高中数学高考复习：第三章第6讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第6讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[学生用书
P77])
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念
2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
1．辨明两个易误点
(1)平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； (2)解决三角函数性质的有关问题时，要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，但最大值、最小值与A 的符号有关．
2．三角函数图象变换的两种方法(ω>0)
1.教材习题改编 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4的振幅、频率和初相分别为( )
A ．2，1π，－π4
B ．2，1
2π，－π4
C ．2，1
π，－π8
D ．2，1
2π
，－π8
[答案] A
2．(2016·高考浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )
D [解析] 由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D
的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π
2时，函数y ＝sin x 2<1，显然不正确，
当x ＝±
π
2
时，y ＝sin x 2＝1，而π2<π
2
，故选D. 3．(2016·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图
象上所有的点( )
A ．向左平行移动π
3个单位长度
B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向左平行移动π
6个单位长度
D ．向右平行移动π
6
个单位长度
D [解析] 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π
6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图象上
所有的点向右平行移动π
6
个单位长度即可，故选D.
4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是
________、________、________、________、________．
[答案] ⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭
⎫13π
6，0
5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
[解析] 由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π
3，
即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝3
2.
[答案] 3
2
五点法作图及图象变换[学生用书P78]
[典例引领]
(2016·高考山东卷)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭
⎫π
6的值．
【解】 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＋3－1，
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间是⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z )
⎝⎛⎭
⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＋3－1，
把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
3＋3－1的图象，
再把得到的图象向左平移π
3个单位，
得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1.
所以g ⎝⎛⎭
⎫π
6＝2sin π6＋3－1＝ 3.
[通关练习]
1．(2017·贵州省适应性考试)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单
位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )
A.π6
B.π
4 C.π3 D.π2
A [解析] 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度，得到的
图象所对应的函数解
析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π
6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋
π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ≤π2，所以φ＝π
6
，选项A 正确． 2．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝3
2.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．
[解] (1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝3
2，所以sin φ＝－
3
2，又－π2<φ<0，所以φ＝－π3
. (2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，列表：
图象如图．
由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[学生用书P79]
[典例引领]
(2016·高考全国卷甲)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3
C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6
D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
3
【解析】 由题图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π
3－⎝⎛⎭⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT ＝
2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π
6＋2k π(k ∈Z )，结合选
项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6.
【答案】 A
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，
则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2
.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2π
T .
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π
2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象
的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π
2
＋2k π(k ∈Z )．
[通关练习]
1．(2017·广州市高考模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π
2)的部分图象如图所
示，则ω，φ的值分别是( )
A ．2，－π3
B ．2，－π
6
C ．4，－π
6
D ．4，π
3
A [解析] 由题图可得3
4T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4，所以T ＝π，所以T ＝2πω＝π，ω＝
2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5π12，2，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭
⎫5π
6＋φ＝2，所以sin ⎝⎛
⎭
⎫5π
6＋φ＝1，所以5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π
3
. 2．(2017·兰州市实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，
该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．
[解析] 由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π
2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所
以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2
x ＋π
2，所以f (1)＝－ 3.
[答案] － 3
三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)[学生用书P79]
三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．
高考对三角函数的图象与性质的综合应用问题的考查主要有以下五个命题角度： (1)图象变换与函数性质； (2)恒等变换与函数性质； (3)三角函数图象与性质； (4)三角函数性质与平面向量；
(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．
[典例引领]
已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －1
2
(ω>0，x ∈R )，且函数f (x )的最小
正周期为π.
(1)求函数f (x )的对称轴；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
12个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数g (x )的
图象，求函数y ＝4g 2(x )－12g (x )－1在x ∈⎣⎡⎦
⎤－π12，π
3上的最值．
【解】 (1)由已知f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －1
2
＝
32sin 2ωx －1
2
cos 2ωx －1 ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx －π
6－1，
因为f (x )的最小正周期为π，故2π
2ω＝π，所以ω＝1.
故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6－1，其对称轴满足2x －π6
＝k π＋π2(k ∈Z )，故其对称轴为x ＝k π2＋π
3
(k ∈Z )．
(2)将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－π
6－1＝sin 2x
－1的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，因此y ＝4g 2(x )－12g (x )－1＝4sin 22x －12sin 2x －1.
令t ＝sin 2x ，由于2x ∈⎣⎡⎦⎤－π6
，2π
3，故t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以y ＝4t 2
－12t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －322
－10，因为当t ∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，1时，函数y ＝4t 2－12t －1单调递减，所以当t ＝－1
2，即x ＝－π12时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π4
时，y min ＝－9.
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π
2(k ∈Z )时，函
数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期，其最小正周期为T ＝2π
ω
.
(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π
2＋2k π≤ωx ＋
φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π
2
＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．
(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )得其对称中心．
利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2
(k ∈Z )得其对称轴．
[题点通关]
角度一 图象变换与函数性质
1．将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π
8个单位后得到函数F (x )的图象，则下
列说法中正确的是( )
A ．函数F (x )是奇函数，最小值是－2
B ．函数F (x )是偶函数，最小值是－2
C ．函数F (x )是奇函数，最小值是－ 2
D ．函数F (x )是偶函数，最小值是－ 2
C [解析] f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4，将f (x )的图象向左平移π8个单位后得
F (x )的图象，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π
4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，所以F (x )是奇函
数，最小值为－ 2.故选C.
角度二 恒等变换与函数性质 2．设f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )＋2cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥3
2成立的x 的取值集合．
[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋sin x ·cos x ＋2cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋1
2(1＋cos 2x )
＝
22
sin ⎝⎛
⎭⎫2x ＋π4＋32， 所以f (x )的最大值为32＋2
2，最小正周期是2π2＝π.
(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋2
2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4≥32⇔
sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .
即使f (x )≥3
2成立的x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .
角度三 三角函数图象与性质
3．(2017·重庆适应性测试(二))若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6－cos ωx (ω>0)的图象相邻两个
对称中心之间的距离为π
2
，则f (x )的一个单调递增区间为( )
A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3
B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6
C.⎝⎛⎭⎫π6
，2π3
D.⎝⎛⎭⎫
π3，5π6
A [解析] 依题意得，f (x )＝
32sin ωx －1
2cos ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6.当2k π
－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6单
调递增．因此结合各选项知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝⎛⎭
⎫－π6，π
3，选A.
三角函数模型的简单应用[学生用书P80]
[典例引领]
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解】 (1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭
⎫
32cos π12t ＋12sin π12t
＝10－2sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3，
又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π
3，
－1≤sin ⎝⎛
⎭⎫
π12t ＋π3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝⎛
⎭⎫
π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛
⎭⎫
π12t ＋π3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3，
故有10－2sin ⎝⎛
⎭⎫
π12t ＋π3＞11，
即sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π3＜－12.
又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π
6，
即10＜t ＜18.
故在10时至18时实验室需要降温．
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把
实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道
的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
[解] 连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T
4
＝3，
又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .
当x ＝4时，y ＝23sin
2π
3
＝3， 所以M (4，3)．又P (8，0)， 所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.
[学生用书P81]
——三角函数的图象与性质
(本题满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y
＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭
⎫2π
3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．
[思维导图]
(1)
(2)
(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x ， (1分)
因为y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π
3，－2，
所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6
，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π
3，(3分)
即⎩⎨⎧3＝12m ＋3
2
n ，－2＝－32m －1
2n ，(4分)
解得m ＝3，n ＝1.(5分)
(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6.
由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π
6.
(7分)
设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)．
由题意知，x 2
0＋1＝1，
所以x 0＝0，(8分)
即y ＝g (x )图象上到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π
6＝1.
因为0<φ<π， 所以φ＝π
6
，(9分)
所以g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
2＝2cos 2x .(10分)
由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π
2≤x ≤k π，k ∈Z ，
所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤k π－π
2，k π，k ∈Z .(12分)
(1)解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x
＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝
A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． (2)注意解题步骤的规范性
①求最值、单调区间或由值求角时一定要注意限定角的取值范围； ②涉及k π或2k π时要注意k 的范围，规范步骤，减少出错； ③注意题目最后的总结，保证步骤的完整性．
[学生用书P343(独立成册)]
1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是( )
A [解析] 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3
2，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，
排除C.
2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π
6的
值是( )
A ．－3 B.3
3
C ．1
D. 3
D [解析] 由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π
2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以
f ⎝⎛⎭
⎫π
6＝tan π3＝ 3.
3．(2016·高考全国卷乙)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象
对应的函数为( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3
C ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3
D [解析] 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象
向右平移π
4
个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为
y ＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π
6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.故选D.
4．(2017·武汉市武昌区调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6－1(ω>0)的图象向右平移
2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A ．3 B.32 C.4
3
D.23
A [解析] 将f (x )的图象向右平移
2π
3
个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π
6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，
所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A.
5．(2017·郑州市第二次质量检测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π
4个单位后得到
函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2对称
B ．在⎝⎛⎭⎫0，π
4上单调递减，为奇函数
C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π
8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点⎝⎛
⎭
⎫3π
8，0对称 B [解析] 由题意得，g (x )＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
2＝－sin 2x .A ：最大值
为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B ：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
4时，2x
∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C ：当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π
8时，2x ∈
⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，不满足单调递增，也不满足是偶函数，故C 错误；D ：周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－
2
2，故图象不关于点⎝⎛⎭
⎫3π8，0对称．故选B.
6．(2017·山西临汾一中模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2的图象如图所
示，则函数y ＝f (x )＋ω图象的对称中心的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫2
3
k π＋π24，32(k ∈Z )
B.⎝
⎛⎭⎫3k π－3π8，2
3(k ∈Z )
C.⎝⎛⎭⎫1
2
k π＋5π8，32(k ∈Z )
D.⎝⎛⎭⎫3
2
k π－3π8，23(k ∈Z )
D [解析] 由题图可知T 2＝15π8－3π8＝3π2，所以T ＝3π，又T ＝2πω，所以ω＝2
3，
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ，因为f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫38π，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋φ＝2，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π
4.
由23x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝32k π－3π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )＋2
3
图象的对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫32
k π－3π8，23(k ∈Z )．
7．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π
2
，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．
[解析] 由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3
. [答案] 2
π
3
8．(2016·高考全国卷丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．
[解析] 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝
2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π
3个单位长度得到．
[答案]
2π
3
9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．
[解析] 由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫
12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →
＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－1
2＝3. [答案] 3
10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π
6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，
12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
[解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，
A ＝28－182＝5，
所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦
⎤π
6（x －6）， 当x ＝10时， y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫
π6×4＝20.5.
[答案] 20.5
11．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象． [解] (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的振幅A ＝2，
最小正周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π
3.
(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝2sin X .
列表：
描点画图：
12．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．
(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
[解] (1)由图象知A ＝10，12·2π
ω＝14－6，
所以ω＝π
8，
所以y ＝10sin ⎝⎛
⎭
⎫πt
8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π
4
，
所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π
4＋20，t ∈[6，14]．
(2)由题意得，
20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π
4＋20≤20＋52，
即－
22≤sin ⎝⎛⎭⎫π8
t ＋3π4≤2
2，
所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π
4，k ∈Z .
即8k －8≤t ≤8k －4，
因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．
13．(2017·山西省高三考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π
2的图象关于直线x
＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭
⎫－π6，π
3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22
C.32
D ．1
C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2
，所以k ＝0，φ＝π
3
，
又x 1，x 2∈⎝⎛⎭
⎫－π6，π
3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，
所以2x 1＋π3＋2x 2＋
π
32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝3
2，故
选C.
14．(2017·福建省毕业班质量检测)已知A 是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)图象上的一个最高点，B ，C 是f (x )图象上相邻的两个对称中心，且△ABC 的面积为1
2，若存在常
数M (M >0)，使得f (x ＋M )＝Mf (－x )，则该函数的解析式是f (x )＝________．
[解析] 由题意得|BC |＝
π
ω(ω>0)，所以S △ABC ＝12×πω×1＝1
2，解得ω＝π，所以f (x )＝sin(π
x ＋φ)，所以f (－x )＝sin(－πx ＋φ)，f (x ＋M )＝sin[π(x ＋M )＋φ]．因为存在常数M (M >0)，使得f (x ＋M )＝Mf (－x )，又－1≤f (x ＋M )≤1，－M ≤Mf (－x )≤M ，所以M ＝1，所以sin[π(x ＋1)＋φ]＝sin(－πx ＋φ)，即sin(πx ＋φ)＝sin(πx －φ)，因为0<φ<2π，所以φ＝π，所以f (x )＝sin(πx ＋π)，所以f (x )＝－sin πx 为所求的函数的解析式．
[答案] －sin πx
15．(2017·福建三明一中期中测试)已知函数
f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)⎝
⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π
2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且
图象上一个最低点为M ⎝⎛
⎭
⎫2π
3，－2. (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调递减区间； (3)当x ∈⎣⎡
⎦⎤
π12，π2时，求f (x )的值域．
[解] (1)由题意知，A ＝2，1
2T ＝π2，故T ＝π，
所以ω＝2π
T
＝2，
因为图象上一个最低点为M ⎝⎛
⎭
⎫2π
3，－2， 所以2×2π3＋φ＝2k π－π
2，k ∈Z ，
所以φ＝2k π－11π6＝2(k －1)π＋π
6(k ∈Z )，
又0<φ<π
2
，
所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6.
(2)令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3，k ∈Z .
(3)当x ∈⎣⎡
⎦
⎤
π12，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，
此时－1
2≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，
则－1≤f (x )≤2， 即f (x )的值域为[－1，2]．
16．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －1
2(ω>0)，其最小正周期为π2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到
原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．
[解] (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －1
2
＝
3
2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12
＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，
又f (x )的最小正周期T ＝π
2，
所以T ＝2π2ω＝πω＝π
2
，
所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6.
(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
3的图象；再将所得图象
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的图象，所以g (x )
＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3，
当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3
，
易知当－π3≤2x －π3≤π2，即0≤x ≤512π时，g (x )递增，且g (x )∈⎣⎡⎦⎤－3
2，1，当π2<2x
－π3≤2π3，即512π<x ≤π2时，g (x )递减，且g (x )∈⎣⎡⎭
⎫3
2，1. 又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 的图象
在区间⎣
⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点，所以－32≤－k <3
2或－k ＝1，
解得－
32<k ≤3
2
或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是⎝
⎛⎦
⎤
－
32，
32∪{－1}．。