jindai22数论

注：设A是一个环，S是A的一个子环； （1）若A有单位元，S可以没有单位元； （2）若S有单位元，A可以没有单位元； （3）若A与S都想
1．理想 定义2：设A为环，I为A的非空子集，如果I满足： （1）∀a，b ∈I，a－b ∈ I； （2）∀a∈I 和 ∀x∈A，有ax，xa ∈ I； 则称I为环A的一个理想. {0}与A本身这两个理想称为A的平凡理想. 在整数环Z中，任意取定m∈Z，则 I={mn|n∈Z}是Z的理想. 在域F上多项式环F[x]中，任意取定f(x)∈F[x]， 则I={g(x)f(x)|g(x)∈F[x]}是F[x]的理想.
例2：在所有 2阶整数方阵做成的环 M 2 ( Z )中， （ ）所有元素恒为偶数的 方阵集合 A 是 M 2 ( Z ) 1 的一个理想； ⎛ a 0⎞ ⎟ （2 ）所有形如 ⎜ ⎜ b 0 （ a ， b 为整数）的矩阵的 ⎟ ⎝ ⎠ 集合 B 是 M 2 ( Z )的子环，但 B 不是 M 2 ( Z )的理想 .
命题4：设A为环，I是A的理想，则：
（1 0 = I 为 A / I 的零元； ）
）若 A 有单位元 1，且 1 ∉ I ，则 （2 1 = 1 + I 为 A / I 的单位元；
（3）如果A是交换环，则A/I也是交换环.
例3 P127，例3 .2 .5 （ ）： 设n ∈ Z，n > 1，n) = {nr | r ∈ Z}， ( 则Z /( n) = {a = a + ( n) | a = 0，，， ，n − 1} 1 2L = { 0，， ， − 1} = Z n . 1 L n
§6.2
一．子环 二．理想 三．商环 四．环的同态
子环、理想和商环
一．子环
定义1（P123，定义3.2.1）：设（A，＋，·） 是一个环，S是A的一个非空子集；若S对＋ 和·也构成一个环，则称S为A的一个子环，A 为S的一个扩环. 对于任意一个环A，都有两个子环：{0}与A. 这两个子环称为A的平凡子环. 命题1：设S是环A的一个非空子集，则 S是A的子环的充要条件是对任何a，b∈S， 有a－b∈S和ab∈S.
定义6（P130，定义3.3.2）：设f是环A到环A’的 一个同态，则A’的零元0’的全原象f－1(0’)称为f 的同态核，记作Kerf，即 Kerf = f－1(0)={x∈A | f(x)=0’}. 例7（P130，例3.3.1）：设A，A’是两个环， 定义映射f：x a 0’，对任何x∈A，则f是一个 A到A’的同态，且Kerf =A.
Gauss整数环Z[i]是复数域C的子环. Gauss整数环Z[i]是一个整环.
命题 2：对任一无平方因子的 整数 d (d ≠ 1)， 数集 Z[ d ] = {a + b d | a，b ∈ Z}是整环 .
例1：在实数域 R 上的 2阶全矩阵环 ⎧⎛ a b ⎞ ⎫ M 2 (R ) = ⎨⎜ ⎜ c d ⎟ | a， b， c， d ∈ R ⎬中， ⎟ ⎠ ⎩⎝ ⎭ ⎧⎛ a b ⎞ ⎫ ⎧⎛ a 0 ⎞ ⎫ 令 S1 = ⎨ ⎜ ⎜ 0 0 ⎟ | a， b ∈ R ⎬， S 2 = ⎨⎜ 0 0 ⎟ | a ∈ R ⎬， ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎠ ⎩⎝ ⎭ ⎩⎝ ⎭ 则 S1， S 2 是 M 2 (R )的子环 .
注：一个理想一定是一个子环，但一个子环 不一定是一个理想.
2．主理想 定义3：设A是一个有单位元1的交换环，对 于任何a∈A，集合（a）={ra | r∈A}是一个 理想，它称为由a生成的主理想. 整数环的每个理想都是主理想. 设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是 一个主理想.
三．商环
命题3：设A是环，I是A的一个理想，
记a = a + I = {a + x | x ∈ I}，A / I = {a | a ∈ A }；
定义 " 模 I的加法 "为： a + b = a + b， a， b ∈ A；
定义" 模I的乘法"为： a b = ab，a，b ∈ A；
则（A/I，＋，·）是一个环. 定义4（P127，定义3.2.3）：设A是环，I是A 的一个理想，A作为加群关于I的商群A/I对模I 的加法与乘法所做成的环，称为A关于I的商环 或称为A模I的同余类环，仍记作A/I.
四．环的同态
定义5（P129，定义3.3.1）：设A和A’是两个环， 若有一个A到A’的映射f满足以下条件：对任何 a，b∈A，有f(a＋b)=f(a)＋f(b)，f(ab)=f(a)f(b)， 则称f是一个A到A’的同态. 环同态就是环之间保持运算的映射. 如果f是单射，则称f是一个单同态. 如果f是满射，则称f是一个满同态. 如果f是双射，则称f是A到A’一个同构.
注：（1）Z/(n)为域的充要条件是n为素数. （2）同一个记号Zn表示不同的意义： (i)当Zn看作是整数n的商群时，Zn中只有 加法一种运算； (ii)当Zn看作是整数n的商环时，Zn中有 加法和乘法两种运算. 例4：做出环Z关于(3)={3r|r∈Z}的商环Z/(3) 的加法和乘法运算表.
例5（P127，例3.2.4）：设F[x]是数域F上的 多项式环，p(x)=a0＋a1x＋…＋anxn，an≠0， H=（p(x)）={ f(x)p(x) | f(x)∈F[x]}，则 F[x]模H的商环为F[x]/（p(x)）={b0＋b1x＋… ＋bn－1xn－1＋H |b0，b1，…，bn－1∈F}. 例6：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法 的运算表.