2020届吉林省长春市高三上学期期末五校联考数学（文）试题
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③令 ,则 , , ,
∴ ,∴ ,∴ .
∵ , , ,∴ 且 ,∴ .
设 ,则 ,
又∵ ,∴ ,故③正确;
④ ,∵ , ,∴ .
∵ ,∴ ,又 ,∴ ,
解方程组 ,得 ,故④正确.
故选: .
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和不等式的基本性质,考查了转化思想和方程思想,属中档题.
二、填空题
13．若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则该数列中最接近于零的是第__________项．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用不等式的可加性，即得解.
【详解】
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用不等式的可加性求代数式的范围，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.
3．若 ，则下列不等式中恒成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据 ,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项.
A．8B． C．16D．
【答案】B
【解析】利用均值不等式， 即得解.
【详解】
因为 ，
当且仅当 时等号成立，
，
所以 .故xy的最大值是 .
故选：B
【点睛】
本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化化归，数学运算能力，属于基础题.
8．若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知可得数列的通项公式，令通项等于0，解得 的估计值．
【详解】
据题意，得 ，
令 ，得到 ，又 ，
∴该数列最接近于零的是第 项.
故答案为：8.
【点睛】
本题题考查等差数列的通项公式，考查了分析问题解决问题的能力，属基础题．
14．若函数 ，则不等式 的解集是__________．
【答案】
【详解】
由题意项数为奇数，∴奇数项之和减去首项后，除以偶数项之和，可得公比，
则 ，
∴等比数列前 项和 .
故选： .
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了等比数列中奇偶项的关系，是中档题．
11．函数 的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对f(x)求导,判断其单调性,然后结合 时, , 时, 选出正确答案.
【答案】D
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入目标函数得答案．
【详解】
画出不等式组 ，表示的平面区域如下图阴影区域：
令 ，则 ，
据图分析知，当直线 过原点O时，
即 ， 时， 取得最大值，且 ，
即 ，
故选：
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．已知二次函数 满足 ，若 在区间 上单调递减，且 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ,根据 可得 ,再根据 在区间 上单调递减,可知 ,进一步求出 恒成立时,m的取值范围.
【详解】
解:设 ,
∵ ,∴ ,
∴ ,∴ ,∴ .
又∵ 在区间 上单调递减,∴ ,
∴ 是以 为对称轴,开口向下的二次函数,
③若 ， ， 均是正数，且 ， ，则 的值是 ；
④若正实数 ， 满足 ，且 ，则 ， 均为定值
A．①②③B．②④C．②③D．②③④
【答案】D
【解析】利用基本不等式和不等式的基本性质分别判断各项即可.
【详解】
解:①当 时, ,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,故 .
∵ ,∴当 时, ,故①不正确;
②若 ,则 ,则 ,故②正确;
【解析】根据数列前几项可知,数列满足从第二项起,每一项与其前一项的差都为3,从而得到x的可能值.
【详解】
解:根据数列 可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于 ,
∴ .
故选:C.
【点睛】ห้องสมุดไป่ตู้
本题考查了归纳推理和等差数列的定义,属基础题.
6．已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影是（）
【详解】
解:∵ ,∴ ,∴B正确,A错误;
取 , ,则 ,故CD错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质,属基础题.
4．关于“ ，则 ， 至少有一个等于 ”及其逆命题的说法正确的是（）
A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题
∴由 恒成立,得 ,
∴实数 的取值范围[0,6].
故选: .
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质和不等式恒成立问题,属基础题.
10．已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列前 项的和为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得奇数项之和减去首项后，除以偶数项之和，可得公比，再根据等比数列的前n项和公式计算得答案．
【答案】D
【解析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.
【详解】
解:若 , ,则 ,故原命题为假;
若 , ,则 ,故其逆命题为假.
故选:D.
【点睛】
本题考查了命题真假的判断,关键是根据条件举出反例,属基础题.
5．若数列 中的项按一定规律变化，则实数 最有可能的值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解:由 ,得 ,
令 ,则 ,∴当x<0或 时, ;当 时, ,
∴ 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
又当 时, ;当 时, ,且 .
故选: .
【点睛】
本题考查了根据函数的解析式确定函数的图象和利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,属中档题.
12．下列表述正确的是（）
① ；
②若 ，则 ；
【解析】根据分段函数的表达式，对 进行分类讨论分别列出不等式组，求解即可．
【详解】
据题意，得 或 ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据数量积的几何意义可知， 在 方向上的投影为| |与向量 ， 夹角的余弦值的乘积，即可求得答案．
【详解】
设向量 与 的夹角是 ，
则向量 在 方向上投影为 .
故选：
【点睛】
本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的求解公式是解决问题的关键，属基础题．
7．若实数x，y满足 ，则xy的最小值是（）
2020届吉林省长春市高三上学期期末五校联考数学（文）试题
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式化简集合N，利用交集定义，即得解.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】
本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
2．若实数a，b满足 ， ，则 的取值范围是（）
∴ ,∴ ,∴ .
∵ , , ,∴ 且 ,∴ .
设 ,则 ,
又∵ ,∴ ,故③正确;
④ ,∵ , ,∴ .
∵ ,∴ ,又 ,∴ ,
解方程组 ,得 ,故④正确.
故选: .
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和不等式的基本性质,考查了转化思想和方程思想,属中档题.
二、填空题
13．若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则该数列中最接近于零的是第__________项．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用不等式的可加性，即得解.
【详解】
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用不等式的可加性求代数式的范围，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.
3．若 ，则下列不等式中恒成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据 ,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项.
A．8B． C．16D．
【答案】B
【解析】利用均值不等式， 即得解.
【详解】
因为 ，
当且仅当 时等号成立，
，
所以 .故xy的最大值是 .
故选：B
【点睛】
本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化化归，数学运算能力，属于基础题.
8．若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知可得数列的通项公式，令通项等于0，解得 的估计值．
【详解】
据题意，得 ，
令 ，得到 ，又 ，
∴该数列最接近于零的是第 项.
故答案为：8.
【点睛】
本题题考查等差数列的通项公式，考查了分析问题解决问题的能力，属基础题．
14．若函数 ，则不等式 的解集是__________．
【答案】
【详解】
由题意项数为奇数，∴奇数项之和减去首项后，除以偶数项之和，可得公比，
则 ，
∴等比数列前 项和 .
故选： .
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了等比数列中奇偶项的关系，是中档题．
11．函数 的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对f(x)求导,判断其单调性,然后结合 时, , 时, 选出正确答案.
【答案】D
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入目标函数得答案．
【详解】
画出不等式组 ，表示的平面区域如下图阴影区域：
令 ，则 ，
据图分析知，当直线 过原点O时，
即 ， 时， 取得最大值，且 ，
即 ，
故选：
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．已知二次函数 满足 ，若 在区间 上单调递减，且 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ,根据 可得 ,再根据 在区间 上单调递减,可知 ,进一步求出 恒成立时,m的取值范围.
【详解】
解:设 ,
∵ ,∴ ,
∴ ,∴ ,∴ .
又∵ 在区间 上单调递减,∴ ,
∴ 是以 为对称轴,开口向下的二次函数,
③若 ， ， 均是正数，且 ， ，则 的值是 ；
④若正实数 ， 满足 ，且 ，则 ， 均为定值
A．①②③B．②④C．②③D．②③④
【答案】D
【解析】利用基本不等式和不等式的基本性质分别判断各项即可.
【详解】
解:①当 时, ,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,故 .
∵ ,∴当 时, ,故①不正确;
②若 ,则 ,则 ,故②正确;
【解析】根据数列前几项可知,数列满足从第二项起,每一项与其前一项的差都为3,从而得到x的可能值.
【详解】
解:根据数列 可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于 ,
∴ .
故选:C.
【点睛】ห้องสมุดไป่ตู้
本题考查了归纳推理和等差数列的定义,属基础题.
6．已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影是（）
【详解】
解:∵ ,∴ ,∴B正确,A错误;
取 , ,则 ,故CD错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质,属基础题.
4．关于“ ，则 ， 至少有一个等于 ”及其逆命题的说法正确的是（）
A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题
∴由 恒成立,得 ,
∴实数 的取值范围[0,6].
故选: .
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质和不等式恒成立问题,属基础题.
10．已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列前 项的和为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得奇数项之和减去首项后，除以偶数项之和，可得公比，再根据等比数列的前n项和公式计算得答案．
【答案】D
【解析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.
【详解】
解:若 , ,则 ,故原命题为假;
若 , ,则 ,故其逆命题为假.
故选:D.
【点睛】
本题考查了命题真假的判断,关键是根据条件举出反例,属基础题.
5．若数列 中的项按一定规律变化，则实数 最有可能的值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解:由 ,得 ,
令 ,则 ,∴当x<0或 时, ;当 时, ,
∴ 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
又当 时, ;当 时, ,且 .
故选: .
【点睛】
本题考查了根据函数的解析式确定函数的图象和利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,属中档题.
12．下列表述正确的是（）
① ；
②若 ，则 ；
【解析】根据分段函数的表达式，对 进行分类讨论分别列出不等式组，求解即可．
【详解】
据题意，得 或 ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据数量积的几何意义可知， 在 方向上的投影为| |与向量 ， 夹角的余弦值的乘积，即可求得答案．
【详解】
设向量 与 的夹角是 ，
则向量 在 方向上投影为 .
故选：
【点睛】
本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的求解公式是解决问题的关键，属基础题．
7．若实数x，y满足 ，则xy的最小值是（）
2020届吉林省长春市高三上学期期末五校联考数学（文）试题
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式化简集合N，利用交集定义，即得解.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】
本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
2．若实数a，b满足 ， ，则 的取值范围是（）