江苏省盐城中学2021届高三数学第三次模拟考试试题(1)

盐城中学2021届高三第三次模拟考试
数学I
参考公式：
（1）样本数据12,,
,n x x x 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑,其中1
1n i i x x n ==∑
（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高
一、填空题：本大题共14
小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1.已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，那么实数m 的取值
范围是 ． 2.己知i 是虚数单位，那么
32i
i
-+的虚部是 ． 3.执行如下图算法流程图，若是输入6i =，那么输出的S 值为 ． 4.函数2
)cos (sin x x y +=的最小正周期是___________．
5.为了了解800名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为
40的样本，考虑用系统抽样，那么分段的距离k 为__________________．
6.从4321，，，这4个整数中任意取3个不同的数作为二次函数
()2f x ax bx c =++的系数，那么使得
()
12
f ∈Z （Z 为整数集）的概率为 ． 7.假设14lo
g -=b a ，那么b a +的最小值为 .
8.已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，假设数列{cos }n a 是等比数列，那么其公比为 ．
9.知足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,
0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x z +=的最小值为_______.
10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x ，且双曲线的一条渐近线截圆()832
2=+-y x 所得弦长为4，那么双
曲线的离心率为 .
11.若是函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩
，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥关于任意(0, )x ∈+∞恒成
立，那么实数a 的取值范围是 ．
12.已知数列{}n a ，对任意的*
k ∈N ，当3n k =时，3
n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2
是该数列的第 项．
13.如下图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）
上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），那么m n +的最大值为____________．
14.假设实数y x y x -=-24，那么x 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤。

15. （本小题总分值14分） 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长别离为,,a b c ，向量
)cos 1,(sin B B m -=与向量)0,2(=n 夹角θ余弦值为1
2。

（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）ABC ∆外接圆半径为1，求a c +范围．
16. （本小题总分值14分）四棱锥ABCD P -底面是平行四边形，平面PAB ⊥平面ABCD ,
E
F
B
A
D
C
P
1
12
PA PB AB AD ===
=,060BAD ∠=,,E F 别离为,AD PC 的中点. （Ⅰ）求证：
//EF 平面PAB ；
（Ⅱ）求三棱锥ABD P V -．
17. （本小题总分值14分）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高
为cm 50（即EF =cm 50）的平面镜自制一
个竖直摆放的简易鞋镜.
依照体会,一样顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h <<㎝,
100AG =㎝, 顾客可视的镜像范围为CD (如下图), 记CD 的长度为y （y GD GC =-）.
（Ⅰ） 当40h =㎝时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；
（Ⅱ） 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 知足不等关系1GC GA GD <≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己
的鞋. 假设使一样顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围.
18. （本小题总分值16分）如图，设椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b x a y 两极点)0,(),0,(b B b A -，短轴长为4，焦距为与直线
2，
过点)0,4(P 的直线l 与椭圆交于D C ,两点．设直线AC BD 交于点Q .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：点Q 的横坐标为定值.
19. （本小题总分值16分）已知函数 ()1()x
f x e ax a R =+-∈.
（I ）求函数 ()f x 的单调区间；
（Ⅱ）假设函数 ()ln ()F x x x f x =-在概念域内存在零点，求a 的最大值；
（Ⅲ）假设 ()ln(1)ln x
g x e x =--，当 (0,)x ∈+∞时，不等式 (())()f g x f x <恒成立，求a 的取随范围．
20. （本小题总分值16分）若是数列{}n a 同时知足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k , 对任意
第17题
A
B
C
D
E F
G A 1 ·
*212,n n n n a a a k ++∈=+N 都成立，那么称如此的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数列必然是“类等比数
列” .问：
（I ）各项均不为0的等差数列{}n b 是不是为“类等比数列”？说明理由；
（Ⅱ）假设数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是不是存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++= 对任意*
n ∈N 都成立？假设存在，求出λ；假设不存在，请举出反例；
（Ⅲ）假设数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22k a b =+(a ，b 为常数)，求数列{}n a 的前n 项之和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为n T ，求43()k T k *-∈N
绝密★启用前
盐城中学2021届高三模拟考试 数学II （附加题）
21.【选做题】此题包括,,,A B C D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．， 假设多做，那么按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. A .选修4-1：几何证明选讲（本小题总分值10分）
如以下图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于
P ，PC =ED =1，PA =2．
（I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝ EF ．
B.选修4-2：矩阵与变换（本小题总分值10分）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。

已知矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=4 00 3A ，点(1,1)M --，点(1,1)N . （Ⅰ）求线段MN 在矩阵A 对应的变换作用下取得的线段M N ''的长度； （Ⅱ）求矩阵A 的特点值与特点向量．
C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题总分值10分）
极坐标方程为01sin cos =-+θρθρ的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos 2y x （θ为参数）交与B A ,，
求PB PA ⋅．
D ．选修4-5：不等式选讲（本小题总分值10分）
设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （Ⅰ）当1,()a f x =时求函数的最小值； （Ⅱ）若4
()1f x a
≥
+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. [必做题] 第2二、23题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题总分值10分）
袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被掏出的可性相等），并记下卡面数字和为X ，然后把卡片放回，叫做一次操作。

（Ⅰ）求在一次操作中随机变量X 的概率散布和数学期望E （X ）； （Ⅱ）甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于E （X ）的概率． 23．（本小题总分值10分）
已知整数n ≥4,集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为3
12,,,n
C A A A ⋅⋅⋅. （Ⅰ）当5n =时,求集合3
5
12,,,C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和； （Ⅱ）设i m 为i A 中的最小元素,设n P =312n
C m m m ++⋅⋅⋅+,试求n P .
盐城中学2021届高三模拟（答案）（2021.06）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

范围
1.已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，那么实数m 的取值
是 ()+∞,1 ． 2.己知i 是虚数单位，那么
32i
i
-+的虚部是 1- ． 3.执行如下图算法流程图，若是输入6i =，那么输出的S 值为 21 ． 4.函数2
)cos (sin x x y +=的最小正周期是_____π______．
5.为了了解800名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40
的样本，考虑用系统抽样，那么分段的距离k 为_______20___________．
6.从4321，，，这4个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，那么使得
()
12
f ∈Z （Z 为整数集）的概率为
2
1
． 7.假设14log -=b a ，那么b a +的最小值为 1 .
8.已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，假设数列{cos }n a 是等比数列，那么其公比为 -1 ．
9.知足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,
0,
0,
32,42y x y x y x 的目标函数y x z +=的最小值为___37____.
10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x ，且双曲线的一条渐近线截圆()832
2=+-y x 所得弦长为4，那么双
曲线的离心率为
5
5
3 . 11.若是函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩
，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥关于任意(0, )x ∈+∞恒成立，那么实数a 的取值范围是 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,31 ．
12.已知数列{}n a ，对任意的*
k ∈N ，当3n k =时，3
n n a a =；当3n k ≠时，
n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 932⨯ 项．
开始 输入i
n i
≤输出
否
是
E F
B
A
D
C
P
13.如下图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），那么m n +的最大值为____5________． 14.假设实数y x y x -=-24，那么x 的取值范围为 []{}020,4⋃ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤。

15. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长别离为,,a b c ，向量)cos 1,(sin B B m -=与向量)0,2(=n 夹角
θ余弦值为1
2。

（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）ABC ∆外接圆半径为1，求a c +范围 (1)
m 2sin
(cos ,sin )222
B B B
=，2(1,0)n =， 4sin
cos 22B B m n ⋅=⋅，|m |2sin 2B =，|n |2=，cos cos 2||||
m n B m n θ⋅∴==⋅
由1cos
22B =，0θπ<<得23B π=，即23
B π
=……7分
（2）23B π=，3
A C π
∴+=
又03
A π
<<
，23
3
3
A π
π
π
∴
<
+<
，sin()13A
π<+≤ 因此sin sin A C +∈又正弦定理可知：a c +=2sin 2sin R A R C +=(
)2sin sin A C +， 因此a c +2⎤∈
⎦。

……14分
16.四棱锥ABCD P -底面是平行四边形，平面PAB ⊥平面ABCD ,
1
12
PA PB AB AD ===
=,060BAD ∠=,,E F 别离为,AD PC 的中点. （Ⅰ）求证：
//EF 平面PAB
（Ⅱ）求三棱锥ABD P V -
（1）取PB 中点G ,连接FG AG , 又F 别离为PC 的中点.
GF ∴是PBC ∆的中位线，即BC GF 2
1
//
又四边形ABCD 底面是平行四边形，E 别离为AB 的中点
BC AE 2
1
//∴AE GF //∴,即四边形AEFG 是平行四边形
因此，AG EF // 又⊂AG 平面PAB
因此，//EF 平面PAB ……7分
（2）在平面PAB 中，过P 作AB PH ⊥，垂足为H 。

平面PAB ⊥平面ABCD ,AB ABCD PAB =⋂平面平面,PAB PH 平面⊂,AB PH ⊥
ABCD PH 平面⊥∴,的高是三棱锥ABD P PH -∴
4
123233131=⨯⨯=⋅=
∴∆-PH S V ABD ABD P ……14分 17. 因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF =50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 依照体会,一样顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h <<㎝,
100AG =㎝, 顾客可视的镜像范围为CD (如下图), 记CD 的长度为y （y GD GC =-）.
（Ⅰ） 当40h =㎝时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；
（Ⅱ） 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 知足不等关系1GC GA GD <≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己
的鞋. 假设使一样顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围.
即
(1) 因为40FG =,100AG =,因此由
GC GC AG
FG AB
+=
,10040GC GC x +=
,解得4000
40
GC x =-, 同理,由GD GD AG EG AB +=,即100
90GD GD x +=
, 解得9000
90
GC x =
-…………………………………2分 因
此
2941000(
)5000,[140,180]90401303600
x
y GD GC x x x x x =-=⨯-=⨯∈---+……… 5分 因为2
2
2
360050000(1303600)
x y x x -'=⨯<-+, 因此y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时, y 取得最大值为140㎝………………………………………………………………8分
第17题
A
B
C
D
E F
G A 1 ·
另法: 可得5000
,[140,180]3600130y x x x
=
∈+-, 因为3600130x x +
-在[140,180]上单调递增, 因此y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时,y 取得最大值为140㎝…………………………8分 (2)由
100GC GC h x +=,得100h GC x h =-,由10050GD GD h x +=
+,得100(50)
50
h GD x
h +=--,因此由题意知1
GC AG AG GD <=≤,即100100(50)
10050
h h x h x h +<≤---
对[140,180]x ∈恒成立……………………12分 从而2502x h x h ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩对[140,180]x ∈恒成立,解得140702
18050402
h h ⎧
<=⎪⎪⎨⎪≥-=⎪⎩,故h 的取值范围是[)40,70…14分
(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h 的范围与AG 的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)
18.如图，设椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 两极点)0,(),0,(b B b A -，短轴长为4，焦距为2，过点)0,4(P 的直线l
与椭圆交于D C ,两点．设直线AC 与直线BD 交于点Q .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：点Q 的横坐标为定值.
（1）椭圆方程为. …… 5分
(2)设直线的方程为：，直线的方程别离为：，两式联立，消去得
1221211221122()4()
2()
Q x y x y y y x x y x y y y ++-=
-++. （*）
2211154y x +=， ∴2222
21212254
y y x y y +=① 2222154y x += ∴222221221154
y y x y y +=② 由②-①得
，即. ③
又三点共线，那么，， ④
④入③得， ⑤
把④、⑤代入（*）整理得 （定值）. ……16分
法二：韦达定理
设直线l ：(4)y k x =-，代人椭圆方程得2
2
2
2
(54)3264200k x k x k +++-=
1221211221122()4()2()Q x y x y y y x x y x y y y ++-=
-++=21121221124()2[24()]
4()2[()8]
k x x k x x x x k x x k x x -+-+-++-
由韦达定理易患 故1Q x =
法三：设直线:AC 1(2),y k x =+代人椭圆方程得：
22
221
1
1
(54)1616200k x k x k +++-=得2
12
110845
C k x k -=+ 设直线:B
D 2(2),y k x =-代人椭圆方程得：
2
2
2
2
222(54)1616200k x k x k +-+-=得2
22
210845
D k x k -+=+ 由,,C D P 三点共线得：
PC PD k k =得
12
22
121010125415
k k k k -=++得1212(3)(45)0k k k k ++= 得1230k k +=，现在1Q x =；或12450k k +=，现在交点在椭圆上，舍.
19. 若是数列{}n a 同时知足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k , 对任意*2
12,n n n n a a a k ++∈=+N 都成立，
那么称如此的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数列必然是“类等比数列” .问： （I ）各项均不为0的等差数列{}n b 是不是为“类等比数列”？说明理由；
（Ⅱ）假设数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是不是存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=
对任意*
n ∈N 都成立？假设存在，求出λ；假设不存在，请举出反例；
（Ⅲ）假设数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22
k a b =+(a ，b 为常数)，求数列{}n a 的前n 项之
和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为n T ，求43()k T k *
-∈N .
[解] （1）因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数）
由2
12n n n b b b k ++=+得[][]2
(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++
得2
k d =为常数，因此各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列”
（2）存在常数,22ab
k
b a -+=
λ使12++=+n n n a a a λ （只给出结论给2分） （或从必要条件入手2212213113222a k a a a a a b k
a a a a a ab
λλ-+
++-+=⇒===
） 证明如下：因为,221k a a a n n n +=++因此2
11,2,*n n n a a a k n n -+=+≥∈N 因此,112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a 即.2
21121n n n n n n a a a a a a +=+++-+
由于0,n a ≠此等式两边同除以,1+n n a a 得
n n n n n n a a a a a a 1
112+-+++=+ 因此
,23
11112a a a a a a a a a n n n n n n +==+=++-++
即当*
n ∈N 都有123
12+++=+n n n a a a a a a
因为,,,2
2
1
21k a a a
b a a a n n n +===++因此a
k
b a -=23
因此⋅-+=-+
=+ab
k b a b a k b a a a a 222231 因此对任意*
n ∈N 都有,12
++=+n n n a a a λ现在ab
k
b a -+=22λ
（3）00)(313112
22
131312
2=+⇒=+⇒++=+=a a a a a a a a a k a a a …11分
{}{}n n a a 212,-∴均为公比为1-的等比数列
434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+18分
20.已知函数 ()1()x
f x e ax a R =+-∈.
（I ）求函数 ()f x 的单调区间；
（Ⅱ）假设函数 ()ln ()F x x x f x =-在概念域内存在零点，求a 的最大值；
（Ⅲ）假设 ()ln(1)ln x
g x e x =--，当 (0,)x ∈+∞时，不等式 (())()f g x f x <恒成立，求a 的取随范围．
（I ）()x
f x e a '=+
（1）当0a ≥，增区间为(,)-∞+∞
（2）当0a <，增区间为(ln(),)a -+∞，减区间为(,ln())a -∞-
（Ⅱ）函数()ln ()F x x x f x =-的概念域为(0,)+∞，由()0F x =得1ln x
e a x x -=+
设1()ln (0)x e h x x x x -=+>，那么2
(1)(1)
(),x e x h x x --'= 函数()h x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 故()(1)1h x h e ≤=-
a ∴的最大值为1e -
（Ⅲ）由（I ）得，当1a =-时，()f x 在(0,)+∞递增，那么(0)0f = 故对0,()0x f x ∀>>，那么1x
e x ->
故对0,()ln(1)ln 0x
x g x e x ∀>=-->
分析可知：要证0,()x g x x ∀>< 只需证0,ln(1)ln x
x e x x ∀>--<
即证0,ln(1)ln x
x e x x ∀>--<
即证0,10x
x
x xe e ∀>-+>
构造函数()1x
x
H x xe e =-+，那么()0x
H x xe '=>
故函数()H x 在(0,)+∞递增，()(0)0H x H ∴>= 故0,()x g x x ∀><
① 当0a ≥，由（I ）可知()f x 在(0,)+∞递增，那么(())()f g x f x <在(0,)+∞恒成立； ② 当0a <，由（I ）可知()f x 在(ln(),)a -+∞递增，在(,ln())a -∞-递减
ⅰ当10a -≤<，()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；
ⅱ当1,a <-由（I ）可知()f x 在(ln(),)a -+∞递增，在(,ln())a -∞-递减 当0ln()x a <<-时，由0()ln()g x x a <<<-得(())()f g x f x >，不合题意 综合得：1a ≥- 数学II （附加题）
21.【选做题】此题包括,,,A B C D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．， 假设多做，那么按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. A.（选修4—1：几何证明选讲）
如以下图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝ EF ．
解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，…（2分）
又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠
CBA PAC ∆∆∴∽，AB
AC
AC PC =∴
， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC
（II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，
22
12=⋅=
∴EF ，BE EF =∴．
B.（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=4 00 3A ，点(1,1)M --，点(1,1)N .
（1）求线段MN 在矩阵A 对应的变换作用下取得的线段M N ''的长度； （2）求矩阵A 的特点值与特点向量.
解(1)由30130414--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，30130414⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
因此(3,4),(3,4)M N ''--
因此10M N ''= (2)3
()(3)(4)00
4
f λλλλλ-=
=--=- 得矩阵A 特点值为123,4λλ==， 别离将123,4λλ==代入方程组可解得矩阵A
属于特点值13λ=的特点向量为101α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，当属于特点值24λ=的特点向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
． C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
极坐标方程为01sin cos =-+θρθρ的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆
⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos 2y x （θ为参数）交与B A ,，求PB PA ⋅． D ．(选修4-5：不等式选讲） 设函数()|1||4|.f x x x a =++--
（1）当1,()a f x =时求函数的最小值； （2）假设4
()1f x a
≥
+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）当1a =时， （2）()41f x a ≥
+对任意的实数x 恒成立⇔4
141x x a a
++--≥+对任意的实数x 恒成立 当0a <时，上式成立；
当0a >时，44a a +≥= 当且仅当4a a =
即2a =时上式取等号，现在4
4a a
+≤成立. 综上，实数a 的取值范围为(){},02-∞⋃
[必做题] 第2二、23题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题总分值10分）
袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被掏出的可性相等），并记下卡面数字和为X ，然后把卡片放回，叫做一次操作。

（Ⅰ）求在一次操作中随机变量X 的概率散布和数学期望E （X ）；
（Ⅱ）甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于E （X ）的概率． (1) X 3
4
5
6
7
P
61 61 31 61 6
1 (2)记“一次操作所计分数X 不大于E （X ）”的事件为C ，那么 23．（本小题总分值10分）
已知整数n ≥4,集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为3
12,,,n
C A A A ⋅⋅⋅. (1)当5n =时,求集合3
5
12,,,C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和. (2)设i m 为i A 中的最小元素,设n P =312n
C m m m ++⋅⋅⋅+,试求n P .
（1）解：当5n =时，含元素1的子集有2
46C =个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个, 于是所求元素之和为2
4(12345)61590C ++++⨯=⨯=……………………………………………5分
（2）证明:不宝贵到12,i i m n m Z ≤≤-∈ ，而且以1为最小元素的子集有2
1n C -个，以2为最小元素的子集
有2
2n C -个，以3为最小元素的子集有2
3n C -，…，以2n -为最小元素的子集有2
2C 个,
则3222
2
121232
123(2)n
n n n n C P m m m C C C n C ---=++
+=⨯+++
+-………………………………8分 433
3445n C C C C =+++
+4
1n C +=……………………………………………………………………10分。