中考数学专题39数学思想方法问题-图文

中考数学专题39数学思想方法问题-图文学科教师辅导讲义
年级：辅导科目：数学课时数：3课题教学目的教学内容数学思想方
法问题一、【中考要求】1．利用建模思想准确选择方程、不等式、函数
解决问题；2．利用分类讨论思想解决数学问题，确保结论不重复、不遗漏。

3．利用转化思想准确在实际问题、数学问题间相互转化；4．利用数
形结合思想解决数学问题。

二、【考点知识梳理】数学思想方法是学习数
学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径，在
数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通
的解题目的，而且能节省审题时间，因此，在中考冲刺阶段一定要多进行
题后反思的环节，力争通过反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的
目的．初中数学思想主要有：①转化思想；②数形结合思想；③整体思想；
④分类讨论思想；⑤函数与方程的思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思
想等．现就常用数学思想方法举例说明如下：1．转化思想数学中考题是
千变万化的，而其中蕴含的数学思想方法是不变的，如新知识问题转化为
旧知识问题，较复杂问题转化为简单问题等，都要用到转化的思想方法．2．数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图
形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几
何图形的性质去解决几何图形的问题，使数量关系和几何图形巧妙地结合
起来，使问题得以解决的一种数学思想．在初中阶段涉及数形结合思想的
内容有：数轴、函数、三角形、四边形、圆、列方程(组)解应用题等．数
形结合思想方法的应用，可帮助我们理解题意，分清已知量未知量，理顺
题中的逻辑关系．3．分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存
在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可
能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则
是：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；
(3)分类讨论应逐级进行．分类思想有利于学会完整地考虑问题，化整为
零地解决问题．一般把握一个原则：遇到模棱两可的情况时往往采用分类
讨论的思想．比如，遇到“等腰三角形、圆”等相关知识时常用分类讨论
的思想．三、【中考典例精析】类型一转化思想某2某(1)解方程：＝＋1.某＋13某＋3【点拨】解分式方程时，应去分母“转化”为整式方程再求解，最后注意验根．
【解答】去分母，得3某＝2某＋3某＋3，整理，得－2某＝3，3解得某＝－.23经检验，某＝－是原方程的根．2(2)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，求∠B的度数及AC的长．【点拨】解决梯形问题时，往往通过作辅助线“转化”为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形去解决，常见辅助线有平移一腰、作高、平移对角线
等．【解答】如图，分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足．∴∠AFB＝
∠DGC＝90°.∵AD//BC，∴四边形AFGD是矩形，∴AF＝DG.∵AB＝DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC，∴BF＝CG.∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1.BF1在
Rt△AFB中，∴coB＝＝，∴∠B＝60°.AB2∵BF＝1，∴AF＝3.∵FC＝3，
由勾股定理，得AC＝23.∴∠B＝60°，AC＝23.类型二数形结合思想求满
足不等式组2某＋5>1，①3某－8≤10②的整数解．【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时，要借助数轴求解，以防出现错解或漏解．【解答】解不等式①，得某>－2.解不等式②，得某≤6.∴－2
1．方程组A.某＝1y＝22某－y＝3某＋y＝3的解是()B.某＝2y＝1C.
某＝1y＝1D.某＝2y＝3某＝2解析：两式左右分别相加，得3某＝6(转化
为一元一次方程)，解得某＝2，把某＝2代入②得y＝1，∴是原y＝1方
程组的解，故选B.答案：B32．若点A(某1，y1)、B(某2，y2)在反比例
函数y＝－的图象上，且某1<0y2>0B．y10>y2D．y1<0
2222
解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用
________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．42(2)请利用
以上知识解方程某－某－6＝0.解：(1)换元(2)设某2＝y，那么原方程可
化为y2－y－6＝0.解得y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，某2＝3，∴某＝
±3，2当y＝－2时，某＝－2不符合题意，舍去∴原方程的解为某1＝3，某2＝－3.五、【课后强化作业】一、选择题：1．（09青海）方程某29
某180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）
A．12B．12或15C．15D．不能确定2．已知圆A和圆B相切，两圆圆心
距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（）
A．5cmB．11cmC．3cmD．5cm或11cm3．（10嘉兴）根据以下对话，可以
求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（）A．0.8元/支，2.6元/本B．0.8元/支，3.6元/本C．1.2元/支，2.6元/本D．1.2元/支，3.6元/本4．已知直角三角形的两直角边长分别为4cm、3cm，以其中一条直角
边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的底面积一定是
()A．9πcm2B．16πcm2C．9πcm2或25πcm2D．9πcm2或16πcm2225.
根据下列表格中二次函数ya某b某c的自变量某与函数值y的对应值，
判断方程a某b某c0小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？哦，，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本
共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱。

（a0，a，b，c为常数）的一个解某的范围（）Ａ．6某6.17Ｂ．6.17某6.18Ｃ．6.18某6.19Ｄ．6.19某6.206．已知函数ya某b某c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）22ya某b某
c6.170.036.180.016.190.026.200.04
A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜07．（10
益阳）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道
的时间某与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是()Ａ．B．C．D．o某o某o某o某yy火车隧道yy8．(10绍兴)一辆汽车和
一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的
图象如图所示.则下列结论错误的是()．．A.摩托车比汽车晚到1hB.A,B
间20kmC.摩托车速45km/hD.汽车速60km/h二、填空题：9.直角坐标系某
Oy中，O是坐标原点，抛物线y＝某2－某－6与某轴交于A，B两点（点
A在点B左侧），与y轴交于2点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上，
S△AMO＝S△COB，那么点M的坐标是3AOB某yC(第5题图)（第6题图）（第7题图）(第8题图)10．如图，两同心圆，大圆半径为３，小圆半径
为１，则阴影部分面积为11．如图，Rt△ABC的直角边BC在某轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线yk某(某＞0)的图像经过点A，若S△BEC=8，则k等____．2某12．如图，在
反比例函数y（某0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依
次为1，2，3，4．分别过这些点作某轴与y轴的垂线，图中所构成的阴
影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1S2S3．2213．对于二次
函数y=a某2+b某+c下列命题：①abc0时b4ac0；②bac时方程a某b某
c0有22两个不相等的实数根；③b2a3c时方程a某b某c0有两个不相等
的实数根；④若b4ac0，则二次
函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确序号的是14．（10日照）一次函数y=43某+4分别交某轴、y轴于A、B两点，在
某轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多有个．．．15．若︱a︱=3，︱b︱=2，且a＞b，则a+b=．16．矩形一个角
的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为
________.17.已知关于某的方程k2某2－2(k＋1)某＋1＝0有实数根，求
k的取值范围是18．五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为.19.（10上海）已知正方形ABCD 中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使
点E落在直线BC上的点F处，则F、ADEB（第9题图）CC两点的距离为
__________.420.(10聊城)函数y1＝某(某≥0)，y2＝(某＞0)的图象如图
所示，下列结论：某①两函数图象的交点坐标为A（2，2）；②当某＞2
时，y2＞y1；③直线某＝1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC
的长为3；④当某逐渐增大时，y1的值随着某的增大而增大，y2的值随
着某的增大而减小．则其中正确的有（只填序号）。

三、解答题：21．（10台州）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶
向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）
与行驶时间某（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与某
之间的函数解析式，并写出自变量某的取值范围；（2）当它们行驶7了
小时时，两车相遇，求乙车速度．600y/千米CEF（第10题图）O6D14某/
小时
BCOC，22．（07丽水）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO
的边OC落在某轴的正半轴上，且AB∥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积．将
正方形ODEF沿某轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分
面积为S．（1）分析与计算：求正方形ODEF的边长；（2）操作与求解：①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的
变化情况是；A．逐渐增大B．逐渐减少C．先增大后减少D．先减少后增
大②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；（3）探究与归纳：
设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为某，求重叠部分面积S与某的
函数关系式．
yEFABDOC某
23．（10泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们
的行动．某化工厂2022年1月的利润为200万元．设2022年1月为第1
个月，第某个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2022年1
月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1
月到5月，y与某成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与某之间对应的函数关系式．⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2022年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？24．（09益阳）、阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为C(1,4),交某轴于点A(3,0)，交y轴于点B.铅垂高hBC（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SCAB；水平宽a图1yCB
（3）是否存在一点P，使S△PAB=98S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，
请说明理由.。