《金版新学案》高三数学一轮复习 第四章 第2课时练习 理 新人教A版

《金版新学案》高三数学一轮复习 第四章 第2课时练习 理
新人教A 版
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．(2011·宁夏银川实验中学一模)已知正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，且AB →＝a ，AD
→＝b ，则BE →等于( )
A ．b ＋12a
B ．b －12
a C ．a ＋12
b D ．a －12
b 解析： BE →＝BC →＋CE →＝－12
a ＋
b . 答案： B
2．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、
C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ1＝λ2＝－1
B ．λ1＝λ2＝1
C ．λ1λ2－1＝0
D ．λ1λ2＋1＝1
解析： ∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔
AB →＝kAC →⇔⎩
⎪⎨⎪⎧ λ1＝k ，kλ2＝1， ∴λ1λ2－1＝0.
答案： C
3．已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于( )
A ．3
B ．－3
C ．0
D ．2
解析： ∵(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，
∴(3x －4y －6)e 1＋(2x －3y －3)e 2＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －4y －6＝0 ①2x －3y －3＝0 ② 由①－②得x －y －3＝0，
即x －y ＝3，故选A.
答案： A
4．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )
A ．{(1，－2)}
B ．{(－13，－23)}
C ．{(－2,1)}
D ．{(－23，－13)}
解析： P 中，α＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，β＝(1＋2n ，－2＋3n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.
此时α＝β＝(－13，－23)．
答案： B
5．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：
①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →；
③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.
其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析： k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12
， ∴OC ∥BA ，①正确；
∵AB →＋BC →＝AC →，∴②错误；
∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确；
∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)，
∴④正确．故选C.
答案： C
6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能
构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )
A ．k ＝－2
B ．k ＝12
C ．k ＝1
D ．k ＝－1
解析： 若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，
∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.
答案： C
二、填空题
7．(2009·江西卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.
解析： 由已知得a －c ＝(3－k ，－6)，又∵(a －c )∥b ，
∴3(3－k )＋6＝0，∴k ＝5.
答案： 5
8．已知点A (1，－2)，若点A 、B 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，
则λ＝________.
解析： 由A 、B 的中点坐标为(3,1)可知B (5,4)，
所以AB →＝(4,6)，
又∵AB →∥a ，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32
. 答案： 32
9．(2009·安徽卷)
给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为
圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．
解析： 建立如图所示的坐标系，
则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1
2，32.
设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．
∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－y 2，32y
＝(cos α，sin α)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y
2＝cos α，3
2y ＝sin α.∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin α
3＋cos α，
y ＝2sin α
3，
∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°.
∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值．
答案： 2
三、解答题
10．若a 、b 为不共线向量，
(1)试证2a －b,2a ＋b 为平面向量的一组基底；
(2)试用2a －b,2a ＋b 表示3a －b .【解析方法代码108001052】
解析： (1)证明：∵a ，b 不共线，则2a ＋b ≠0，
假设2a －b ∥2a ＋b ，则2a －b ＝λ(2a ＋b )，
整理得：(2－2λ)a ＝(λ＋1)b ，
∴a ∥b ，这与a 、b 不共线矛盾．
即2a －b,2a ＋b 为平面向量的一组基底．
(2)设3a －b ＝x (2a －b )＋y (2a ＋b )，
即3a －b ＝(2x ＋2y )a ＋(y －x )b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝3，x －y ＝1，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54，y ＝1
4.
因此3a －b ＝54(2a －b )＋1
4(2a ＋b )．
11．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．
(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；
(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标.【解析方法代码108001053】
解析： (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，
∵A 、B 、C 三点共线，
∴AB →∥AC →，
∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，
即a ＋b ＝2.
(2)∵AC →＝2AB →，
∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＝4
b －1＝－4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－3，
∴点C 的坐标为(5，－3)．
12．(2011·浙江嘉兴一中一模)三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n .
(1)求cos A 的值；
(2)求sin(A ＋30°)的值．
解析： (1)因为m ∥n ，所以3c －b 3a ＋3b ＝a －b c ，
得a 2＝b 2＋c 2－13bc ＝b 2＋c 2
－2bc cos A .
所以cos A ＝16.
(2)由cos A ＝16得sin A ＝35
6，
sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30°
＝356×3
2＋1
6×12＝1＋105
12.。