高考数学考前回归基础训练题----不等式与导数交汇

2009届高考数学考前回归基础训练题
----不等式与导数交汇
1. 设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数． （1）当2
1
>
b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式
n n n n
1ln )1ln(12
<-+<都成立．
2. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2－3x 在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.
3. 已知函数.2
3)32ln()(2x x x f -
+= （I ）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取
值范围；
（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的
取值范围.
4. 已知函数.2
3)32ln()(2x x x f -
+= （I ）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取
值范围；
（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的
取值范围.
5. 已知函数.2
3)32ln()(2x x x f -
+= （1）求)(x f 在[0，1]上的极值；
（2）若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1
,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；
（3）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取
值范围.
6. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2－3x 在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.
7. 已知函数2
()ln(2)2x f x x a
=--（a 为常数且0a ≠）
（1）当0a >时，求()f x 的单调区间
（2）若()f x 在0x 处取得极值，且20[2,2]x e e ∉++，而()0f x ≥在2
[2,2]e e ++上
恒成立，求实数a 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）
8. 已知d cx bx ax x f +++=2
3
)(是定义在R 上的函数，它在[]1,0-和[]4,5上有相同
的单调性，在[]0,2和[]4,5上有相反的单调性. （Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）在函数)(x f 的图象上是否存在点00(,)M x y ，使得)(x f 在点M 的切线斜率为
3b ？若存在，求出M 点的坐标，若不存在，则说明理由；
（Ⅲ）设)(x f 的图象交x 轴于A B C 、、三点，且B 的坐标为)0,2(,求线段AC 的长度
AC 的取值范围.
9. 已知函数2
()ln(2)2x f x x a
=--（a 为常数且0a ≠）
（1）当0a >时，求()f x 的单调区间
（2）若()f x 在0x 处取得极值，且20[2,2]x e e ∉++，而()0f x ≥在2[2,2]e e ++上恒成立，求实数a 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）
10. 已知x ax x x g a f x f 43)(,18)2(,3)(-==+=并且的定义域为区间[－1，1]。

（1）求函数)(x g 的解析式； （2）判断)(x g 的单调性；
（3）若方程m m x g 求有解,)(=的取值范围。

答案：
1. 解：（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，
)0( 21)21(22222)('22
>-
+-=+-=+-=x x
b x x b x x x b x x f ∴当2
1
>b 时， ()0f x '>，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当1
2
b >时，函数()f x 无极值点．
②12b =时，02)12()('2
=-=
x
x x f 有两个相同的解21=x ， 0)(',),2
1
( ;0)(')21,0(>+∞∈>∈x f x x f x 时当时，但当时，
1
2b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点．
③当1
2
b <时，()0f x '=有两个不同解，
221211b x --=
2
2121 ,2b
x -+
= 0 )≤∴b i 时，，舍去),0(0221211+∞∉≤--=
b
x ， ),0(12
2121 2+∞∈≥-+=
b x 而, 此时 ()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：0≤b 时，()f x 有惟一极小值点2
2121 ,b
x -+
=， ii) 当1
02
b <<
时，0<21x x <<1 此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：102b <<
时，()f x 有一个极大值2
21211b x --=和一个极小值点2
21212b
x -+
=
； 综上所述： 当且仅当2
1
<
b 时()f x 有极值点; 当0≤b 时，()f x 有惟一最小值点2
2121 ,b
x -+
=
； 当102b <<
时，()f x 有一个极大值点22121b x --=和一个极小值点2
2121b
x -+= （3）由(2)可知当1b =-时，函数x x x f ln )1()(2--=，
此时()f x 有惟一极小值点2
3
122121 +=
-+=
b x 且为减函数在时，)2
3
1,0()( ,0)(')231,
0(+<+∈x f x f x 成立
时恒有当，即恒有恒有，时，当 1
ln )1ln( 3 )1
1ln(10 )11(f(1) 23
134111 0 3 22n n n n n n
n f n n >-+≥∴+->+>∴+<≤+
<<≥
令函数 )0 ln )1()(>--=x x x x h （ x
x x x h 1
11)(' -=-
=则 2
1
ln )1ln(1 3 1
)11ln(ln )1ln(0
)1
1ln(n 1 )1()11( 111 3)(),1[1)( 0)(' 1n
n n n n n n n n n
h n h n n x h x x x h x h x >-+>≥<
+=-+∴>+->+∴+<≥+∞∈∴=>>∴时恒有综上述可知即时为增函数时处连续在，又时，
2. 解：
（I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,0
3230
323⎩⎨
⎧=--=-+b a b a
解得a=1，b=0. ∴f(x)=x 3－3x.
（II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)|
|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4
（III ）f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，
∵曲线方程为y=x 3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.
设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.303
00x x y -= 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为 13)1(3003
020
---=
-x m
x x x ， 整理得03322
030=++-m x x .
∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根. 设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=60206x x -，
由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1.
∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x 0)= 3322
030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1 ∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是
⎩⎨
⎧<>0
)1(0
)0(g g ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2. 3. 解：（I ）23)
13)(1(33323)(+-+-=-+=
'x x x x x x f ，
令13
1
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,3
1
0x f x f x >'<≤∴时当单调递增；
当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值
（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
x
x a x x a 323
ln ln 323ln
ln ++<+->或， …………① 设3
32ln 323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，
x
x
x x x g 323ln 323ln
ln )(+=++=，
依题意知]31
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)
32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+=
'x x x
x x x x h ，
]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
（III ）由.022
3)32ln(2)(2
=-+-+⇒+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，
当]3
7
,0[)(,0)(,]37,
0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； 当]1,3
7[)(,0)(,]1,37[
在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减 而)1()3
7
(),0()37(
ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(02ln )0(b b b ϕϕϕ
.3
7
267)72ln(215ln +-+<≤+
∴b 4. 解：（I ）23)
13)(1(33323)(+-+-=-+=
'x x x x x x f ，
令131
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,3
1
0x f x f x >'<≤∴时当单调递增；
当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值
（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
x
x a x x a 323
ln ln 323ln
ln ++<+->或， …………① 设3
32ln 323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，
x
x
x x x g 323ln 323ln
ln )(+=++=，
依题意知]31
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)
32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+=
'x
x x
x x x x h ， ]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
（III ）由.022
3)32ln(2)(2
=-+-+⇒+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，
当]3
7,0[)(,0)(,]37,
0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； 当]1,3
7[)(,0)(,]1,37[
在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减 而)1()3
7
(),0()37(
ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≤-+=>-+
-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(02ln )0(b b b ϕϕϕ .3
7
267)72ln(215ln +-+<≤+
∴b
5. 解：（1）23)13)(1(33323)(+-+-=
-+=
'x x x x x x f ，令13
1
0)(-==='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,13
1
x f x f x <'≤<时单调递减.
]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值，没有极小值。

（2）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得x
x a x x a 323
ln
ln 323ln
ln ++<+->或……① 设332ln
323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]3
1
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)
32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2
2
>++=+⋅+=
'x x x
x x x x h ， ]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
（3）由.022
3)32ln(2)(2
=-+-
+⇒+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则， 当)3
7,0[)(,0)(,)37,
0[在时x x x ϕ>ϕ'∈上递增； 当]1,3
7()(,0)(,]1,37(在时x x x ϕ<ϕ'∈上递减 。

而)1()3
7(),0()37(ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(0
2ln )0(b b b ϕϕϕ .3
7267)72ln(215ln +-+<≤+∴b
6. 解：（I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，
即,0
3230323⎩⎨⎧=--=-+b a b a 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x 3－3x.
（II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，
x 2，
都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)| |f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－
2)=4
（III ）f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)， ∵曲线方程为y=x 3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.
设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.30300x x y -=因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为13)1(300302
---=-x m x x x ，整理得03322030=++-m x x .∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根. 设g(x 0)= 3322
030++-m x x ，则g ′
(x 0)=60206x x -， 由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1.∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）
上单调递减.
∴函数g(x 0)= 3322
030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1
∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是⎩⎨⎧<>0
)1(0)0(g g ，解得－3<m<－
2.
故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2
7. 解：（1）由2
()ln(2)2x f x x a
=--得1()2x f x x a '=-- 1()2x f x x a '=--2221[(1)(1)](2)(2)
x x a x a a x a x --=-=---+-- 又()f x 的定义域为(2,)+∞，所以20x ->
当0a >时，()f x '
=1(11(2)
x x a x ----
2,10,(2)0x x a x >∴->->
当1x ≥()0f x '≤，()f x 为减函数
当21x ≤≤()0f x '≥，()f x 为增函数
所以当0a >时，()f x
的单调递增区间为(2,1
单调递减区间为(1)+∞
（2）由（1）知当0a <时，1()2x f x x a
'=--0>，()f x 递增无极值 所以()f x 在0x 处有极值，故0a >
且01x = 因为20[2,2]x e e ∉++且22e +>，所以()f x 在2[2,2]e e ++上单调
当2[2,2]e e ++为增区间时，()0f x ≥恒成立，则有
242212(2)0
e a e e
f e ⎧+<⎪>+⎨+≥⎪⎩ 当2[2,2]e e ++为减区间时，()0f x ≥恒成立，则有
242222144(2)04
a e e e e e f e a ⎧<+⎧+>⎪⎪⇒⎨⎨+++≥≥⎪⎩⎪⎩无解
由上讨论得实数a 的取值范围为42
2a e e >+
8. 解：（Ⅰ）由题意可知)(x f 在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以0=x 是)
(x f 的一个极值点. 故0)0('=f ，即0=x 是0232=++c bx ax 的一个解，所以0=c .
（Ⅱ）因为)(x f 在 []0,2和[]4,5上有相反的单调性，所以0)('=x f 在[]2,4上必有一
根.又0≠a ，易知方程023)(2'=+=bx ax x f 一根为0=x ，另一根为a
b x 32-=，所以4322≤-≤a b ，∴36-≤≤-a
b 假设存在点00(,)M x y ，使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3，则b x f 3)(0'=，即
032320=-+b bx ax 有解.而ab b 3642+=∆=)9(4+a b ab ，因为36-≤≤-a
b ，所以0<∆，与032320=-+b bx ax 有解矛盾。

故不存在点00(,)M x y ，使得)(x f 在点M 的切
线斜率为b 3.
（Ⅲ）依题意有0)2(=f ，又0=c ，所以b a d 48--=，
所以b a bx ax x f 48)(23--+==)4()8(2
3-+-x b x a
=)2)(2()42)(2(2-++++-x x b x x x a =2(2)[(2)42]0x ax a b x a b -++++=，
A C 、两点的横坐标C ,A x x 就是方程
024)2(2=++++b a x b a ax 的两根，所以
C A AC x x =-=)24(4)2(2a b a a b a +-+-=12)(4)(2--a b a b =16)2(2--a b ， 因为36-≤≤-a b ，所以当3-=a b 时，min 3AC =；当6-=a
b 时，max AC =34. 所以AC 的取值范围是]34,3[.
9. 解：（1）由2
()ln(2)2x f x x a
=--得1()2x f x x a '=--
1()2x f x x a '=--2221[(1)(1)](2)(2)
x x a x a a x a x --=-=---+-- 又()f x 的定义域为(2,)+∞，所以20x ->
当0a >时，()f x '
=1(11(2)
x x a x ----
2,10,(2)0x x a x >∴->->
当1x ≥()0f x '≤，()f x 为减函数
当21x ≤≤()0f x '≥，()f x 为增函数
所以当0a >时，()f x
的单调递增区间为(2,1
单调递减区间为(1)+∞
（2）由（1）知当0a <时，1()2x f x x a
'=--0>，()f x 递增无极值 所以()f x 在0x 处有极值，故0a >
且01x = 因为20[2,2]x e e ∉++且22e +>，所以()f x 在2[2,2]e e ++上单调
当2[2,2]e e ++为增区间时，()0f x ≥恒成立，则有
242212(2)0
e a e e
f e ⎧+<⎪>+⎨+≥⎪⎩ 当2[2,2]e e ++为减区间时，()0f x ≥恒成立，则有
242222144(2)04
a e e e e e f e a ⎧<+⎧+>⎪⎪⇒⎨⎨+++≥≥⎪⎩⎪⎩无解 由上讨论得实数a 的取值范围为422a e e >+
10. 解：（1）23183,3)(,18)2(2=⇒=∴==++a a x x f a f
]1,1[,424)3()(-∈-==∴x x g x x x x a
（2）4
1)21
2(2)2()(22+--=+-=x x x x g
.
]1,1[)(,]2,2
1[2],2,2
1[2,]1,1[是减数在函数时是减函数由二次函数单调性知当令时当-∴∈=∈-∈x g t t x x
x （3）由（2）知,42)(],2,2
1[2,2x
x x x m m x g t -=⇒=∈=有解则方程 在[－1，1]内有解]2,21
[,41
)21(22∈+--=-=⇒t t t t m
]41
,2[-∴的取值范围是m。