第六节 边着色

(1) (an i , bn i )k
i
n i
所以结论成立.
f(G-e,k)=kn-an-1kn-1+an-2kn-2+…+(-1)na1k
和f(Guv,k)=kn-1-bn-2kn-2+bn-3kn-3+…+(-1)n-2 b1k 再由推论,有 f(G,k)=f(G-{u,v},k)-f(Guv,k)
n 1 i 2
=kn-(a
n-1
+1)kn-1+
第六节 边着色 定义1 图G的边着色对G的每一条边都指定一个 颜色，使得没有两个相邻的边都为同一种颜 色。如果这些颜色都取自一个有K种颜色的集 合，而不管这K种颜色是否都用掉，这样的边 着色称为K—边着色。
定义2 图G的边着色数是着色这个图G需要的最 少颜色数。记为’(G).
边着色转化为点着色的方法： 边着色可以转化为相应的点着色,即在边着色 图中,将所有的边对应地转化成点着色图中的结 点,结点转化成相应的边.因此,由点着色性质定理 不难得到如下定理. 定理1 若G是非空连通的简单图，G的最大顶点
完全图的色多项式 例1.对三阶完全图K3而言,有f(K3,k)=k(k-1)(k-2). 解:由于对K3中的任何指定一个顶点,可以用k种颜 色中的任何一种进行着色;对K3的第二个顶点,可 以用k-1种颜色中的任何一种进行着色;对K3的第 三个顶点,可以用k-2种颜色中的任何一种进行着 色.
一般地,对于P阶完全图， 有f(Kp,k)=k(k-1)(k-2)…(k-p+1)
证明:对边数进行归纳证明.显然,当=0时,定理成立.
这是因为n个顶点的空图的色多项式为kn.
假设定理对少于条边的图成立
设e是G的一条边,则G-e是有n个顶点-1条边的图,
Guv是有n-1个顶点和至少有-1条边的图.由归纳假设,
存在非负整数系数a1,a2,…,an-1和b1,b2,…,bn-2使得:
度为 ,则 ’(G) +1。（不证）
图的分类:据定理1,所有非空图集可以分成两类, 若’(G)= (G),则G为第一类图,否则称为第二 类图.
定理2
任意二分图G是第一类图。（不证）
K—着色问题:已知一个图G和k种颜色的集合:
{1,2,…,k},则存在图G的多少称为图G的色多 项式。记作f(G,k).
说明:(1)若k<x(G),此时k-着色不存在,显然有
f(G,k)=0,从而即知,满足f(G,k)>0的最小k 即为G 的色数. (2)设mi是i种颜色对图G的顶点进行着色的不同方 案数.用k(ki)种颜色对图G进行着色,每取i种
颜色时,共有miCki种不同的着色方案,故有: f(G,k)=m1Ck1+m2Ck2+…+ mnCkn,其中n为图G的顶 点数.显然, f(G,k)是k的多项式. 图的两种基本运算: (1)Guv 设u,v是图G的不邻接的两个顶点,把u,v收 缩成一个顶点x,并把G中凡与u,v关联的边均使之 与x关联,这样所得的新图。记作Guv. (2)G:e 把图G的一条边删去并使它的两个端点重 合,也即边e被收缩.这样得到的新图。记作G:e.
例1三阶完全图K3
有f(K3,k)=k(k-1)(k-2)
例2求图G的色多项式。
f(G,k)=k5+3k4+k
=k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)+3k(k1)(k-2)(k-2)(k-3)+k(k-1)(k-2)
=k5-7k4+18k3-20k2+8k
定理4.n阶图G的色多项式f(G,k)，其首项为kn，常数项为 零，此外系数的符号为正负相间.
定理3.设u,v是G的两个不相邻的顶点则 f(G,k)=f(G+{u,v},k)+f(G:uv,k) 推论 设e={u,v}是图G的边，则 f(G,k)=f(G-e,k)-f(G:e,k) 说明:定理3表明,若G是有P个顶点和q条边的图,则 有一个q+1条边的图G1=G+{u,v}(u与v不相邻接) 和一个有P-1个顶点的图G2=Guv,使 f(G,k)=f(G1,k)+f(G2,k). 对G1和G2依次类推,直到只出现完全图为止.因此, 一个图的色多项式f(G,k)是f(Kn,k)型的表达式 的和.