数学-2019虹口高三数学二模
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =I A ．{}10x x x ><或 B ．{}12x x << C ．{|2}x x > D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >. 【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 12．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y=，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
虹口二模高三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x - 1)B. y = 1/xC. y = x^2D. y = log(x + 1)答案：C解析：选项A的定义域为x ≥ 1；选项B的定义域为x ≠ 0；选项C的定义域为全体实数；选项D的定义域为x > -1。
因此，选C。
2. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1 = 2，a3 = 8，则d =（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：由等差数列的性质，a3 = a1 + 2d，代入a1 = 2，a3 = 8，得 2 + 2d = 8，解得d = 3。
因此，选B。
3. 下列命题中，正确的是（）A. 函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上单调递减B. 若a > b > 0，则a^2 > b^2C. 等差数列{an}的通项公式为an = a1 + (n - 1)dD. 对于任意实数x，有x^2 ≥ 0答案：D解析：选项A错误，因为f(x) = x^2在区间[0, 1]上单调递增；选项B错误，因为a^2 > b^2当且仅当a > b；选项C正确，是等差数列的通项公式；选项D正确，因为任意实数的平方都大于等于0。
因此，选D。
4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a =（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：C解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c的对称轴为x = -b/(2a)，因为f(x)在x = 1时取得最小值，所以对称轴为x = 1，即-b/(2a) = 1，解得 a = -1。
因此，选C。
5. 下列函数中，在x = 0处连续的是（）A. y = |x|B. y = x^2C. y = x/(x - 1)D. y = 1/x答案：B解析：选项A在x = 0处不连续，因为|0| = 0，但左极限为0，右极限为0；选项B在x = 0处连续，因为x^2在x = 0处连续；选项C在x = 0处不连续，因为x/(x - 1)在x = 0处有间断点；选项D在x = 0处不连续，因为1/x在x = 0处有间断点。
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 2．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 3．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555aa a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题，每空填对得5分1. 函数()3cos21f x x =+的最小值为 . 【答案】2-【解析】cos2x 最小值为1-，()3cos21f x x =+最小值为2-.2. 函数()f x =的定义域为 . 【答案】(3,1- 【解析】1030x x -≥⎧⎨+>⎩，所以(]3,1x ∈-1030x x -≤⎧⎨+<⎩，所以不存在舍掉。
综上，(]3,1x ∈-3. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =ð . 【答案】()1,5-【解析】(][),15,A ∈-∞-⋃+∞，则()1,5U A ∈-ð.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动， 则周六没有同学参加活动的概率为 . 【答案】18【解析】周六没人参加，则三位同学均选择周日参加。
11112228P =⨯⨯=. 5. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称， 则(3)g = . 【答案】2【解析】23log (31)x =- 解得：2x =6. 设复数cos isin iz αα=（i 为虚数单位），若||z =，则tan2α= .【答案】1【解析】)i cos i sin z αα=⨯-⨯()cos cos sin i z ααα=+-⨯||z ==22222cos cos sin 2sin cos ααααα=++- 212cos 2sin cos ααα=- 22cos 12sin cos 0ααα--=cos2sin20αα-=cos2sin2αα= tan21α=.7.若25(ax 的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案】12-【解析】()5510252155rrrr r rr T C axC ax---+==Q另5100,2r -=则4r =4551,22C a a ∴=-=-8. 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =【解析】222cos 22b c a A bc +-==Q2=解得a =sin sin a cA C =Q8sin 2C =解得sin C =9. 已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r 的最大值为 【答案】16【解析】根据题意画出图，设(),P x y ，则()()3,2,32OA OP x y x y =-=-u u r u u u rg g ，另目标函数32z x y =-，联立方程组，当1y =时，6x =取最大值，max 36216z =⨯-=10. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（a >的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r，则椭圆C 的长轴长为【答案】2【解析】依据题意画出大致图像：1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u rQ ，即等价意思为1290F MF ︒∠=211tan3,22M F MF S b ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得： ()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=11. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为【解析】依据题意，做出大致图形，如下图：AD =Q222,PD PA AD ∴=+同样222,PB PA AB =+ 故PA AD PB AB ⊥⎧⎨⊥⎩PA ∴⊥地面ABC过点,E H 作矩形OHAE ，其中E 为重心，AE OH ==而,OP OA R ==则112PH PA ==根据勾股定理，R ==则34=3V R π=球12. 已知函数|51|1()811x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 【答案】845a <<依据题意，作出大致图像，如下图：设(),f t t =若()f t a =，解两段函数的方程：1o 若1a >，则()1551,log 1,x a x a -==+288,11a x x a==-+； 则要确保5个解，即在1y =的下方有3个交点，在1y =的上方有2个交点，如下图：故需满足：()50log 11,04,a a <+<∴<<88114,4,5a a <-<∴<< 由此可得：14a <<2o 若01a <<，则()()()152538log 1,log 10,1,11x a x a x a=-=+∈=-> 则()()5log 1,f x a =-，此时无解；()()5log 1,f x a =+显然有3个交点，故()8811,4,45a a -∈∴<< 由此可知，这种情况下，无交集，故不符合； 综上，实数的取值范围为：845a << 二. 选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：414. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ） 【A 】32 【B 】36 【C 】40 【D 】48【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥，该几何体的表面积()134543445322S =⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B 15. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）【A 】14(2,]3 【B 】14[2,)3 【C 】 10[,4)3 【D 】 10(,6]3【答案】D【解析】依题意得，()10,sin 62f x x πω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，画出大致图像，如下图：若2B x π=，则11110sin ,,2622663πππππωωω⎛⎫⋅+=-⋅+== ⎪⎝⎭ 若2C x π=，则3,6266πππωπω⋅+=+=又因为(0,)2π上是左右两端的开区间，故1063ω<≤，则答案选：D 16. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）【A 】 16 【B 】12 【C 】 8 【D 】 6 【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以()431121311q q q q q--++=⨯--，化简整理得：()()()2232221131,2,2q q q q q q q q ++++=⨯++==，则12n n a +=，又因为i ma 、mn 、j na 成等差数列，则11222,422i j i j mn m n mn m n --=⋅+⋅=⋅+⋅，则min22244i j i j mn m n +⎛⎫=+≥≥ ⎪⎝⎭，又因为1i j <<则另2,3i j ==，使得5284mn ≥=，故答案：选C 三. 解答题（本大题共5题，满分76分）yxzF PD CBAEHG17. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB ==2=，设E 、F 、G 分别为PC 、PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图. （1）求证：FH ∥平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）略；（2）FH 与平面PBC 所成角的大小为15sin15arc 【解析】(1)因,,,,E F G PC BC CD 分别为的中点，故//,//.EF PB EG PD 从而//,//.EF PBD EG PBD 平面平面 …… 2分又,,,EF EG EFG EF EG E ⊂⋂=≠平面且故//.EFG PBD 平面平面 …… 4分 由,FH EFG ⊂≠平面得//.FH PBD 平面 …… 6分 （2）以A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0),A(1,0,0),B (1,2,0),(0,2,0),(0,0,2),C D P11131(,1,1),(1,1,0),(,2,0),(,,).22222E F G H 于是111(,,).222FH =-u u u r ……8分设面PBC 的一个法向量为(,,),n x y z =r则(,,)(1,0,2)202,0.(,,)(0,2,0)20n PB x y z x z x z y n BC x y z y ⎧⋅=⋅-=-==⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⋅==⎩⎪⎩r u u u r r u u ur 取=1,(2,0,1).z n =r 得……11分 设FH PBC 与平面所成的角为,θ则1152sin cos ,.1352FH n FH n FH n θ-⋅=<>===⋅⋅u u u r r u u u r r u u ur r 故FH PBC 与平面所成角的大小为15sin .arc …… 14分18. 已知函数4()31x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.【答案】（1）2a ≠时，函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；2a =时，函数()f x 是奇函数；（2）max 3u =.【解析】（1） 因当2a ≠时， (1)1,(1)3,f a f a =--=-（第19题图）（第19题图）故(1)(1),(1)(1),f f f f -≠-≠-且于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数. …… 3分 当2a =时， 44()()2240,3131x x f x f x a a -+-=--=-=++即()();f x f x -=- 故此时函数()f x 是奇函数. …… 6分 （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知2a =，从而4()2.31xf x =-+ 由不等式(),3x u f x ≥得4323,31x xx u ⋅≤⋅-+ …… 8分令[][]314,244(1,5),x t x +=∈∈因故4(1)22(1)2() 6.t u t t t t-≤--=+-由于函数[]2()2()64,244t t t ϕ=+-在单调递增，所以min ()(4)3;t ϕϕ== …… 12分因此，当不等式[]()1,53x uf x x ≥∈在上恒成立时， max 3.u = …… 14分 19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H ”型图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形得面积为S 。
上海市虹口区2019学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷(文科
虹口区2019学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷（文科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}2≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x xB ，则=⋂B A ．2、数列{}n a 的前n 项和32-+=n n S n ，则通项公式=n a ．3、直线05=+-y x 被圆044222=---+y x y x 所截得的弦长等于 ． 4、各项都为正数的等比数列{}n a 中，11=a ，)11(273232a a a a +=+，则通项公式=n a ．5、以O 为起点作向量，，终点分别为A ，B ．2=5=，6-=⋅，则A O B∆的面积等于 ．6、过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若10=AB ，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．7、若P ，Q 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 的三等分点，则=∠PCQ tan ．8、不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9、执行如下程序框图，输出的=T ．第9题10、实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+122x x y y x ，则目标函数y x z -=3的最小值为 ．11、从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，则和为偶数的概率为 ．12、关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a ． 13、公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．14、定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 ．二、选择题（每小题4分，满分16分）15、给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ ）.A 充要条件 .B 充分非必要条件 .C 必要非充分条件 .D 既非充分又非必要条件16、如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根，则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是（ ）.A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±17、已知：函数⎩⎨⎧>+-≤<=)9(11)90(log )(3x x x xx f ，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ⋅⋅的取值范围是（ ） .A )9,0( .B )9,2( .C )11,9( .D )11,2(18、已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n的最小值为（ ） .A 8 .B 7 .C 6 .D 5三、解答题（满分78分） 19、（本题满分14分）已知：四棱锥ABCD P -，底面ABCD 是边长为2的菱形，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，︒=∠60ABC ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． （1）求四棱锥ABCD P -的体积； （2）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．20、（本题满分14分） 已知：函数x x x p x f ωωω2cos cos sin )(-⋅=)0,0(>>ωp 的最大值为21，最小正周期为2π． （1）求：p ，ω的值，)(x f 的解析式；（2）若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A 的取值范围及函数)(A f 的值域．21、（本题满分14分）数列{}n a 中，0>n a ，1≠n a ，且1231+=+n n n a a a （*∈N n ）．（1）证明：1+≠n n a a ； （2）若431=a ，计算2a ，3a ，4a 的值，并求出数列{}n a 的通项公式．F D C EB A P22、（本题满分18分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（3）对于)0,1(-D ，是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，且DQ DP =？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊆],[，同时满足： ①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”．（1）证明：]1,0[是函数2)(x x f y ==的一个“和谐区间”． （2）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （3）已知：函数xa x a a x h y 221)()(-+==（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，求出m n -的最大值．虹口区2019学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷答案（文科）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、{}12<≤-x x ； 2、⎩⎨⎧≥=-)2(2)1(1n n n ； 3、2； 4、13-n ；5、4；6、4；7、43； 8、3<a ； 9、30； 10、34； 11、52； 12、3； 13、16； 14、1 二、选择题（每小题4分，满分16分）15、B ； 16、D ； 17、C ； 18、B ； 三、解答题（满分78分） 19、(14分)（1）334=-ABCD P V …………6分 （2）PB EF // ，⊥PA 平面ABCD ，∴PBA ∠等于FE 与平面ABCD 所成的角．……10分 得直线EF 与平面ABCD 所成角大小为4π………………14分20、（14分）（1）21)1arctan 2sin(21212cos 212sin 2)(2--+=--=p x p x x p x f ωωω， 由222πωπ=，得2=ω………………2分 由2121212=-+p 及0>p ，得3=p ………………4分 ∴21)64sin()(--=πx x f …………6分 （2）212222cos 22222=-≥-+=-+=bc bc bc bc bc c b bc a c b A ．…………8分 A 为三角形内角，所以30π≤<A ………………10分67646πππ≤-<-∴A ，1)64sin(21≤-≤-πA ，21)(1≤≤-∴A f …………14分 21、（14分）（1）若1+=n n a a ，即n n na a a =+123，得0=n a 或1=n a 与题设矛盾， ∴1+≠n n a a ……………………6分FDCEBAP（2）1092=a ，28273=a ，82814=a …………8分（错一个扣1分，错2个全扣） 解法一：用数学归纳法，先猜想133+=n nn a ，…………10分再用数学归纳法证明．…………14分 解法二：，由32)1(3111+=+n n a a ，得)11(31111-=-+nn a a ， ∴数列}11{-n a 是首项为31111=-a ，公比为31的等比数列，………………12分nn a )31(11=-∴，得133+=n n n a …………14分22、（18分）（1）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分 （2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ……………………8分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），(若没舍去扣1分) 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ……………………11分（3）记),(11y x P ，),(22y x Q ，将2+=kx y 代入1322=+y x ， 得0912)13(22=+++kx x k （*），1x ，2x 是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则1362221+-=+=k k x x x M ，13222+=+=k kx y M M …………15分由DQ DP =，得PQ DM ⊥，kk k k x y k M M DM11136132122-=+++=+=∴ 01432=+-∴k k ，得1=k 或31=k ． 但1=k ，31=k 均使方程（*）没有两相异实根，∴满足条件的k 不存在．…………18分 23、（18分）（1）2x y = 在区间]1,0[上单调递增．………………2分 又0)0(=f ，1)1(=f ，∴值域为]1,0[，∴区间]1,0[是2)(x x f y ==的一个“和谐区间”．…………4分（2）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或),0(],[∞+⊆n m ，故函数xy 53-=在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩⎨⎧==n n g mm g )()(……………8分故m 、n 是方程x x=-53的同号的相异实数根． 0532=+-x x 无实数根，∴函数xy 53-=不存在“和谐区间”．………………10分（3）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或),0(],[∞+⊆n m ，故函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩⎨⎧==nn h mm h )()(……………14分故m 、n 是方程x xa a a =-+211，即01)(22=++-x a a x a 的同号的相异实数根． 012>=amn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ，即1>a 或3-<a 时，已知函数有“和谐区间”],[n m ，34)311(34)(22+--=-+=-a mn m n m n ，∴当3=a 时，m n -取最大值332………………18分。
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2. 点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e【答案】C 【解析】 【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e ⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e . 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.5．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 【答案】A 【解析】 【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是 “任意0m >，使方程20x x m +-=无实根”. 故选：A 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.6．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义在()0,∞+上的增函数及()()f x f x '有意义可得()0f x '>，构建新函数()()f xg x x=，利用导数可得()g x 为()0,∞+上的增函数，从而可得正确的选项. 【详解】因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，故()0f x '≥.又()()f x f x '有意义，故()0f x '≠，故()0f x '>，所以()()f x f x x <'.令()()f xg x x =，则()()()20'-'=>xf x f x g x x， 故()g x 在()0,∞+上为增函数，所以()()32g g >即()()3232f f >， 整理得到()()2332f f >. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.7．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知： 令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ；令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以 241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.8．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 9．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系. 【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行； 当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行. 所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件， 当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.10．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.11．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ） A ．1a = B ．01a << C ．23a << D ．12a <<【答案】D 【解析】 【分析】由题设中所给的定义，方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致范围 【详解】解：由题意方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，对于函数()g x lnx =，由于1()g x x'=，1lnx x∴=， 设1()h x lnx x=-，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， ()122202h ln ln =-=->， ()h x ∴在(1,2)上有零点，故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a << 故选：D ． 【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..12．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，设P为ABC∆内一点，且1134 APAB AC=+u u u v u u u v u u u v，则ABP∆与ABC∆的面积之比为A．14B．13C．23D．16【答案】A【解析】【分析】作//PD AC交AB于点D，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADPS∆与ABCS∆的比例，再由ADPS∆与APBS∆的比例，可得到结果.【详解】如图，作//PD AC交AB于点D，则AP AD DP=+u u u r u u u r u u u r，由题意，13AD AB=u u u r u u u r，14DP AC=u u u r u u u r，且180ADP CAB∠+∠=o，所以11111||||sin||||sin223412ADP ABCS AD DP ADP AB AC CAB S∆∆=∠=⨯⨯∠=又13AD AB=u u u r u u u r，所以，134APB ADP ABCS S S∆∆∆==，即14APBABCSS∆∆=，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.2．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A ∪B=B 【答案】C 【解析】试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系3．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.4．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B. 【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.5．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B. 【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A ．623+B ．622+C ．442+D ．43+【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC ，正方体的棱长为2， 该几何体的表面积：111122222222224422222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 故选C ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．7．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.8．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==，得a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解. 9．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ， 2018212a a ∴==， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 10．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．0D ．【答案】B 【解析】 【分析】())2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.【详解】由已知，2()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++)2,4x π=++又44x ππ-≤≤，32444x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4πx =-时，min ()1f x =.故选：B. 【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.11．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r，则（ ）A ．a r∥b rB ．a r⊥b rC ．a r∥(a b -rr)D ．a r⊥( a b -rr)【解析】 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】∵向量a =r（1，﹣2），b =r（3，﹣1），∴a r和b r的坐标对应不成比例，故a r、b r不平行，故排除A ； 显然，a r •b =r3+2≠0，故a r、b r不垂直，故排除B ；∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；∴a r•（a b -rr）＝﹣2+2＝0，故 a r⊥（a b -rr），故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.12．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直” 则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
经典资料2021届上海市虹口区高三二模数学试题及答案
的大小 .
【答案】（ 1）
2019 届上海市虹口区高三二模数学试题
一、单选题 1．已知 、 是两个不同平面， 为 内的一条直线，则 “ ∥ ”是 “ ∥ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【】 m∥ β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质
________
【答案】 【】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．
由三视图的数据
由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图
:
由三视图可知：底面的底和高均为 2，棱锥的高为 2，
故底面 S
2×2
故棱锥的体积 V Sh
故选： B．
【】
本题考查充分必要条件的判断和线面、 面面平行的定义及性质的应用， 解题的关键是熟
练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．
2．钝角三角形 A． 1 【答案】 C
的面积是 ， B． 2
，
，则 等于（
C．
） D． 5
【】 由三角形的面积公式求得角 B，再由余弦定理求得 AC 的值．
，
cos∠ APC
，∴ cos∠ APB＝ 2（ ） 2﹣1＝ 1
，
∴?
（ PC2﹣ 1） ×（1
）＝﹣ 3+PC2
3+2
3+2 ，
当且仅当 PC
时取等号，
∴
的最小值为 2 3．
故答案为： 2 3． 【】
本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，
上海虹口区2019年高三下学期二模-数学(文)
上海虹口区2019年高三下学期二模-数学（文）上海市虹口区 2018届高三下学期二模数学〔文〕试题【一】填空题〔每题4分，总分值56分〕1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，那么k 的取值范围是、2、复数ii z +-=1)1(3，那么=z 、3、31cos sin sin cos =ββαα，那么=+)(2cos βα、 4、设nx )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，那么=+-∞→nn nn n b a b a lim、5、双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，那么此双曲线方程为、6、如果14log -=b a ，那么b a +的最小值为、7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，那么=13S 、 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，那么21PF F ∆的面积等于、9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是、10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，那么实数a 的取值范围是、 11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+，那么ABC ∆面积等于、 12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于、13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，那么在)2013,1(内所有“希望数”的个数为、14、函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，那么实数a 的取值范围是、 【二】选择题〔每题5分，总分值20分〕15、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，那么目标函数y x f 2+=的最大值是〔〕.A 1.B 5.C 7.D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有〔〕条、.A 1、.B 2、.C 3、.D 4、17、函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，假设在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M.A π6.B π7.C π12.D π1318、假设22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，那么)cos(βα+值为〔〕、 .A 1-.B 0.C 21.D 1 【三】解答题〔总分值74分〕 19、〔此题总分值12分〕如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点、〔1〕求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； 〔2〕求四棱锥ABED P -的侧面积、 20、〔此题总分值14分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅、〔1〕求角B ；〔2〕假设a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积、21、〔此题总分值14分〕复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11、D〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211、22、〔此题总分值16分〕抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B 、〔1〕当直线过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；〔2〕当p y y -=21时，直线是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由； 〔3〕记)0,(p N ，如果直线过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q 、问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？假设存在，求出这条直线和这个定点；假设不存在，请说明理由、23、〔此题总分值18分〕定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，那么称此函数在区间I 上是“凸函数”、 〔1〕判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； 〔2〕如果函数xax x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； 〔3〕对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f nn+++≥+++ 、 参考答案【一】填空题〔每题4分，总分值56分〕 1、)21,(∞-；2、2；3、97-；4、1-；5、12822=-y x ； 6、1；7、7；8、1；9、74；10、]3,1[-； 11、23；12、322；13、9；14、07≤<-a 或2=a ； 【二】选择题〔每题5分，总分值20分〕15、C ；16、D ；17、A ；18、D ； 【三】解答题〔总分值74分〕 19、(12分)解：〔1〕取AD 的中点F ，连EF 、PF 、AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小、……2分由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF 、………………5分 ∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos、………………6分 〔2〕 ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S 、 BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S 、 …………………………9分 连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++、………………12分 20、〔14分〕解：〔1〕 1=⋅n m ，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分〔2〕 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a 、又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos 2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224 (10)分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形、……12分∴3sin 21==∆B ac S 、………………14分 21、〔14分〕解：〔1〕 i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b 、D由iz z z n n n 221++=+得ib a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n 、……………………6分 〔2〕由〔1〕知13-=n n a ，12-=n b n 、①i n i b b b a a a z z z nn n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( 、……10分 ②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n 〔Ⅰ〕 将〔Ⅰ〕式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n 〔Ⅱ〕 将〔Ⅰ〕减〔Ⅱ〕得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n 、)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、〔16分〕解：〔1〕过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k 〔假设0=k 时不合题意〕，由⎩⎨⎧=+=px y p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅、………………4分注：此题可设p my x l -=:，以下同、〔2〕当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k 〔假设0=k 时不合题意〕、由⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22得0222=+-pb py ky 、p k pb y y -==∴221，从而2kb -=、………………6分 假设直线过定点),(00y x ，那么b kx y +=00，从而200k kx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(、………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(、 综上所述，当p y y -=21时，直线过定点)0,21(、………………10分〔3〕依题意直线的斜率存在且不为零，由〔1〕得点P 的纵坐标为kp y y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p k p x P -=2，即),(2kpp k pP -、…………12分 设),(y x Q ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p k p x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等、…………16分23、〔18分〕解：〔1〕设1x ，2x 是任意两个实数，那么有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+、 ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”、………………4分 〔2〕假设对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分假设21x x =，a 可以取任意值、 假设21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a 、 综上所述得8-≤a 、………………10分 〔3〕当1=k 时由得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立、 假设当mk =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立、 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m 、 即1+=m k 时，不等式也成立、根据数学归纳法原理不等式得证、………………18分。
上海虹口区2019年高三4月教学质量监控测(二模)(数学文)
上海虹口区2019年高三4月教学质量监控测（二模）（数学文）教学质量监控测试卷〔文科〕〔时间120分钟，总分值150分〕 【一】填空题〔每题4分，总分值56分〕1、集合{}0)2)(5(<-+=x x x M ，{}51≤≤=x x N ，那么=⋂N M 、2、设i z -=1〔i 为虚数单位〕，那么=+22z z、3、假设非零向量、，满足=，且0)2(=⋅+b b a ，那么与的夹角大小为 、 4、椭圆15222=+t y tx 的焦点为)6,0(±，那么实数=t 、5、假设等比数列{}na满足n n n a a 91=⋅+，那么公比=q 、6、一平面截一球得到直径为2的圆面，球心到这平面的距离为3，那么该球的体积是 、 7、如果n xx )1(+展开式中，第4项与第6项的系数相等，那么该展开式中，常数项的值是 、8、在同一平面直角坐标系中，函数)(x g y =的图像与x y 3=的图像关于直线x y =对称，而函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像关于y 轴对称，假设1)(-=a f ，那么a 的值是 9、在约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+00062062y x y x y x 下，目标函数y x z -=2的最大值为 、10、执行如下图的程序框图，假设输入A 的值为2，那么输出的P 值是 、 11、从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，那么b a < 的概率等于 、12、在ABC ∆中，边2=BC ，3=AB ，那么角C 的取值范围是 、13、函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0404)(22x xx x x x x f ，那么不等式5)(->x f 的解集是 、1A A14、R b a ∈,，b a >且1=ab ，那么ba b a -+22的最小值等于 、【二】选择题〔每题5分，总分值20分〕题A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是〔〕.A 0.B 1.C 2.D 316、右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA 垂直于底面，它的三视图正确的选项是〔〕 17、P 为双曲线11222=-y x 上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，假设2:3:21=PF PF ，那么21F PF ∆的面积是〔〕 .A 36.B 312.C 12.D 2418、等差数列{}na中，如果存在正整数k 和l 〔l k ≠〕，使得前k 项和lk Sk=，前l 项和kl S l =，那么〔〕 .A 4>+l k S .B 4=+l k S .C 4<+l k S .D l k S +与4的大小关系不确定【三】解答题〔总分值74分〕19、〔此题总分值12分〕在长方体1111D C B A ABCD -中，6==BC AB ，用过1A ，B ，1C 三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体111D C A ABCD -的体积为120、〔1〕求棱1AA 的长；〔2〕假设O 为11C A 的中点，求异面直线BO 与11D A 所成角的大小、20、〔此题总分值12分〕nm x f ⋅=)(，)1,cos 2(x =，)2sin 3,cos (x x =)(R x ∈、〔1〕求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； 〔2〕在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 对边，假设2)(=A f ，1=b ，ABC ∆面积为2，x求：边a 的长及ABC ∆的外接圆半径R 、21、〔此题总分值14分〕：函数b ax ax x g ++-=12)(2)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数xx g x f )()(=、〔1〕求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；〔2〕假设不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围； 22、〔此题总分值18分〕：曲线C 上任意一点到点)0,1(F 的距离与到直线1-=x 的距离相等、〔1〕求曲线C 的方程； 〔2〕过点)0,1(F 作直线交曲线C 于M ，N 两点，假设MN 长为316，求直线MN 的方程；〔3〕设O 为坐标原点，如果直线)1(-=x k y 交曲线C 于A 、B 两点，是否存在实数k ，使得0=⋅OB OA ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，说明理由、23、〔此题总分值18分〕如图，平面直角坐标系中，射线x y =〔0≥x 〕和0=y 〔0≥x 〕上分别依次有点1A 、2A ，……，n A ，……，和点1B ，2B ，……，n B ……，其中)1,1(1A ，)0,1(1B ，)0,2(2B 、且21+=-n n OA OA ，nn n n B B B B 1121-+=4,3,2(=n ……〕、 〔1〕用n 表示nOA 及点nA 的坐标；〔2〕用n 表示1+n n B B 及点nB 的坐标；〔3〕写出四边形nn n n B B A A 11++的面积关于n 的表达式)(n S )(n S 的最大值、虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷答案〔文科〕【一】填空题〔每题4分，总分值56分〕 1、{}21<≤x x ；2、i -1；3、︒120；4、2，3；5、3；6、31040π；7、70；8、31-；9、6； 10、4；11、61；12、]3,0(π；13、),1(∞+-；14、22【二】选择题〔每题5分，总分值20分〕 15、C ；16、B ；17、C ；18、A ； 【三】解答题〔总分值74分〕 19、〔12分〕〔1〕设h AA =1，12062131622=⋅⋅⋅-⋅=h h V ∴41==h AA …………6分〔2〕 11//D A BC ，∴OBC ∠是所求异面直线所成的角…………8分在OBC ∆中，34)23(422=+==OC OB ，6=BC ，∴34343arccos=∠OBC …………12分20、〔12分〕〔1〕1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f …………2分π=T ………………3分单调递增区间]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈……………4分〔2〕21)62sin(2)(=++=πA A f ，由21)62sin(=+πA ，得3π=A …………6分2333sin 121=⨯⨯⨯πc ，∴6=c …………8分31216126122=⨯⨯⨯-+=a …………10分3sin31sin 2π==AaR ，∴393=R …………12分 21、〔14分〕〔1〕b ax ax x g ++-=12)(2，由题意得：︒1⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=>413)3(11)2(0b a g b g a 得⎩⎨⎧==01b a ，或︒2⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=<113)3(41)2(0b a g b g a 得⎩⎨⎧>=-=131b a 〔舍去〕 ∴1=a ，0=b …………6分12)(2+-=x x x g ，21)(-+=xx x f …………7分 〔2〕不等式02)2(≥⋅-x x k f ，即xx xk 22212⋅≥-+，∴1)21(2)21(2+⋅-≤x x k ……10分设]2,21[21∈=x t ，∴2)1(-≤t k ， 0)1(min 2=-t ，∴0≤k …………14分 22、〔18分〕〔1〕x y 42=…………4分〔2〕当直线MN 的斜率不存在时，不合题意。
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上海市虹口区2019届高三二模数学试卷
2019.4
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设全集U =R ，若{||3|1}A x x =->，则U A =
2. 若复数i(2i)z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =
3. 已知1cos 3
θ=，θ在第四象限，则cos()2πθ+= 4. 行列式20194
9sin cos 5sin cos 23
πθ
θπ
π-的元素π的代数余子式的值等于 5. 5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率为
6. 已知1F 、2F 是椭圆22
:13627
x y C +=的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，1||8PF =，若M 为线段1PF 的中点，则线段OM 的长为
7. 若函数()||4f x x x a =--（a ∈R ）有3个零点，则实数a 的取值范围是
8. 若函数3()log (91)x f x kx =++（k ∈R ）为偶函数，则k 的值为
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
10. 在平面直角坐标系xOy 中，边长为1的正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ，如图所示，双曲线Γ是以C 、F 为焦点的，且经过正六边形的顶点A 、B 、D 、E ，则双曲线Γ的方程为
11. 若函数20()(1)(2)0
x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为
12. 过点1
(,2)2P -作圆224:()(1)13
C x m y m -+-+=（m ∈R ）的切线，切点分别为A 、 B ，则PA PB ⋅的最小值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知α、β是两个不同平面，m 为α内的一条直线，则“m ∥β”是“α∥β”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
14. 钝角三角形ABC 的面积是12
，1AB =，2BC =AC 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 5
15. 已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交
于A 、B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（ ）
A. 20y -=
B. 40x y -+=
C. 20x y +-=
D. 32130x y +-=
16. 已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n ∈N ， 均有13n n A S B S ≤-
≤恒成立，则B A -的最小值为（ ） A. 72 B. 94 C. 114
D. 136 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知函数()log (93)x a f x =-（0a >，1a ≠）.
（1）若函数()f x 的反函数是其本身，求a 的值；
（2）当14
a =
时，求函数()()y f x f x =+-的最小值.
18. 如图，在多面体111ABCA B C 中，1AA 、1BB 、1CC 均垂直于平面ABC ，14AA =，13CC =，
12BB AB AC ===，120BAC ∠=︒.
（1）求1AB 与111A B C 所成角的大小；
（2）求二面角111A A B C --的大小.
19. 如图，一块长方形区域ABCD ，1AB =，2AD =，在边AD 的中点O 处有一个可转动 的探照灯，其照射角EOF ∠始终为
4π，设AOE α∠=，探照灯照射在长方形ABCD 内部 区域的面积为S .
（1）求S 关于α的函数关系式；
（2）当04πα≤≤
时，求S 的最大值.
20. 设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.
（1）若2AF FB =，求此时直线l 的方程；
（2）若与直线l 垂直的直线1l 过点F ，且与抛物线C 相交于点M 、N ，设线段AB 、MN 的中点分别为P 、Q ，如图1，求证：直线PQ 过定点；
（3）设抛物线C 上的点S 、T 在其准线上的射影分别为1S 、1T ，
若△11S T F 的面积是△STF 的面积的两倍，如图2，求线段ST 中点的轨迹方程.
21. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，21n n n a S S -=+（*n ∈N ，
2n ≥），数列{}n b 满足(1)2122
n n n b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（*n ∈N ）. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）设1
112n n a n n c a a +=-⋅，n T 是{}n c 的前n 项和，求正整数m ，使得对任意的*n ∈N ， 均有m n T T ≥；
（3）设1122{|n n B x x k b k b k b ==++⋅⋅⋅+，且0x >，其中12,,,{1,1}}n k k k ⋅⋅⋅∈-（*n ∈N ，2n ≥），求集合B 中所有元素的和.
参考答案
一. 填空题
1. [2,4]
2. 12i -
3.
22 4. 7 5. 1516
6. 2
7. (4,)+∞
8. 1a =-
9. 43 10. 22
1233
=- 11. 1- 12. 223
二. 选择题
13. B 14. C 15. D 16. B
三. 解答题
17.（1）3a =；（2）3-
18.（1）15arcsin 5
；（2）10arccos 5 19.（1）[0,)4π
α∈，tan 11tan()224
S απα=---； [,)42
ππα∈，111()32tan tan()4
S παα=+-； 3[,]24ππα∈，1131tan()tan()2224
S ππαα=----； （2）1
22(1tan )2221tan S αα
=-++≤+20.（1）22(1)y x =±-；（2）(3,0)；（3）22(2)y x =-
21.（1）n a n =，2n n b =；（2）1121
n n T n =-
++，4m =；（3）0。