高中数学复习方略课时提升作业：选修411全等与相似(北

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课时提升作业(七十四)
一、选择题
1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,则图中相似三角形的对数为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;
③=;④AC2=AD·AB,其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.如图,在平行四边形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△CDF的面积为( )
(A)12 (B)24 (C)18 (D)54
二、填空题
4.如图,已知D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,则AE= .
5.(2013·西安模拟)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC内接
于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于.
6.(2013·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,
过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则
AF= .
三、解答题
7.已知如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D是垂足,求证:BC2=2CD·AC.
8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF.
9.(2013·宿州模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.
(1)求证:A,E,F,D四点共圆.
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
10.如图,在▱ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF 相交于点M.
(1)试说明:AE⊥BF.
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以证明.
11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E,F是BC边上的两点,∠EAF=45°.
求证:EF2=BE2+CF2.
12.如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB.
(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.
答案解析
1.【解析】选B.根据条件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC.
2.【解析】选C.①②利用有两角分别对应相等的两个三角形相似;③两边对应成比例不能判断两个三角形相似;④利用有一角相等且此角的两边对应成比例的两个三角形相似.
3.【解析】选D.由题设,AE∶EB=1∶2,
∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3.
又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF,
∴==.
又∵△AEF的面积为6,
∴S△CDF=9S△AEF=54,故选D.
4.【解析】∵AE∥BC,D为AC的中点,
∴AE=CF,==.
设AE=x,
又BC=8,∴=,
∴x=4,∴AE=4.
答案:4
5.【解析】设正方形边长为x,则由△AFE∽△ACB,可得=,即=,所以x=,于是AF∶FC=1∶2.
答案:1∶2
6.【解析】设AE=x,
∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°.
又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=x,
∴==.
在Rt△AEF与Rt△BEC中,
∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,
∴△AEF∽△BEC,∴=,
∴AF=4×=.
答案:
7.【证明】过点A作AE⊥BC,垂足为E, ∴CE=BE=BC.
由BD⊥AC,AE⊥BC,
又∵∠C=∠C,
∴△AEC∽△BDC,
∴=,∴=,
即BC2=2CD·AC.
8.【解析】∵AD∥BC,∴===.
∴=.∵OE∥AD,∴==,
∴OE=AD=×12=,
同理可得OF=BC=×20=,
∴EF=OE+OF=15.
9.【解析】(1)∵AE=AB,∴BE=AB.
∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四点共圆.
(2)取AE中点G,连结GD,
则AG=GE=AE.
∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,
AD=AC=,∠DAE=60°.
∴△AGD为正三角形,∴GD=GA=AD=,
即GA=GE=GD=,∴G是△AED外接圆圆心. 且圆G的半径为,
∵A,E,F,D四点共圆,
即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.
10.【解析】(1)∵在▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,
∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF,
∴2∠BAE+2∠ABF=180°,
即∠BAE+∠ABF=90°,
∴∠AMB=90°,∴AE⊥BF.
(2)线段DF与CE是相等关系,即DF=CE. ∵在▱ABCD中,CD∥AB,
∴∠DEA=∠EAB.
又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,
∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD.
同理CF=BC.
又∵在▱ABCD中,AD=BC,
∴DE=CF,
∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE.
11.【证明】如图,以AE为边作△AEG≌△AEB,连接FG.
∵△AEG≌△AEB,
∴∠1=∠2,∠5=∠B=45°,
AG=AB=AC.
∵∠1+∠3=∠EAF=45°,
∠BAC=90°,∴∠2+∠4=45°,∴∠3=∠4.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,
∴∠6=∠C=45°.
∴∠EGF=∠5+∠6=45°+45°=90°,
∴△EFG是直角三角形,
∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2.
12.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,
∴=()2=,=()2=.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,
∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
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