PC 代入条件式，用,AB AC 表示出AP ，则可证明A ，F ，P 三点共线，即AP 平分BAC ∠．【解答】解在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c =，ACAE b=，则||||1AD AE ==． 以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则四边形ADFE 是菱形，且AB ACAF AD AE c b=+=+． AF ∴为BAC ∠的平分线．0a PA b PB c PC ++=()()0a PA b PA AB c PA AC ∴++++=，即()0a b c PA bAB cAC ++++=，∴()b c bc AB AC bc AP AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c=+=+=++++++++．A ∴，P ，F 三点共线，即P 在BAC ∠的平分线上．同理可得P 在其他两角的平分线上，P ∴是ABC ∆的内心．故选：B ．【点评】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题．10．O 是非等边ABC ∆的外心，P 是平面ABC 内的一点且OA OB OC OP ++=，则P 是ABC ∆的( )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心【分析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥．由题中向量的等式化简得2CP OA OB OD =+=，从而得到CP AB ⊥，即CP 在AB 边的高线上．同理可证出AP 在BC 边的高线上，故可得P 是三角形ABC 的垂心．【解答】解：在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，平面内点P 满足OA OB OC OP ++=，∴OA OB OP OC CP +=-=，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CP OD =，∴CP AB ⊥，可得CP 在AB 边的高线上．同理可证，AP 在BC 边的高线上，故P 是三角形ABC 两高线的交点，可得P 是三角形ABC 的垂心，故选：A ．【点评】本题给出三角形中的向量等式，判断点P 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．11．已知P 在ABC ∆所在平面内，且PA PB PB PC PC PA ==，则点P 是ABC ∆的( )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【分析】根据PA PB PB PC =，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到()0PB CA =，因此有PB CA ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，根据三角形五心的定义，即可求得结果【解答】解：PA PB PB PC =，∴()0PB CA =，PB CA ∴⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．【点评】本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题12．O 为ABC ∆平面内一定点，该平面内一动点P 满足{|(||sin ||sin )M P OP OA AB B AB AC C AC λ==++，0}λ>，则ABC ∆的( )一定属于集合M ．A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【分析】由题意画出图形，根据正弦定理得出||sin ||sin AB B AC C =，代入关系式由向量的减法化简，得出AP 与AD 共线，由此得出点P 的轨迹，从而得出答案．【解答】解：ABC ∆中，由正弦定理得，||||sin sin AC AB B C =， 即||sin ||sin AB B AC C =，设||sin t AB B =，代入OP ，则()OP OA t AB AC λ=++，D ∴是BC 的中点，∴2AB AC AD +=，∴2OP OA t AD λ=+，且λ、t 都是常数，∴2AP t AD λ=，∴点P 的轨迹是直线AD ，ABC ∴∆的重心一定属于集合M ．故选：A ．【点评】本题考查了向量在平面图形中的应用以及正弦定理、向量的减法和共线的应用问题，是综合性题目．13．已知()h x 为ABC ∆内一点，若分别满足①||||||OA OB OC ==，②OA OB OB OC OC OA ==，③0OA OB OC ++=，④()0,,,,aOA bOB cOC a b c ABC A B C ++=∆其中为中角所对的边，则O 依次是ABC ∆的( )A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算逐一检验即可得解．【解答】解：对于①因为①||||||OA OB OC ==，所以点O 到点A 、B 、C 的距离相等，即点O 为ABC ∆的外心，对于②因为OA OB OB OC =，所以()0OB OA OC -=，所以0OB CA =，即OB CA ⊥，同理OA BC ⊥，OC AB ⊥，即点O 为ABC ∆的垂心，对于③因为0OA OB OC ++=，所以()OA OB OC =-+，设D 为BC 的中点，则2OA OD =-，即点O 为ABC ∆的重心，对于④因为0aOA bOB cOC ++=，易得点O 为ABC ∆的内心，故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．14．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB ==，则点O 是ABC ∆的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 【分析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO AC AB AC =，可得()0||||AB AC AO AB AC -=，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =，可得：()0||||CA CB CO CA CB -=，所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ．【点评】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，点P 满足1(2)4OP OA OB OC =++，则PAB OAB S S ∆∆为( ) A ．32 B ．23 C ．2 D ．12【分析】作出图形：延长CO 交边AB 的中点于D ，根据O 是ABC ∆的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出14OP OC =，从而便可得到11,62OP CD DP CD ==，而13DO CD =，这样即可求出PAB OAB S S ∆∆的值． 【解答】解：如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是ABC ∆的重心，则：1111(2)(22)(2)4444OP OA OB OC OD OC OC OC OC =++=+=-+=； ∴11214436OP OC CD CD ===； ∴111362DP DO OP CD CD CD =+=+=，13DO CD =； ∴132123PAB OABCD S DP S DO CD ∆∆===． 故选：A ．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．16．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++，则点P一定为三角形ABC 的( ) A ．AB 边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，动点P满足111(2)322OP OA OB OC =++，∴1(2)3OP OE OC =+2OC EO=，∴11(4)333OP OE EO EO EO =+=⨯=，P∴在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，考查向量加法的平行四边形法则，考查故选向量的加减运算，是一个比较简单的综合题目，这种题目可以以选择或填空出现．17．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的 垂 心．【分析】由OA OB OB OC =得到()()0OB CA =，根据向量数量积为零可得OB AC ⊥，同理得到OA BC ⊥，所以点O 是ABC ∆的三条高的交点，从而根据垂心的定义可得结论．【解答】解：()()()()OA OB OB OC =，()()()()0OB OA OB OC -=，即()()())0OB OA OC -=，()()0OB CA =，∴()()OB CA ⊥．同理可得()()OA BC ⊥，()()OC AB ⊥．O ∴是三角形三条高线的交点．故答案为：垂【点评】本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求，属于基础题．18．如图，在ABC ∆中，若3AB =，BC =，2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC = 2 ．【分析】设外接圆半径为R ，则||||cos AO AC AO AC CAO =∠，故可将向量的数量积转化为【解答】解：设外接圆半径为R3,2AB BC AC ==，AO CO R ==2241cos 22R R OAC R R+-∠== 则1||||cos 22AO AC AO AC CAO R R=∠=⨯⨯= 故答案为：2【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题19．设O 是ABC ∆的外心，满足13()24CO tCA t CB =+-，t R ∈，若||3AB =，则ABC ∆面积的最大值为 9 ．【分析】用平面向量基本定理，把面积转化为三角函数，由此即可求出面积最大值．【解答】解：由13()24CO tCA t CB =+-，得到31()42CO t CA CB CB =-+． 所以13()24CO CB t CA CB -=-． 如图，取CB 中点D ，再取BD 中点E ，则DO tEA =因为DO BC ⊥，所以EA BC ⊥则3sin AE B =，3cos BE B =，12cos BC B =．118sin cos 9sin 292ABC S AE BC B B B ∆===． 当4B π=时，三角形ABC 面积取最大值9． 故答案是：9．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，O 点是内心，且12AO AB BC λλ=+，则12λλ+= 56． 【分析】设内切圆半径为r ，由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-=======，从而表示出向量AO ，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：设内切圆半径为r ， 由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-========， ∴1134AO AE AF AB AC =+=+ 11()34AB AB BC =++ 71124AB BC =+， ∴1712λ=，214λ=． 1256λλ∴+=． 故答案为：56．【点评】本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．21．已知H 是ABC ∆的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ． 【分析】先确定点H 的位置，再得到BC AC =，再向量的夹角公式，并运用了向量的坐标运算可求出．【解答】解：1142AH AB AC =+，令AE AC λ=，∴1142AH AB AE λ=+如图，点B ，H ，E 三点共线，则有，11142λ+=，∴23λ=． ∴1344AH AB AE =+，即3BH HE =．∴3()CH CB CE CH -=-，∴131()2444CH CB CE CB CA CF =+=+=（其中点F 为边AB 的中点），则有，边AB 上的中线与垂线重合，即CB CA =．3BH HE =且23AE AC =．由对称性可知，3AH HD =且23BD BC =．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，(0,0)D ，(2,0)B ，(1,0)C ，设(0,4)A t ，(0,)H t ∴，0t >．由BC CA =可得，212t =．2cos 16BA BCBAC BA BC ∠===．．【点评】本题运用了向量的坐标法来求解，运算量小了，过程更为清晰．22．在锐角ABC ∆中，H 为垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ． 【分析】利用H 为ABC ∆的垂心，可得0HA BC =⇒HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；再利用已知条件3450HA HB HC ++=，化为22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=与22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；即可求得答案．【解答】解：H 是ABC ∆的垂心，所以0HA BC =，即0()HA HC HB HA HC HA HB =-=-，所以HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；因为3450HA HB HC ++=，所以22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=；所以23HA HA HB =-，即2cos 3||||HA AHB HA HB ∠=-①；同理22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；22HB HA HB =-，即2cos 2||||HB AHB HA HB ∠=-②， 联立①②得：21cos 6AHB ∠=，于是cos||||HA HB AHB HA HB ∠==-=故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的应用，考查转化思想与运算能力，属于难题．23．锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边．点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为 4[5， ． 【分析】根据余弦定理求出2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+，根据三角形是锐角三角形求出：b a ∈，求出cos C 的范围即可． 【解答】解：如图示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，AG BG ⊥，1122DG AB c ∴==， 由重心的性质得3CD DG =，即3322CD AB c ==， 由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-∠，ADC BDC π∠+∠=，AD BD =，2222222225AC BC a b AD CD c ∴+=+=+=， 则2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+， ABC ∆是锐角三角形，222a b c ∴+>，222b c a +>，222a c b +>，将2225a b c +=代入得：b a ∈，∴4cos 5C <故答案为：4[5．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查三角形的重心以及直角三角形的性质，是一道中档题．24．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，求11x y+的值． 【分析】由G 为三角形的重心则1()3AG AB AC =+，结合,AM xAB AN y AC ==，我们根据M ，G ，N 三点共线，易得到x ，y 的关系式，整理后即可得到11x y+的值． 【解答】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+， 111()()333MG AG AM AB AC xAB x AB AC =-=+-=-+， GN AN AG y AC AG =-=-1()3yAC AB AC =-+ 11()33y AC AB =--， 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=， 即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--， 即113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=． 【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=，进而得到x ，y 的关系式，是解答本题的关键．。
九年级奥数培优 三角形的“四心”
A卷一、填空题1.如图，已知G是△ABC的重心，若AG=3，BG=4，CG =5，则△ABC的面积等于。
2.如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，则AC：AF的值等于。
3.如图，△ABC中，∠C = 90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点。
若BC =4，AC=6，则AE·EB= 。
4.已知O点为锐角△ABC的外心，连结AO、BO、CO，并延长分别交对边于L、M、N(如图)，则AO BO COAL BM CN++=。
5.如图，在△ABC中，H为垂心，O为外心，∠BAC=60°，且△ABC外接圆直径为10，则AH= 。
6.在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO=BC，则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是。
7.已知AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高线，垂心为H，则图中直角三角形的个数是。
8.如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△BDE的内心。
若∠BFE的度数为整数，则∠BFE至少是度。
9.设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI·ID。
10.已知H、O分别是△ABC的垂心和外心，OE⊥BC于E，则AH：OE= 。
二、解答题11.已知平行四边形ABCD的面积是120，E、F分别是AB、BC的中点，AF 分别与ED、BD交于G、H，求四边形BHGE的面积。
12.如图，已知AB是⊙O的直径，AH是弦，C是AH的中点，CD⊥AB 分别交AH、AB于E、D，BC交AH于F，求证：AF= 2EF.13.如图，已知△ABC 的重心G 与内心I 的连线GI ∥BC ，求证： AB ＋AC =2BC .14.如图，I 是△ABC 的内心，且I 、D 、C 、E 四点共圆。
若ED ＝2，试求ID ＋IE 的值。
B 卷一、填空题1.在△ABC 中，BC =3，AC =4，BC 和AC 的中线AE 、BD 互相垂直，则AB ＝ 。
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OP OA AB AC λ=++()0,λ∈+∞， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （填三角形的“四心”）
2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
()0,λ∈+∞， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （填三角形的“四心”）
3、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭()0,λ∈+∞， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （填三角形的“四心”）
2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
()0,λ∈+∞， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （填三角形的“四心”）
5、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
sin sin AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
()0,λ∈+∞， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （填三角形的“四心”）。