江苏省苏州市五校2020届高三12月月考 数学文-含答案

江苏省苏州市五校2020届高三12月月考
数学（理）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．）
1.已知，，则▲ ．
2.若复数，则复数的模= ▲ ．
3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了
解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽
取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么=
▲ ．
4.函数的定义域是▲ ．
5.如右图所示的流程图的运行结果是▲ ．
6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现
从中任选2 名学生去参加校演讲比赛 ,则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是▲ ．
7.在平面直角坐标系中，直线为双曲线
的一条渐近线，则该双曲线的离心率为▲ ．
8.已知，，则的值为▲ ．
9.设公比不为1的等比数列满足,且成等差数列，则数列的前4项和
为▲ ．
10.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为▲ ．
11. 已知20a b >>，且1a b +=，则24
2a b b
+-的最小值为▲ ．
12.已知直线
与圆心为C 的圆
相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边
三角形，则实数＝▲ ．
13.已知平面向量a ，b ，c 满足
，，a ，b 的夹角等于，且()()0-⋅-=a c b c ，则c
的取值范围是▲ ． 14.关于x 的方程1
|ln |2
x a x +=
有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15. （本小题满分14分）
在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin 5A =
，1
tan()3
A B -=，角C 为钝角，5b =．
（1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．
16. （本小题满分14分）
如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形， 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．
（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；
C
B
C 1
B 1
A 1
A
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为2
，且过点(22P ．右焦点为F ． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设过右焦点为F 的直线与椭圆交于 AB 两点，且
，
求直线AB 的方程．
18．（本小题满分16分）
如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10和20，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=o ． （1）求BC 的长度；
（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为
,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？
19. （本小题满分16分）
已知数列{n a }、{n b }满足：1121
141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.
（1）证明：11n b ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（2）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．
A
B
D
C
P
βα
已知函数()ln x
f x x
=
． （1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为2x y a +=，求0x 的值； （2）当1x >时，求证：()ln f x x >；
（3）设函数()()ln F x f x b x =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结
论．
数 学（正卷）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1. 2. 3.40 4. 5.12 6. 7. 8.
9. 10.
11.14+ 12.4 13.
14.1
1ln 22
a -<<
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15.解：（1）因为角C 为钝角，3sin 5A =，所以4
cos 5
A ==，……2分 又1tan()3A
B -=，所以02
A B π
<-<， 且sin())
A B A B -=
-= ………………………4分
所以sin sin[()]sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---…………6分
3455=-=． ………………………8分
（2）因
为
s i n
10
s i n
a A
b B ==，且5b =，所
以
a =10分
又cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，……………12分
则222
2cos 902525(169c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以13c =． ……………………14分 16.证明：在菱形11BB C C 中，//
BC . ………………………2分
因为
平面11AB C ，
平面11AB C ，
所以 //BC 平面11AB C ． ……………6分
（2）连接
．
在正方形中，． 因为 平面平面， 平面平面，
平面
，
所以
平面． ………………………8分 因为 平面， 所以
． ……10分
在菱形中，． 因为
平面，
平面
，
，
所以
平面． ………12分 因为
平面
， 所以
． ………14分
17．（1
）解：因为e =
a =，
b =
c ， …………2分 C
B
C 1
B 1
A 1
A
设椭圆E 的方程为222212x y b b +=．将点P 的坐标代入得：213
144
b =+=，
………………………4分
所以，椭圆E 的方程为2
212
x y +=． …………………………6分 （2）因为右焦点为F （1,0），设直线AB 的方程为：1x my =+，
代入椭圆中并化简得：22
(2)210m y my ++-=， …………………………8分
设1122(,),(,)A x y B x y ，因为3AF FB =uu u r uu r
，所以1122(1,)3(1,)x y x y --=-，
即123y y =-， ……………………10分 所以1222222m y y y m +=-=-+，21222
1
32
y y y m ⋅=-=-+， 即222
13(
)22
m m m =++，解得2
1m =，所以1m =±，…………………………12分 所以直线AB 的方程为：10x y +-=或10x y --=． …………………14分 18．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =，
则2
2tan tan tan(2)1tan CAE
CAD CAE CAE ∠∠=∠=-
∠2
20
100
1x x ==-2分
2200x --
，解之得，x =
x =（舍）…………6分
答：BC
的长度为． ………………………………8分
（2）设BP t =
，则(0CP t t =<<，
tan()1+t αβ==-………………………10分
设()f t =
，()f t '=， 令()0f t '=
，因为0t <<
，得t =12分
当t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；
当t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，
所以，当t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，
………………………14分
因为22000+t --<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ
∈π+，
因为tan y x =在(,)2
π
π
上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．
答：当BP
为t =cm 时，αβ+取得最小值．………………16分 19.解：（1）∵11
(1)(1)(2)2n n n n n n n n
b b b a a b b b +===---＋，…………………2分
∴11112n n b b +-=
-- ∴1211
1111
n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列{
1
1
n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列．……………………4分 ∴
1
4(1)31
n n n b =---=--- ， ∴12
133
n n b n n +=-
=
++． ………………………6分 （2）∵1
13
n n a b n =-=
+． ……………………8分 ∴12231111114556(3)(4)444(4)
n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=
⨯⨯++++ ………………………10分
∴22(1)(36)8443(3)(4)
n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++． ………12分 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件， 设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+--，
当1a =时，()380f n n =--<恒成立, …………………………13分 当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．…………………………14分 当1a <时，对称轴3231
(1)02121
a a a --
⋅=--<--，f (n )在[1,)+∞为单调递减函数．
(1)(1)(36)84150f a a a =-+--=-<，
∴15
4
a <
，∴a <1时4n aS b <恒成立． ………………………………15分 综上知：1a ≤时，4n aS b <恒成立． …………………………16分
20．（1）解：2
ln 1
'()ln x f x x
-=
． ………………………………2分 所以过点00(,())x f x 的切线方程为2x y a +=，所以020
ln 1
2ln x x -=-，
解得0x 或01
x e
=
． ………………………………4分 （2）证明：即证2ln x x >，因为1x >
ln x >，
设()ln (1)g x x x =
>
，则12
'()2g x x x
=
-
=
． 令'()0g x =，解得4x =． ………………………………6分
所以 当4x =时，()g x 取得最小值2ln 40->． ………………………8分 所以当1x >时， ()ln f x x >． …………………………9分
（3）解：()0F x =等价于()ln 0f x b x -=，等价于21ln x
b x
=，0x >且1x ≠．
………………………10分
令2ln ()x H x x =，则22
2ln ln ()x x
H x x
-'=． 令22
2ln ln ()0x x H x x
-'==，得1x =或2
x e =，……………………11分
（I ）当0b ≤时， (
)0H x >，所以(
)H x 无零点，即F(x)
定义域内无零点
………………………13分
（II
）当214b e >即204e b <<时，若(0,1)x ∈，因为1
(1)0H b
=<，
21ln 11
(e H e
b
b
e
=
=⋅>
，所以在(0,1)只有一个零点， 而当1x >时，241
()H x e b
≤
<，所以F(x) 只有一个零点；……………………14分 （Ⅲ）当214b e =即24e b =时，由（II ）知在(0,1)只有一个零点，且当2x e =时，2241
()H e e b
==，
所以F(x)恰好有两个零点； ………………………………15分
（Ⅳ）当2140b e <<即24e b >时，由（II ）、（Ⅲ）知在(0,1)只有一个零点，在2
(1,)e 只有一个零点，
在2
(,)e +∞时，因为223
222ln 14()b b
b
b e b H e e b e
==⋅， 只要比较2b e 与34b 的大小，即只要比较2b 与ln 43ln b +的大小， 令()2ln 43ln T b b b =--，
因为3()2T b b '=-，因为214
0b e <<，所以22
3212()20e T b b e -'=->>， 所以2222
()()ln 43ln 62ln 404242e e e e T b T >=
--=-+>， 即2b
e >3
4b ，所以322141()b
b b H e b e b
=⋅<，即在2
(,)e +∞也只有一解，
所以F(x)有三个零点； ………………………………16分
综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0； 当2
e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；
当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2
e 4
b >时，函数F(x)的零点个数为3．。