海南省2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题_理(含解析)AwnlwH

海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期末考试理科数学
（时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答
案的代号，涂在答题卡上）。

1．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )， 则下列说法中不正确的是（ ）
A ．由样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
必过样本点的中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2
来刻画回归效果，R 2
的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝ －0.936 2，则变量y 和x 之间具有线性相关关系
2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有（ ） A ．24种
B ．18种
C ．12种
D ．6种
3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648 B ．0.432
C ．0.36
D ．0.312
4．在x (1＋x )6
的展开式中，含x 3
项的系数为（ ） A ．30
B ．20
C ．15
D ．10
5．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ） A ．
10
3 B ．92 C ．87
D ．
9
7
6．已知关于x 的二项式n x
a
x )(3
+展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则a
的值为（ ） A ．1
B ．1±
C ．2
D ．2±
7．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1 (n ＝1、2、3、4)，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫94
<X <134的
值为（ ） A ．2
3
B ．3
4
C ．4
5
D ．516
8．如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A ．72
B ．96
C ．108
D ．120
9．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2
(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区
间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,
(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）
A ．13.59%
B ．14.56%
C ．27.18%
D ．31.74%
10．方程ay ＝b 2x 2
＋c 中的a ，b ，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示
的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A ．60条 B ．62条
C ．71条
D ．80条
11．设m 为正整数,(x+y)2m
展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)
2m+1
展开式的二项式系数的最大值为b,
若13a=7b,则m= ( ) A ．5
B. 7
C. 6
D ．8
12．定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数
)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上） 13．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有 种． 14．曲线2
y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 ．
15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a = ． 16．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个
点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。

17.（本小题满分10分）某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据： （1）求回归直线方程；
（2）试预测广告费支出为10百万元时，
销售额多大？
1 4
5
2 3
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
附：回归方程a t b y
ˆ+ˆ=ˆ中
∑
∑∑
∑
1
=2
21
=1
=2
1
= =
)())((=
n
i i n
i i
i n
i i
n i i
i
x －n x y x －n y x x －x y －y x －x b ，
x －b y a =
18．(本小题满分12分) 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观
众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷 合计 男
女
10 55 合计
附：K 2
＝
n ad －bc 2
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
.
P (K 2≥k )
0.05 0.01 k
3.841
6.635
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1
名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立
的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．
19. （本小题满分12分）设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠.
（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值点与极值.
20.（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体
健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). （1）从这15天的数据中任取3天
的数据，记ξ表示空气质量达 到一级的天数，求ξ的分布列； （2）以这15天的PM2.5日均值来
估计这360天的空气质量情况, 则其中大约有多少天的空气质 量达到一级.
21.（本小题满分12分）
某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A,B,C ，若A,B,C 实验成功的概率分别为
432,,543
． （1）对A ，B ，C 实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；
（2）该项目要求实验A ，B 各做两次，实验C 做3次，如果A 实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10000
元，两次B 实验都成功则进行实验C 并获奖励30000元，3次C 实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖），且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X 的分布列和数学期望.
22.（本小题满分12分）设函数2
2
()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．
（1）若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为22，求a 的值；
PM2.5日均值（微克/立方米） 2
8 5
3 2 1
4 3 4 4
5
6 3 8
7 9
8 6 3 9
2
5
（2）对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和
()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =
，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，
请说明理由．
参考答案
1.C
【解析】本题主要考查对两个变量的回归分析的理解.样本数据的回归直线一定经过样本点的中心,故A 正
确;残差平方和越小的模型,拟合的效果越好,故B 正确;用相关指数2来刻画回归效果,2
的值越大,说明模型的拟合效果越好,故C 错误;若变量和之间的相关系数＝-0.9362,则变量和之间具有线性负相关关系,故D 正确.故选C. 2.B
【解析】本题主要考查排列组合应用题.因为黄瓜必须种植,所以第一步先在另外三种蔬菜中选择2种,有
种不同选法;第二步,对选出来的三种蔬菜进行全排列,有种不同排列方法,由分步乘法计数原理,共有种不同种植方法.故选B.
3.A
【解析】本题主要考查二项分布的概率公式.因为该同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,所以投中的次数,则该同学通过测试的概率.故选 A. 4.C
【解析】本题主要考查利用二项式定理求二项展开式的特定项的系数.因为
的展开式的通项为
,所以
的展开式中含
的系数为
;故选C.
5.D
【解析】本题主要考查条件概率的概率公式.设“第1次抽到的是螺口灯泡”为事件A,“第2次抽到的是卡口灯泡”为事件B,则,由条件概率公式,得在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率.故选D.
6.C
【解析】本题主要考查利用二项式定理求参数问题.因为关于的二项式QUOTE
展开式的二项式系数之和为32,所以,解得,则的展开式通项为
,令,得,即,解得.故选C.
7.C
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质.
因为==,解得,所以=.故选C.
8.B
【解析】本题主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列知识;完成该问题可分两类:第一类:若区域1与区域3不同,先用4种颜色涂区域1到区域4,共有种不同方法,再去区域1,2,3中的一种颜色
涂区域5,有3种不同方法,由分步乘法计数原理,有种不同方法;第二类:若区域1与区域3颜色相
同,且4种颜色全部使用,则先用4种颜色涂区域1,2,4,5,有种不同方法;由分类加法计数原理,得共有种不同方法.故选B.
9.A
【解析】本题主要考查正态曲线的性质.由题意,得,则.故选A.
10.B
【解析】本题主要考查分类加法计数原理.显然,且,将方程化为;完成这件事件可5类:①当时,或或或共16条;②当时,或或或
共16条,其中①②中有9条抛物线重合,即当有16+7=23条抛物线;③同理,当有16+7=23条抛物线;④当时,或或或,共16条抛物线.由分类加法计数原理,可知共有条抛物线.故选B.
11.C
【解析】本题主要考查二项式系数的性质.由二项式系数的性质可知,,又,所以,即,解得.故选C.
12.C
【解析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点以及利用导数研究函数的单调性.因为,所以在上恒成立,则在单调递增;又因为是定义在
上的奇函数,且,所以是定义在上的偶函数,在上单调递减,且,则
在上单调递增,,即在存在
一个零点;在上单调递减,且,
则在上存在一个零点,所以共3个零点.故选C.
13.144
【解析】本题主要考查排列应用题.先将3名女生全排列,有种不同方法,且留有4个空,再将3名男生安排在4个位置中的其中3个,有种不同方法,则共有种不同方法.故答案为144.
14.
【解析】本题主要考查利用定积分求曲边四边形的面积.作出曲线围成的图形,联立,解得或,则由定积分的几何意义,所求面积为.
15.3
【解析】本题主要考查利用二项式定理求解系数和.
设,
令,得;
令,得,
两式相减,得,
解得,故答案为3.
16.
【解析】本题主要考查古典概型的概率公式.甲、乙分别从正方体6个面的中心中任选两点连成直线各有条直线,则共有对直线,因为正方体6个面的中心构成一个正八面体,其中有6对直线
平行但不重合,则甲乙两人所得的直线中相互平行但不重合的直线共12对;由古典概型的概率公式,所求概率为.故填.
17.(1)由题目所提供数据可得:＝5,＝50,,
＝13500,＝1380,
于是可得,
因此,所求回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
(2)跟据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为10百万元时,
＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元),
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元.
【解析】本题主要考查两个变量的线性回归方程.(1)先根据表格中数据求出数据的中心点,再利用最小二乘法公式求出有关系数,即得线性回归方程;(2)先代入(1)所求的回归直线方程,求解即可.
18.(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:
非体育迷体育迷合计
男30 15 45
女45 10 55
合计75 25 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841,
所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.
由题意知X~B(3,),从而X的分布列为
0 1 2 3
3×＝,
3××＝.
【解析】本题主要考查独立性检验思想的应用、二项分布列及其期望与方差.(1)先根据题意完成列联表,再利用公式求出,最后结合临界值表进行判定;(2)根据(1),求出抽到“体育迷”的概率为,判定离散型随机变量服从二项分布,利用二项分布的期望、方差公式进行求解.
19.(1),因为曲线在点处与直线相切,
所以.
(2)因为,
当时,,函数在()上单调递增,
此时函数没有极值点.
当时,由,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
所以此时是的极大值点,
是的极小值点,
【解析】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值;(1)求导,利用得到有关的方程组求解即可;(2)求导,利用的符号判定函数的单调性,进而求得函数的极值点与极值.
20.(1)由题意知满足超几何分布的可能取值为0,1,2,3,
其分布列为,
所以,
,
,
,
所以ξ的分布列是:
(2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为,设一年中空气质量达到一级的天数为, 则,
所以360×=144,
所以一年中空气质量达到一级的天数为144天.
【解析】本题主要考查超几何分布、二项分布的期望;(1)先根据题意判定离散型随机变量服从超几何分布,再利用超几何分布的概率公式求出每个变量的概率,列表得到该变量的分布列;(2)先根据题意判定该变量服从二项分布,再利用二项分布的期望公式进行求解.
21.(1)设试验成功分别记为事件且相互独立,至少有一试验成功为事件.
则
(2)的取值为0,10000,30000,60000.
则.
.
.
或
所以的概率分布列为:
的数学期望.
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、相互独立事件同时发生的概率;(1)利用相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式进行求解;(2)先写出离散型随机变量的所有可能取值,求出每个变量的概率,列表得到分布列,再根据期望公式进行求解.
22.解法一:设函数图象上任意一点为,
则点到直线的距离为,
,
当,即时,,由,
解得或,
又因为抛物线与直线相离,
由,得,
故,即,所以,即.
解法二:因为,所以,令,
得,此时,则点到直线的距离为,
即,解得或.
(以下同解法一)
(2)设,则.
所以,当时,;
当时,,
因此时,取得最小值,
则与的图象在处有公共点.
设与存在“分界线”,方程为,即,
由在恒成立,
则在恒成立.
所以恒成立,
因此.
下面证明恒成立.
设,则.
所以当时,;当时,.
因此时取得最大值,则成立.
故所求“分界线”方程为:.
【解析】本题主要以新定义为载体考查曲线上的点到直线的距离的最值、不等式恒成立问题;(1)设出曲线上的点,利用点到直线的距离公式求其距离,再利用配方法求其最值,利用直线与抛物线相离进行取舍;(2)作差构造函数,两次利用不等式恒成立进行求解.。