高数及答案

2009年高数及答案
2009福建数学试题（文史类）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}|0.|3A x x B x x =>=<，则A B 等于 A ．{|0}x x < B. {|03}x x << C . {|4}x x > D R
解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.
解法1 利用数轴可得容易得答案B.
解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A 中，也在集合B 中，故选B.
2. 下列函数中，与函数y x =
有相同定义域的是 A .()ln f x x
= B.1()f x x = C. ()||f x x = D.()x f x e =
解析 由y x =
可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x
=的定义域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x
x R f x e ∈=定义域是x R ∈。

故选A. 3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组
的频数如下表 组
别
(0,10] (20,20] (20,30) (30,40) (40,50] (50,60] (60,70] 频
数 12 13
24 15 16 13 7 则样本数据落在(10,40)上的频率为
A. 0.13
B. 0.39
C. 0.52
D. 0.64
解析 由题意可知频数在(]10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数÷
4. 若双曲线()22
2213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于
3C. 32
D. 1 解析 由22223123x y a a +-===c 可知虚轴b=3，而离心率e=a ，解得
a=1或a=3，参照选项知而应
选D.
5. 如右图，某几何体的正视
图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2。

则该集合体的俯视图可以是
解析 解法1 由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是12，知其是立方体的一半，可知选C.
解法2 当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积是21424S πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，高为1，则体积是4
π；当俯视是C 时，该几何是直三棱柱，故体积是1
111122
V =⨯⨯⨯=，当俯视图是D 时，该几何是圆柱切割而成，其体积是2
1
1144V ππ=⨯⨯=.故选C. 6. 阅读图6所示的程序框图，运行
相应的程序，输出的结果是
A ．-1 B. 2 C.
3 D. 4
解析当1,2n S ==代入程序中运行第一
次是1S =-，然后赋值此时2n =；返回
运行第二次可得111(1)2
S ==--，然后赋值3n =；再返回运行第三次可得1
21
12S ==-，然后赋值4n =，判断
可知此时2S =，故输出4n =，故选D 。

7. 已知锐角ABC ∆的面积为334,3BC CA ==，
则角C 的大小为
A. 75°
B. 60°
B. 45° D.30°
解
析 由正弦定理得113··sin C 3343sin C sin C 22S BC CA =⇒=⨯⨯⨯⇒=注意到其是锐
角三角形，故C=60°，选B
8. 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是
A ．21y x =+
B. ||1y x =+
C. 321,01,0
x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩ D ．,,0x x e x o y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩
解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到
要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增。

而函数21y x
=+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数⎩⎨⎧++=0
,10,123 x x x x y 在（]0,∞-上单调递减，理由如下y ’=3x 2>0(x<0),故函数
单调递增，显然符合题意；而函数
⎪⎩⎪⎨⎧≥=-0,0, x e x e y x x ，有y ’=-x e -<0(x<0),故其在（]0,∞-上单调递减，不符
合题意，综上选C 。

9. 在平面直角坐标系中，若不等式组1010
10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α
为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线
恒过（0，1），故看作直线绕点（0，
1）旋转，当a=-5时，则可行域不是
一个封闭区域，当a=1时，面积是1；
a=2时，面积是23；当a=3时，面积恰好为2，故
选D.
10. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12
,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是
A. 1////m l βα且
B. 12
////m l l 且n C. ////m n ββ且 D. 2
////m n l β且 解析 要得到,//βα必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。

若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。

对于选项A ，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B ，由于1l 与2
l 时相交直线，而且由于1l //m 可得α//2l ，故可得,//βα，充
分性成立，而βα//不一定能得到1l //m ，它们也可
以异面，故必要性不成立，故选B.对于选项C ，由于m,n 不一定的相交直线，故是必要非充分条件.对于选项D ，由2
//l n 可转化为C ，故不符合题意。

综上选B.
11. 若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差
的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是 A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
解析 ()41f x x =-的零点为x=4
1,()2(1)f x x =-的零
点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，
因为g(0)= -1,g(2
1)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21
),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

12. 设→a ，→b ，→
c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足→a 与→b 不共线，→a ⊥→c ∣→a ∣=∣→c ∣,则∣→b •→
c ∣的值一定等于 A ．以→a ，→
b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以→b ，→
c 为两边的三角形面积 C ．→a ，→
b 为两边的三角形面积 D. 以→b ，→
c 为邻边的平行四边形的面积 解析 假设→a 与→b 的夹角为θ，∣→b •→
c ∣=︱→b ︱·︱→c ︱·∣cos<→b ，→c >∣=︱→b ︱·︱→a ︱•∣cos(90
0±θ)∣=︱→b ︱·︱→a ︱•sin θ,即为以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 。

第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共
16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13. 复数()2i 1+i 的实部是 -1 。

解析 ()2
i 1+i =-1-I,所以实部是-1。

14. 点A 为周长等于3的圆周上的一个
定点，若在该圆周上随机取一点B ，
则劣弧AB 的长度小于1的概率
为 。

解析 如图可设1AB =,则1AB =,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。

15. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则
实数a 的取值范围是 . 解析 由题意该函数的定义域
0x >，由()1
2f x ax x '=+。

因为存在垂直于y 轴的切线，故此时
斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f
x ax x
'=+存在零点。

解法 1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1
h x x =存在交点。

当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。

解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x +=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x =-∈-∞
16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。

解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递
增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次
17．(本小题满分12分） 等比数列{}n
a 中，已知1
4
2,16
a a
==
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）若3
5
,a a 分别为等差数列{}n
b 的第3项和第
5项，试求数列{}n
b 的通项公式及前n 项和n
S 。

解：（Ⅰ）设{}n
a 的公比为q
由已知得3
162q =，解得2q =
（Ⅱ）由（I ）得2
8
a
=，5
32
a
=，则3
8b =，5
32
b
=
设{}n
b 的公差为d ，则有
1128432
b d b d +=⎧⎨
+=⎩解得
116
12
b d =-⎧⎨
=⎩
从而1612(1)1228
n
b
n n =-+-=-
所以数列
{}
n b 的前n
项和
2(161228)
6222
n n n S n n
-+-=
=-
18．（本小题满分12分）
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下： （红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、
黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A 事件A 包含的基本事件为：（红、红、
黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A 包含的基本事件数为3
由（I ）可知，基本事件总数为8，所
以事件A 的概率为3
()8P A =
19．（本小题满分12分）
已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2
πϕ< （Ⅰ）若cos cos,sin sin 0,44
ππ
ϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的
相邻两条对称轴之间的距离等于3
π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

解法一：
（I ）由3cos cos sin sin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044
ππϕϕ-= 即cos()04πϕ+=又||,24
ππϕϕ<∴= （Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+ 依题意，23
T π= 又2,T πω
=故3,()sin(3)4
f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所
对应的函数为
()sin 3()4g x x m π⎡⎤
=++⎢⎥
⎣
⎦
()g x 是偶函数当且仅当3()42
m k k Z ππ
π+=+∈
即()3
12
k m k Z ππ
=+∈ 从而，最小正实数12m π
=
解法二： （Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+ 依题意，23
T π= 又2T π
ω=，故3,()sin(3)4
f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应
的函数为()sin 3()4
g x x m π⎡⎤
=++⎢⎥⎣
⎦
()
g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x R ∈恒成立
亦即sin(33)sin(33)44
x m x m ππ
-++=++对x R ∈恒成立。

sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44x m x m ππ
∴-++-+
sin 3cos(3)cos3sin(3)44
x m x m ππ
=+++
即2sin 3cos(3)04x m π+=对x R ∈恒成立。

cos(3)0
4
m π
∴+=
故3()42
m k k Z ππ
π+=+∈ ()312
k m k Z ππ
∴=
+∈
从而，最小正实数12m π
=
20．（本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒
∠=，2,4
AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD
（Ⅰ）求证：AB DE ⊥
（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒
==∠=
222
2
2
22cos 23
,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE
∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥ 又平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBD
DF ⊂
平面,EBD AB DE ∴⊥
（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥ 在Rt DBE ∆中，2
3,2
DB DE DC AB ====
1232
ABE
S DB DE ∆∴=⋅= 又AB ⊥平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥
14,42ABE
BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,
DE BD ⊥平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面
ABD
而AD ⊂平面1
,,42
ADE
ABD ED AD S
AD DE ∆∴⊥∴=
⋅=
综上，三棱锥E ABD -的侧面积，823S =+ 21．（本小题满分12分）
已知函数3
21
(),
3
f x x ax bx =++且'(1)0f -=
（Ⅰ）试用含a 的代数式表示b ；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1
2
1
2
,()x x x x <处取得极
值，记点1
1
2
2
(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()
f x 存在异于M 、N 的公共点； 解法一：
（Ⅰ）依题意，得2
'()2f x x
ax b
=++
由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-
（Ⅱ）由（Ⅰ）得3
21
()(21)3
f x x ax a x
=++-
故2
'()221(1)(21)
f x x
ax a x x a =++-=++-
令'*()0f x =，则1x =-或12x a =- ①当1a >时，121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表： x
(,12)
a -∞-
(2,1)
a --
(1)
-+∞
'()f x
+ — +
()
f x 单调递增
单调递减 单调递增
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --
②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：
当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；
当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --
（Ⅲ）当1a =-时，得3
21
()33
f x x x x
=-- 由3
'()230
f x x
x =--=，得1
2
1,3
x x
=-=
由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)- 所以函数()f x 在1
2
1.3
x x
=-=处取得极值。

故5
(1,).(3,9)3
M N -- 所以直线MN 的方程为813
y x =--
由
22133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
得3
2330
x x x --+=
令3
2()33
F x x
x x =--+
易得(0)30,(2)30F F =>=-<，而()F x 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，
故()F x 在(0,2)内存在零点0
x ，这表明线段MN 与
曲线()f x 有异于,M N 的公共点 解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当1a =-时，得3
21()33f x x x x
x =--，由2
'()230
f x x
x =--=，
得1
2
1,3
x x
=-=
由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在1
2
1,3
x x
=-=处取得
极值，
故5(1,),(3,9)3
M N -- 所以直线MN 的方程为813
y x =-- 由
32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
得3
2330
x
x x --+=
解得1
2
31, 1.3
x x
x =-== 12331211
35119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪
∴⎨⎨⎨
=-==-⎩⎪⎪⎩⎩
所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11
(1,)3
- 22．（本小题满分14分） 已知直线220x y -+=经过椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶
点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C
上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10
:3
l x =分别交于,M N 两点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值； （Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得TSB ∆的面积为15
？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由 解法一：
（Ⅰ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==
故椭圆C 的方程为
2
214
x y +=
（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可
设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33
k M 由
22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2
2
22(14)16164k x
k x k +++-=
设1
1
(,),S x y 则
212
164
(2),14k x k --=
+得
2
12
2814k x k -=
+，从而12
414k y
k =
+
即222
284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B
由
1(2)4103y x k x ⎧
=--⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
101(,)
33N k
∴-
故161||33k MN k
=+
又161
1618
0,||2
33333
k k k MN k k >∴=+≥⋅=
当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立 1
4
k ∴=
时，线段MN 的长度取最小值83
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，14
k = 此时BS 的方程为6442
20,(,),||555
x y s BS +-=∴=
要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于24，所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于2
4的直线l 上。

设直线':10l x y ++= 2
2=解得3
2t =-或。