2014版高考数学(文)一轮总复习第15讲导数的概念及运算同步测控新人教A版

第三单元 导数及其应用
第15讲 导数的概念及运算
1.已知函数f (x )＝－x 2
＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋Δx D ．(Δx 2
)－2·Δx
2.下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x )′＝3x
log 3e; ②(log 2x )′＝1
x ·ln2
； ③(e x )′＝e x;
④(1ln x )′＝x ；
⑤(x ·e x )′＝e x
＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝13t 3－32
t 2
＋2t ，那么速度
为零的时刻是( )
A ．0 s 末
B ．1 s 末
C ．2 s 末
D ．1 s 末和2 s 末
4.(2011·山东卷)曲线y ＝x 3
＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15
5.(2011·湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )
A ．－12 B.1
2
C ．－
22 D.22
6.(2012·全国新课标卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为
________________．
7.求下列函数的导数： (1)y ＝3－4x 2＋3x
；
(2)y ＝(x 2
－1)sin x ＋x cos x ； (3)y ＝1＋sin x 1－cos x ；
(4)y ＝
x ＋1
5
x 2
.
1.已知f (x )＝x 2
＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)的值为( ) A ．0 B ．－2 C ．2 D ．－4
2.若点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 3.已知曲线C ：y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4.
(1)求曲线C 上切点的横坐标为1的切线l 的方程；
(2)第(1)问中的切线l 与曲线C 是否还有其他公共点？如果有，请求出交点坐标．
第15讲 巩固练习
1．B 解析：因为f (2)＝0，
f (2＋Δx )－f (2)＝－2Δx －(Δx )2，
所以f ＋Δx －f ＋Δx －2
＝－2－Δx .故选B.
2．B 解析：求导运算正确的有②③，2个，故选B.
3．D 解析：因为s ＝13t 3－32
t 2＋2t ，所以v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0，得t 2
－3t ＋
2＝0，解得t 1＝1，t 2＝2.
4．C 解析：切线斜率k 切＝y ′|x ＝1＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，当x ＝0时，y ＝9.
5．B 解析：y ′＝cos x
x ＋cos x －sin x
x －sin x
x ＋cos x
2
＝
1
x ＋cos x
2
，
所以y ′|x ＝π
4＝
1π4＋cos π4
2
＝12. 6．y ＝2x ＋3
解析：y ′＝cos x ＋e x
，所以在x ＝0处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝e 0
＋cos0＝2. 又切点坐标为(0,3)，所以切线方程为y ＝2x ＋3. 7．解析：(1)y ′＝3－4x ′2＋3x －3－4x
2＋3x ′
2＋3x 2
＝－4
2＋3x －3
3－4x
2＋3x
2
＝－172＋3x
2
.
(2)y ′＝[(x 2
－1)sin x ]′＋(x cos x )′ ＝(x 2
－1)′sin x ＋(x 2
－1)cos x ＋cos x －x sin x ＝2x sin x ＋(x 2
－1)cos x －x sin x ＋cos x ＝x sin x ＋x 2
cos x .
(3)y ′＝cos x 1－cos x －1＋sin x
sin x
1－cos x 2
＝
cos x －sin x －1
－cos x
2.
(4)因为y ＝
x ＋1
x 25
＝x 35＋x －25， 所以y ′＝(x 35)′＋(x －25)′＝35x －25－25x －7
5
.
提升能力
1．D 解析：由f (x )＝x 2
＋2x ·f ′(1)， 知f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，
所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，得f ′(1)＝－2，
f ′(0)＝2×0＋2f ′(1)，得f ′(0)＝－4，故选D.
2. 2
解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线，且其与曲线y ＝x 2
－ln x 相切，斜率设为k ，y ′＝
2x －1x
.
设P (x 0，x 2
0－ln x 0)，则有k ＝2x 0－1x 0，所以2x 0－1x 0＝1，所以x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．
所以P (1,1)，所以所求距离d ＝|1－1－2|
1＋1
＝ 2.
3．解析：(1)把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4，所以切点为(1，－4)， 又y ′＝12x 3
－6x 2
－18x ，所以切线l 的斜率为k ＝12－6－18＝－12. 所以切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4y ＝－12x ＋8，
得3x 4
－2x 3
－9x 2
＋12x －4＝0， 即(x －1)2
(x ＋2)(3x －2)＝0， 所以x ＝1，－2，23.
代入y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4，
求得y ＝－4,32,0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(2
3，0)，
故切线l 与曲线C 除切点外，还有两个交点(－2,32)，(2
3，0)．。