苏教版高中数学必修四任意角、弧度弧度学案

弧度制导学案
一、学习目标
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式||l
r
α=
（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、学习重、难点
弧度与角度之间的换算；
弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、预习导引 （一）问题情境
复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o
角的？（初中时把一个周角的
1360
记为1o
） 1．在本章引言中，考虑用（r , l ）来表示点P,那么r , l , α之间具有怎样的关系。

2．在本章将学习三角函数，函数自变量必须为实数，而我们学习的角用度来表示，显然不能作为三角函数的自变量，如何用实数来表示角。

（二）研讨新知 1．弧度制的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、
2
r
的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是： 2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度的绝对值是r
l =
||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的
度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
4||4l r r r
παπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算
3602π=o
rad 180π=o
rad
180
1π
=
︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180
(
π
5718'≈o
4．弧长公式：
在弧度制下，弧长公式又如何表示？
因为||l r
α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．
5．扇形面积公式：扇形面积公式为：22||1222
l
r S r r lr αππππ=⋅==．
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；
②以上公式中的α必须为弧度单位．
四、典例练讲------数学应用
（一）角的角度制与弧度的相互转化 例1把下列各角从弧度化为度：
（1）3
5π (2) 3.5 (3) 2 (4)4
π
例2把下列各角从度化为弧度：
(1)0
252 （2）0
/
1115 (3) 0
30 (4)'3067︒
（二) 用弧度制分别表示轴线角、象限角、终边相同的角等角的集合 例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x 轴的正、负半轴，y 轴的正、负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

解：（1）终边落在x 轴的正半轴的角的集合为 ；
x 轴的负半轴的角的集合为 ；
终边落在y 轴的正半轴的角的集合为 ；
y 轴的负半轴的角的集合为 ；
所以，终边落在x 轴上的角的集合为 ；
落在y 轴上的角的集合为 。

（2）第一象限角为 ；
第二象限角为 ；
第三象限角为 ；
第四象限角为 ．
用弧度和角度分别表示阴影部分的角（不含边界）的集合：
o
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。

（1）193
π； （2）0
315-；（3）0
1485-；（4）0
1500-。

（三）弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 例5 已知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

引申题 已知扇形的周长为8cm ，求半径为多大时，该扇形的面积最大，并求圆心角的
弧度数.
五、课堂反馈
巩固练习（一）课本P.9练习 反馈矫正（二）补充题
1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
的关系是 （ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对。

2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B I 等于（ ） （A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤
（C ）{}|0ααπ≤≤
（D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤
3．圆的半径变为原来的1
2
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

4．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB ，AB 所对的圆心角α
的弧度数为 ． 六、归纳总结
O
A
B 1． 弧度制的定义；
2． 弧度制与角度制的转换与区别；
3． 牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
4． 由||l r α=将12
S lr =转化成21||2S r α=，利用这个S 与r 的二次函数关系求出扇形面积的最值。

七、课后检测
1．在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。

2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45o
，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
4． 如图，扇形OAB 的面积是2
4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

八、感悟和体会。