高一数学6月月考试题1 8

卜人入州八九几市潮王学校外国语二零二零
—二零二壹高一数学6月月考试题
〔总分值是150分，120分钟完成〕
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，每个小题只有一个正确选项〕
1．集合
{}1,0,1A =-，101x B x
x +⎧⎫
=≤⎨⎬-⎩⎭
，那么A B =〔〕 A ．
{}0 B ．
{}1,0-
C ．
{}0,1
D ．
{}1,0,1-
2．假设0a b <<，那么以下不等式不能成立的是〔〕
A ．||||a b >
B ．2a ab >
C ．
11
a b
> D ．
11
a b a
>- 3．假设直线1:210l x y -+=与直线2
:30l mx y +-=互相垂直，那么实数m 的值是〔〕
A ．2-
B ．12
-
C ．
12
D ．2
4．以下函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数的是〔〕 A ．()cos2f x x =
B ．
()sin 2f x x =
C ．
()cos f x x =
D ．()sin f x x =
5．算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌〞就是其中一首：“一个公公九个儿，假设问生年总不知，自长排来差三岁，一共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.〞这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.〞在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，那么3a =〔〕
A ．17
B ．29
C ．23
D ．35
6．在等差数列{}n a 中，假设29,a a 是方程2260x x --=的两根，那么3478a a a a +++的值是〔〕
A ．4
B ．2
C ．﹣4
D ．﹣2
7.角α是第二象限角，那么
1sin 222cos 2αα
-++=〔〕
A ．ααcos sin +
B ．ααcos 3-sin
C ．ααsin -cos 3
D ．ααcos -sin 8．)3,4(=a
，()9,9b =-，那么a 在a b +方向上的投影为〔〕
A ．
165 B ．
335
C ．
1613
D ．
3313
9．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，这个三角形的面积为3，那么a =〔〕
A ．2
B ．
10 C ．2
3
D ．
13
10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222b c a bc +=+，且2sin sin sin B C A ⋅=，
那么ABC ∆的形状是〔〕 A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
11．圆()()
2
2
128x y -++=上到直线03=++y x 的间隔等于2的点的个数为〔〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，等边ABC ∆的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，
M 为AB 中点，那么OA OM ⋅的最大值为〔〕
A ．
7
B ．
5
72
+ C ．
72
D ．33
32
+
二、填空题 13．数列
{}n a 的前n 项和2n S n =，那么4
a
=_______.
14.两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的间隔是______．
15．向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，假设,x y 均为正数，那么
32x y
+的最小值是_______.
16．过点()5,0P
-作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，点
()3,11N ，那么MN
的取值范围是______.
三、解答题 17．直线l ：20ax y a +
+=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=.
〔1〕当a 为何值时，直线l 与1l 平行； 〔2〕当直线l 与圆C 相交于
A ，B
两点，且AB =l 的方程.
18
．函数
2()sin sin 2f x x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
〔1〕求()f x 的最小正周期和单调增区间；
〔2〕求函数()f x 在区间20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围. 19．函数
()()224f x x mx m m R =-+-∈.
〔1〕当1m =时，求不等式()0f x ≥的解集； 〔2〕当2x >时，不等式
()1f x ≥-恒成立，求m 的取值范围.
20．数列{}n a 为正项等比数列，满足3
4a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足
221log log n n n b a a +=+.
〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
〔2〕假设数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141
n
n c S =
-，求数列{}n c 的前n 项和n T .
21．如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.
〔1〕假设15ABC ︒∠=，求DC ；
〔2〕记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.
22．数列
{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，
121
111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+〔2n ≥且n *∈N 〕.
〔1〕求
{}n a 的通项公式；
〔2〕〔i 〕求证：
11
1n n
n n c a
c a +++=〔2n ≥且n N ∈〕；
〔ii 〕求证：231115
1113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭.
外国语
二零二零—二零二壹〔下〕6月月考
高2022级•数学试题 〔总分值是150分，120分钟完成〕
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，每个小题只有一个正确选项〕
1．集合
{}1,0,1A =-，101x B x
x +⎧⎫
=≤⎨⎬-⎩⎭
，那么A B =〔〕 A ．
{}0 B ．
{}1,0-
C ．
{}0,1
D ．
{}1,0,1-
【答案】B 【详解】
解：
101x x +≤-，()()110
1
x x x +-≤⎧⎪∴⎨
≠⎪⎩，所以{}11B x x =-≤<， 又∵
{}1,0,1A =-，∴{}1,0A B ⋂=-．
应选：B ．
2．假设0a b <<，那么以下不等式不能成立的是〔〕
A ．||||a b >
B ．2a ab >
C ．
11
a b
> D ．
11
a b a
>- 【答案】D 【解析】
0a b <<，有a b
>，A 正确；
因为0a <，所以2
a a
b >，B 正确；
11
a b
>，C 正确； 当2,b 1a
=-=-时，
11a b =--，112a =-，11
a b a
>-不成立，D 错误．
应选D.
3．假设直线1:210l x y -+=与直线2
:30l mx y +-=互相垂直，那么实数m 的值是〔〕
A ．2-
B ．1
2
-
C ．
12
D ．2
【答案】D 【详解】
因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，
所以20m -=，得2m =． 应选：D ．
4．以下函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数的是〔〕 A ．()cos2f x x =
B ．
()sin 2f x x =
C ．
()cos f x x =
D ．()sin f x x =
【答案】C 【详解】
()cos2f x x
=的最小正周期为
2
π
，故排除； ()sin 2f x x
=不是周期函数，故排除；
()cos f x x =的最小正周期是π
，且在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数，故正确； D.()sin f x x =的最小正周期是2π，故排除.
5．算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌〞就是其中一首：“一个公公九个儿，假设问生年总不知，自长排来差三岁，一共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.〞这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.〞在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，那么3a =〔〕
A ．17
B ．29
C ．23
D ．35
【答案】B 【详解】
依题意{}n a 为等差数列，且3d
=-，
199559()
9207,232
a a S a a +=
==∴=， 35229a a d ∴=-=.
应选：B.
6．在等差数列{}n a 中，假设29,a a 是方程2260x x --=的两根，那么3478a a a a +++的值是〔〕
A ．4
B ．2
C ．﹣4
D ．﹣2
【答案】A 【详解】 由题意知292a a +=，那么3794822()4a a a a a a +++==+.
应选：A
7.角α=〔〕
A ．ααcos sin +
B ．ααcos 3-sin
C ．ααsin -cos 3
D ．ααcos -sin
8．()4,3a
=，()9,9b =-，那么a 在a b +方向上的投影为〔〕
A ．
165 B ．
335
C ．
1613
D ．
3313
【答案】C 【详解】 因为()()()4,39,95,12a b +=
+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为
(
)cos ,a a b a a a
b a b
⋅++=
+4,35,121613
⋅-==.
9．在ABC ∆
中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b =
=，
那么a =〔〕
A ．2
B C ．D 【答案】D 【解析】 依题意11
sin 1sin 60322
S
bc A c ==⋅⋅=4c =，由余弦定理得4cos6013a ==.
10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+假设2sin sin sin B C A ⋅=，
那么ABC ∆的形状是〔〕 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形
【答案】C 【详解】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2
+c 2
＝a 2
+bc ．
那么：2221222
b c a bc cosA bc bc +-===，
由于：0＜A ＜π， 故：A 3
π
=
．
由于：sin B sin C ＝sin 2
A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2
， 所以：b 2
+c 2
﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，
所以：△ABC 为等边三角形． 应选C ．
11．圆()()
22
128x y -++=上到直线03=++y x 的点的个数为〔〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【详解】
解：由题意，圆心坐标为〔1，−2〕，半径为
∴圆心到直线03=++y x 的间隔为2=d ，
∴圆
()()
2
2
128x y -++=上到直线03=++y x 的点一共有3个.
应选：C
12．如图，等边ABC ∆的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB
中点，那么OA OM ⋅的最大值为〔〕
A ．
B ．
5
2
+C ．
72
D ．32
+
【答案】B 【详解】
设OBC θ∠=，那么()()B
2,0,?0,2cos C sin θθ,A 22,233cos cos sin ππθθθ⎛
⎫⎛⎫
⎛
⎫-+
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭, M 2,33cos cos sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭,
2242633cos cos cos cos ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+223sin πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
221246?24632cos cos cos cos cos cos πθθθθθθθ⎛⎫⎛
⎫=+-+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
其中tan θ
=
∴OA OM ⋅
的最大值为5
2
应选B. 二、填空题 13．数列
{}n a 的前n 项和2n S n =，那么4
a
=_______.
【答案】7 【详解】 由题得4
431697a S S =-=-=.
故答案为：7
14．两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的间隔是____________________．
【答案】
20
【解析】
在直线x ＋3y －4＝0上取点P(4，0)，那么点P(4，0)到直线2x ＋6y －9＝0的间隔d 即为两平行直线之间的
间隔．d
20＝
15．向量(3,2)a
=-，(,1)b x y =-且a ∥b ，假设,x y 均为正数，那么
32x y
+的最小值是_________.
【答案】8
试题分析：由a ∥b 得3(1)2233y x x y
-=-⇒+=，因此
3232231491()(12)(128
333x y x y x y x y y x ++=+=++≥+=，当且仅当49x y y x =时取等号 16．过点()5,0P
-作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，点
()3,11N ，那么MN
的取值范围是______.
【答案】13⎡⎣
【分析】 先将直线化为()()2430--+--=m
x y x y ，可知直线过定点()1,2Q -，可得M 在以PQ 为直径
的圆上运动，求出圆心和半径，由圆的性质即可求得最值. 【详解】 由直线
()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，
令24030x y x y --=⎧⎨
--=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM
∆为直
角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P
-可知以PQ 为直径的圆圆心
为()2,1C
--，半径为=
=r
那么MN 的取值范围
-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13=
=CN ，
所以
MN
的取值范围是13⎡+⎣
.
故答案为：13⎡⎣
.
三、解答题
17．直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=. 〔1〕当a 为何值时，直线l 与1l 平行；
〔2〕当直线l 与圆C 相交于A ，B
两点，且AB =l 的方程.
【答案】〔1〕1a =；〔2〕7140x y -
+=或者20x y -+=. 【详解】
解：〔1〕当0a ≠时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a
=-，由两直线平行可知， 1a a
-=-，解得1a =或者1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意， 当1a =-时，l ：20x y -+
-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意；
综上所述：1a =.
〔2〕由题意知，C ：()2244x y +-=，那么圆的半径2r ，圆心为()0,4C ，
那么圆心到直线l
的间隔d =
由AB ==()2242214a a +-+=
整理得，2870a a ++=，解得7a =-或者1a =-.
故所求直线方程为7140x y -
+=或者20x y -+=. 18
．函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭. 〔1〕求()f x 的最小正周期和单调增区间；
〔2〕求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围. 【答案】〔1〕T π=；〔2〕,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；〔3〕3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 〔1
〕2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝
⎭
所以T π=．由222262k x k π
π
π
ππ-+≤-≤+，得,63k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈，
所以函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
. 〔2〕由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
． 19．函数()()224f x x mx m m R =-+-∈.
〔1〕当1m =时，求不等式()0f x ≥的解集；
〔2〕当2x >时，不等式
()1f x ≥-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】〔1〕
(][),12,-∞-⋃+∞〔2〕(],6-∞ 【详解】
〔1〕因为1m =，所以
()22f x x x =--. 所以220x x --≥，即()()210x x -+≥，
解得1x ≤-或者2x ≥.
故不等式()0f x ≥的解集为(][),12,-∞-⋃+∞.
〔2〕当2x
>时，不等式()1f x ≥-恒成立等价于232x m x -≤-在()2,+∞上恒成立. 因为2x >，所以20x ->，
那么()()()222421312446222x x x x x x x -+-+-==-++≥=---. 当且仅当122
x x -=-，即3x =时，等号成立. 故m 的取值范围为(],6-∞.
20．数列{}n a 为正项等比数列，满足3
4a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足
221log log n n n b a a +=+.
〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
〔2〕假设数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足1
41n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】〔Ⅰ〕12n n
a -=，21n
b n =-；〔Ⅱ〕21
n n T n =+ 【详解】 解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得 256466a a a q q +=⇒+=解得2q =或者3q =-〔舍〕 又3141a a =⇒=所以1112n n n a a q --==
(Ⅱ)()
()121212
2n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===． ∴21
1114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭
， ∴11111112335212121
n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21．如图，在四边形
ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =. 〔1〕假设15ABC
︒∠=，求DC ； 〔2〕记ABC
θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.
【答案】〔1；〔2〕6- 【详解】
〔1〕在四边形
ABCD 中，因为AD AB ⊥，120BCD ∠=，15ABC ︒∠= 所以135ADC ︒∠=，
在ACD ∆中,可得906030CAD ︒
︒︒∠=-=，135ADC ︒∠=，2AC =
由正弦定理得:sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠,解得：CD =.
〔2〕因为60CAB ∠=，AD AB ⊥可得30CAD ∠=,
四边形内角和360得150ADC
θ∠=-， ∴在ADC ∆中，()()
21sin 30sin 150sin 150DC DC θ
θ=⇒=--. 在ABC ∆中，2
sin 60sin BC BC θ=⇒=
，
3344== )343
604
=+, 当75θ=时，S 取最小值6-
22．数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121
111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+〔2n ≥且n *∈N 〕. 〔1〕求{}n a 的通项公式；
〔2〕〔i 〕求证：
111n n n n c a c a +++=〔2n ≥且n N ∈〕； 〔ii 〕求证：2311151113
n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)21n n
a =-;(2)证明见解析 【详解】
(1)将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.所以12n n
a +=,即21n n a =- (2)(i)证明：因为121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+,故1112111111n n n n n n n
c c a a a a a a a ++-=++⋅⋅⋅++=+.
即111n n n n c c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=⋅即111n n n n c a c a +++=〔2n ≥且n N ∈〕.证毕. (ii)由题111c a ==,221
11c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时111n n n n c a c a +++=. 故322323*********n n n c c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 1211211111111121212121n n n n a a a a --=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----. 即证明12111115212121213
n n -++⋅⋅⋅++<----. 先证明21112132
n n -≤⋅-()2,n n N +≥∈, 即证当()2,n n N +≥∈时2211
132212132n n n n --≤⋅⇔⋅≤-⇔-
2223242121n n n ---⋅≤⨯-⇔≥显然成立.故
21112132n n -≤⋅-()2,n n N +≥∈. 所以121121********* (2121212133232)
n n n --++⋅⋅⋅++≤++⋅++⋅---- 11111132215215111132332312n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-成立.。