2019-2020学年北师大版数学选修2-2讲义：第1章 §2 2.1 综合法 Word版含答案

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§2综合法与分析法
2.1 综合法
学习目
标核心素养
1．了解综合法的思考过程、特点．（重点）
2．会用综合法证明数学命题．（难点）1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习,培养逻辑推理的核心素养．
2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.
1．综合法的定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:
错误!→错误!→错误!→…→错误!
思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？
［提示］综合法是由因导果的顺推思维．
1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的（）A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
[答案］B
2．在△ABC中,若sin A sin B<cos A cos B,则△ABC一定是( )
A．直角三角形B．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
C [由条件可知cos A cos B －sin A sin B ＝cos （A ＋B ）＝－cos C 〉0，即cos C 〈0，∴C 为钝角,故△ABC 一定是钝角三角形．]
3．命题“函数f （x ）＝x －x ln x 在区间（0,1）上是增函数"的证明过程“对函数f (x ）＝x －x ln x 求导，得f ′（x )＝－ln x ，当x ∈(0，1）时，f ′（x ）＝－ln
x >0,故函数f （x ）在区间（0,1）上是增函数”，应用了________的证明方法．
综合法 ［证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]
用综合法证明三角问题
－c )sin B ＋（2c －b ）sin C 。

（1)求证：A 的大小为60°；
（2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明:△ABC 为等边三角形．
思路探究：（1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A 。

（2）结合(1）中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°。

［证明］ (1）由2a sin A ＝（2b －c ）sin B ＋（2c －b )sin C ， 得2a 2＝（2b －c ）b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2,
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc
＝错误!,
所以A ＝60°.
(2)由A ＋B ＋C ＝180°,得B ＋C ＝120°，
由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B ）＝3， sin B ＋(sin 120°cos B －cos 120°sin B ）＝错误!，
错误!sin B ＋错误!cos B ＝错误!，
即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B <120°，
所以30°<B＋30°<150°，
所以B＋30°＝90°，即B＝60°，
所以A＝B＝C＝60°，
即△ABC为等边三角形．
证明三角等式的主要依据
1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．
2．和、差、倍角的三角函数公式．
3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理．
4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．
1．若sin θ，sin α,cos θ成等差数列,sin θ,sin β,cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.
［证明］∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列，
∴sin θ＋cos θ＝2sin α①
又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列，
∴sin2β＝sin θcos θ②
将②代入①2，得1＋2sin2β＝4sin2α,
又sin2β＝错误!，sin2α＝错误!,
∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α，
即2cos 2α＝cos 2β.
用综合法证明几何问题
证：
（1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可;
(2)根据面面垂直的判定定理,欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．
[证明］(1）因为E，F分别是AB,BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，又EF平面ACD,AD平面ACD,所以直线EF∥平面ACD.
(2）因为AD⊥BD,EF∥AD，所以EF⊥BD.
因为CB＝CD，F是BD的中点,所以CF⊥BD。

又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.
因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD。

证明空间位置关系的一般模式
本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的,故证明空间位置关系问题,也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律,转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．
2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a,AB＝2a,E，F分别为C1D1,A1D1的中点．
（1)求证:DE⊥平面BCE；
(2）求证:AF∥平面BDE.
[证明]
（1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE侧面CDD1C1，∴DE⊥BC。

在△CDE中，CD＝2a,CE＝DE＝错误!a，则有CD2＝DE2＋CE2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC。

又∵BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.
（2）连接EF,A1C1，设AC交BD于点O，连接EO，
∵EF错误!A1C1，AO错误!A1C1,
∴EF AO，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴AF∥OE.
又∵OE平面BDE，AF平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
用综合法证明不等式
1．综合法证明不等式的主要依据有哪些?
[提示］(1)a2≥0（a∈R）．
(2）a2＋b2≥2ab,错误!错误!≥ab,a2＋b2≥错误!.
(3）a,b∈(0，＋∞）,则错误!≥错误!，特别地，错误!＋错误!≥2．
（4)a－b≥0⇔a≥b；a－b≤0⇔a≤b。

(5）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

(6）错误!＋错误!≥2（a，b同号，即ab〉0）．
（7)｜|a｜－|b|｜≤|a＋b|≤|a|＋｜b｜(a,b∈R）．
左边等号成立的条件是ab≤0,右边等号成立的条件是ab≥0.
2．使用基本不等式证明不等式时,应该注意什么？请举例说明．
［提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性;③不等式的适度，如下例．
［题］已知，a，b∈（0，＋∞)，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!。

若直接使
用基本不等式，错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!，而错误!＋错误!≥2错误!.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：
［证明］∵a〉0，b>0,
∴错误!＋错误!≥2错误!，错误!＋错误!≥2错误!，
∴错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥2错误!＋2错误!，
即错误!＋错误!≥错误!＋错误!。

【例3】已知x>0，y>0,x＋y＝1，求证：错误!错误!≥9。

思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明．
[证明］法一:因为x〉0，y〉0,1＝x＋y≥2错误!，
所以xy≤错误!。

所以错误!错误!＝1＋错误!＋错误!＋错误!
＝1＋错误!＋错误!＝1＋错误!≥1＋8＝9.
法二:因为1＝x＋y，
所以错误!错误!＝错误!错误!
＝错误!错误!＝5＋2错误!。

又因为x>0,y>0，所以错误!＋错误!≥2，
当且仅当x＝y时，取“＝"．
所以错误!错误!≥5＋2×2＝9。

1．本例条件不变，求证：错误!＋错误!≥4.
[证明] 法一：因为x，y∈（0,＋∞)，且x＋y＝1，
所以x＋y≥2错误!，当且仅当x＝y时,取“＝”，
所以错误!≤错误!,即xy≤错误!，
所以错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥4.
法二:因为x，y∈（0，＋∞），
所以x＋y≥2错误!〉0，当且仅当x＝y时，取“＝",
错误!＋错误!≥2错误!>0，
当且仅当1
x
＝错误!时,取“＝”，
所以（x ＋y )错误!≥4.
又x ＋y ＝1，所以1
x
＋错误!≥4.
法三：因为x ，y ∈(0，＋∞），所以错误!＋错误!＝错误!＋错误! ＝1＋错误!＋错误!＋1≥2＋2 错误!＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．
2．把本例条件改为“a 〉0，b >0,c >0”且a ＋b ＋c ＝1,求证：ab ＋bc ＋ac ≤错误!。

[证明] ∵a 〉0，b >0，c 〉0， ∴a 2＋b 2≥2ab ,
b 2＋
c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac 。

∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 。

∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab ＋bc ＋ac )． 又∵a ＋b ＋c ＝1， ∴ab ＋bc ＋ac ≤13。

综合法的证明步骤
1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．
2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
1．综合法的基本思路
综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理,最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
2．综合法的特点
(1）从“已知"看“可知"，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．
(2）证明步骤严谨,逐层递进，步步为营，条理清晰,形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．
（3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：
1．判断（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）综合法是由因导果的顺推证法．
(2）综合法证明的依据是三段论．
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )
（1）√(2）√(3）√［（1）正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2）正确．综合法的逻辑依据是三段论．
(3）正确．综合法从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．］
2．已知直线l,m,平面α，β,且l⊥α，mβ,给出下列四个命题：①若α∥β,则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β,则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是( ）
A．1 B．2
C．3 D．4
B［若l⊥α，α∥β,则l⊥β，又mβ,所以l⊥m,①正确；
若l⊥α，mβ,l⊥m，α与β可能相交，②不正确;
若l⊥α,mβ,α⊥β，l与m可能平行,③不正确；
若l⊥α,l∥m，则m⊥α,又mβ，所以α⊥β,④正确．］
3．已知p＝a＋1
a－2
（a>2），q＝2－a2＋4a－2(a〉2),则p与q的大小关系是________．
p〉q[p＝a－2＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4,
－a2＋4a－2＝2－（a－2)2〈2，∴q〈22＝4≤p。

]
4．数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝错误!S n（n＝1，2，3,…)．求证:
（1)数列错误!为等比数列；
（2)S n＋1＝4a n。

[证明］(1)∵a n＋1＝错误!S n，而a n＋1＝S n＋1－S n,
∴错误!S n＝S n＋1－S n,
∴S n＋1＝错误!S n,
∴错误!＝2，
又∵a1＝1，
∴S1＝1,∴错误!＝1，
∴数列错误!是首项为1,公比为2的等比数列．
(2)由（1）知错误!的公比为2,而a n＝错误!S n－1（n≥2）,
∴错误!＝4错误!＝错误!·错误!，
∴S n＋1＝4a n.。