2010年中考数学考前30天冲刺得分专练18：综合测试

2010年中考数学考前30天冲刺得分专练18：综合测试
一、选择题
1. 计算122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
的结果是（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
2. 在函数1
31
y x =
-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．13x < B ．13x ≠- C ．13x ≠ D ．1
3
x >
3. 如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ）
A ．长方体
B ．三棱柱
C ．圆锥
D ．正方体
4. 下列说法正确的是（ ）
A ．某市“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨
B ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上
C ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是
1
100
”表示抽奖100次就一定会中奖 D ．在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交
5. 已知ABC DEF △∽△，且:1:2AB DE =，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．2∶1 D ．4∶1
6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(23)A ，
．若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到OA '，则点A '在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7. 若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k >-
B ．1k >-且0k ≠
C ．1k <
D ．1k <且0k ≠ 8. 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A ．40° B ．80° C ．120° D ．150° 9. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量(kg)x 与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） A ．20kg B ．25kg C ．28kg D ．
30kg
主视图 左视图 俯视图
10. 为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了15户家庭的日
则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误．．的是（ ） A ．众数是6度 B ．平均数是6.8度 C ．极差是5度 D ．中位数是6度 11. －4的相反数是 （ ） A ．－4
B ． 4
C ． 41-
D ． 4
1 12. 下列计算正确的是 （ ） A ．3x +2x 2=5x 3
B ．（a －b ）2=a 2－b 2
C ．（－x 3）2=x 6
D ．3x 2·4x 3=12x 6
二、填空题
13. 分式方程2131
x x =+的解是 ． 14. 如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若30CBA '∠=°， 则BEA '∠= ．
15. 改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已达到4 410 000人，对这个常住人口数有如下几种表示：①5
4.4110⨯人；②6
4.4110⨯人；③5
44.110⨯人．其中是科学记数法表示的序号为 ．
16. 如图，ABC △内接于O ⊙，AB BC =，120ABC ∠=°，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD = ．
17. 化简：22
21369x y x y x y x xy y 2
+--÷=--+ ．
18. 如图，A B C 、、是O ⊙上的三点，以BC 为一边，作CBD ABC ∠=∠，过BC 上一
点P ，作PE AB ∥交BD 于点E ．若603AOC BE ∠==°
，，则点P 到弦AB 的距离为 ． 19. 已知2
1
(123)(1)n a n n =
=+，，，，记112122(1
)2(1)(1)b a b a a =
-=--，，，
122(1)(1)
(1)n n b a a a =---，
则通过计算推测出n b 的表达式为n b = ．（用含n 的代数式表示）
A
D
E
A '
C
B
20. 如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数k y x
=（00k x ><，）的图象上．若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M N ，，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S m =（m 为常数，且04m <<）时，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表示）
三、计算题
21. 解答下列各题：
（1
032(π2009)4sin 45(1)--+-°．
（2）先化简，再求值：22(3)(2)1x x x x x -+-+
，其中x =
22. 解不等式组312(1)312
x x x -<+⎧⎪
⎨+⎪⎩，≥，并在所给的数轴上表示出其解集．
23. 已知一次函数2y x =+与反比例函数k
y x
=
，其中一次函数2y x =+的图象经过点(5)P k ，．
（1）试确定反比例函数的表达式；
（2）若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．
四、应用题
24. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动．他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（计算过程和结果均不取近似值）
25. 有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x ；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字2-，1-，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y ；然后他们计算出S x y =+的值． （1）用树状图或列表法表示出S 的所有可能情况； （2）分别求出当0S =和2S <时的概率．
A
D B C
26. 某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：280P x =-+（130x ≤≤，且x 为
整数）；又知前20天的销售价格1
Q （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：11
302
Q x =+（120x ≤≤，且x 为整数），后10天的销售价格2Q （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：145Q =（2130x ≤≤，且x 为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润1R （元）与后10天的日销售利润2R （元）分别与销售时间x （天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润． 注：销售利润＝销售收入－购进成本．
五、复合题
27. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2(1)y a x c =++（0a >）与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为M ．若直线MC 的函数表达式为
3y kx =-，与x 轴的交点为N
，且cos 10
BCO ∠=
． （1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N P C 、、为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q ．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
x
六、猜想、探究题
28. 已知A D 、是一段圆弧上的两点，有在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E 是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=°．
（1）如图①，如果616AB BC ==，，且:1:3BE EC =，求AD 的长．
（2）如图②，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．
A D E
B l 图① A
D
E B
l
图②
29. 已知()M a b ，是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从1，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点()M a b ，在直线x y n +=上”为事件n Q （27n ≤≤，n 为整数），则当n Q 的概率最大时，n 的所有可能的值为 ．
七、说理题
30. 如图， Rt ABC △内接于O ⊙，AC BC BAC =∠，的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD G ，是CD 的中点，连结OG ．
（1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE BF =；
（3
）若3(2OG DE =，求O ⊙的面积．
A
参考答案一、选择题
第1题答案.
A
第2题答案.
C
第3题答案.
B
第4题答案.
D
第5题答案.
B
第6题答案.
C
第7题答案.
B
第8题答案.
C
第9题答案.
A
第10题答案.
D
第11题答案.
B
第12题答案.
C
二、填空题
第13题答案.
x=
2
第14题答案.
60°
第15题答案.
②
第16题答案.
第17题答案.
2y
-
x y
第18题答案.
第19题答案.
2
1
n n ++ 第20题答案.
4884
(
)2442
m m m m ----，，(，) 三、计算题 第21题答案.
（1
）解：原式＝214(1)2
⨯-⨯
+-
＝21- ＝1
（2）解：原式＝2
3
3
2
321x x x x -+-+ ＝2
1x +
∴当x =
214+= 2分 第22题答案.
解：解不等式312(1)x x -<+，得3x <．
解不等式
3
12
x +≥，得1x -≥． ∴不等式组的解集为13x -<≤．
在数轴上表示其解集为
第23题答案.
解：（I ）∵一次函数2y x =+的图象经过点(5)P k ，
， ∴52k =+
∴3k =．
∴反比例函数的表达式为3y x
=
． （2）由23y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
消去y ，得2
230x x +-=
即(3)(1)0x x +-=
13x -<≤
∴3x =-或1x = 可得1y =-或3y =．
于是31x y =-⎧⎨
=-⎩，或1
3
x y =⎧⎨=⎩
∵点Q 在第三象限， ∴点Q 的坐标为(3 1)--，． 四、应用题
第24题答案.
解：如图，由已知，可得
30
45A C B A D B ∠=∠=°，° ∴在Rt ABD △中，BD AB =． 又在Rt ABC △中，∵tan30°＝
AB
BC
∴AB BC =
BC = ∵BC CD BD =+
CD AB =+
即1)60AB =．
∴301AB =）（米） 答：
（或∴）教学楼的高度为301）米． l 分
第25题答案. 解：（1）画树状图：
A
D
B
C
开始
2- 1- 1 2- 1- 1 2- 1- 1 2- 1- 1 1- 0 2
0 1 3 1 2 4
2 3 5
1 2 3
4
x
y S
································································· 4分
（2）由图（或表）可知，所有可能出现的结果有12种，其中0S =的有2种，2S <的有5种．
∴P （S =0）=
21
126
=； P （S <2）=
512
．
第26题答案. 解：（1）根据题意，得
111
(20)(280)[(30)20]2
R P Q x x =-=-++-＝220800(120)x x x x -++≤≤，且为整数
22(20)(280)(4520)502000(2130.)R P Q x x x x =-=-+-=-+≤≤且为整数
（2）在120x ≤≤，且x 为整数时， ∵21(10)900R x =--+
∴当10x =时，1R 的最大值为900. 在2130x ≤≤，且x 为整数时，
∵在2502000R x =-+中，2R 的值随x 值的增大而减小， ∴当21x =时，2R 的最大值是950.
∵950>900.
∴当21x
=即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元． 五、复合题 第27题答案.
（1）∵直线MC 的函数表达式为3y kx
=-， ∴点C （0，3-）. ∵cos ∠BCO ＝
OC BC
=
=
，
∴可设3(0)OC t t BC =>=，． 则由勾股定理，得OB t =． 而33OC t ==，∴1t =．
∴1OB =，∴点B （1，0）
∵点B （1，0），C （0，3-）在抛物线上， ∴403a c a c +=⎧⎨
+=-⎩，解得1
4
a c =⎧⎨=-⎩．
∴抛物线的函数表达式为
22(1)423y x x x =+-=+-，
（2）假设在抛物线上存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形．
①若PN 为另一条直角边．
∵点M （1-，4-）在直线MC 上，∴43k -=--，即1k =．
∴直线MC 的函数表达式为3y x =-．
易得直线MC 与x 轴的交点N 的坐标为N （3，0）． ∵||||OC ON =，∴45CNO ∠=°，
在y 轴上取点D （0，3），连结ND 交抛物线于点P ． ∵||||ON OD =，∴45DNO ∠=°．∴90PNC ∠=°． 设直线ND 的函数表达式为y mx n =+． 由303m n n +=⎧⎨
=⎩，解得1
3
m n =-⎧⎨=⎩．
∴直线ND 的函数表达式为3y x =-+．
设点P （x ，3x -+），代入抛物线的函数表达式，得 2
323x x x -+=+-，即2
360x x +-=．
解得1x =
2x =
∴1y =
，2y =
∴满足条件的点为1P ，2P ． ·········· 2分 ②若PC 是另一条直角边．
∵点A 是抛物线与x 轴的另一交点，∴点A 的坐标为（3-，0）． 连结AC ．∵||||OA OC =，∴45OCA ∠=°．又45OCN ∠=°，
∴90ACN ∠=°，∴点A 就是所求的点3P （3-，0）． ···························· 1分 [或：求出直线AC 的函数表达式为3y x =--．设点P （x ，3x --），代入抛物线 的函数表达式，得2
323x x x --=+-，即2
30x x +=．解得13x =-，20x =． ∴1203y y ==，-，∴点34(30)(03)P P --，，， （舍去）．] 综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为：
13P ，2P ，3(3
0)P -，． （3）①若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b （0b >）个单位． 可设函数表达式为223y x x b =+-+．
由2233
y x x b y x ⎧=+-+⎨=-⎩，消去y ，得2
0x x b ++=．
∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须
∆=140b -≥，即14b ≤
．∴104
b <≤． ∴若抛物线向上平移，最多可平移1
4
个单位长度．
②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b （0b >）个单位．
可设函数表达式为2
23y x x b =+--．
∵当3x =-时，y b =-；当3x =时，12y b =-．
易求得Q （3-，6-），又N （3，0）． ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须6b --≥或120b -≥，即6b ≤或12b ≤． ∴012b <≤．
∴若抛物线向下平移．最多可平移l2个单位长度．
[或：若抛物线沿其对称轴向下平移，设平移b （0b >）个单位． 则212233y x x b y x =+--=-，在33x -≤≤总有交点．
即22122330y y x x b x x x b -=+---+=+-=在33x -≤≤总有实数根．
令2
2
11()2
4y x x x =+=+-
，在33x -≤≤时，1
124
y -≤≤． ∴要使2
0x x b +-=在33x -≤≤有解，b 必须满足1124
b -≤≤．
∴0<b ≤12．即b 的最大值为l2．∴向下最多可平移12个单位长度．]
综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，
则向上最多可平移
1
4
个单位长度，向下最多可平移l2个单位长度．
六、猜想、探究题 第28题答案. 解：（1）∵AB ⊥l 于B ，DC ⊥l 于C ， ∴∠ABE =∠ECD ＝90°．
∵∠BEA +∠AED +∠CED =180°，且∠AED ＝90°， ∴∠CED ＝90°－∠BEA ． 又∠BAE ＝90°－∠BEA ， ∴∠BAE ＝∠CED ． ∴Rt △ABE ∽Rt △ECD ．
（或：∵AB ⊥l 于B ，DC ⊥l 于C ，∴AB ∥DC ．∴Rt △ABE ∽Rt △ECD ）． ∴AB BE EC
CD
=．
∵:1:3BE EC =，16BC =， ∴412BE EC ==，． 又6AB =，∴412
86
BE EC CD AB ⋅⨯=
==． 在Rt AED △中，由勾股定理，得
∴AD ==
=
=
（2）（i ）猜想：AB CD BC +=． 证明：在Rt △ABE 中，∵∠ABE =90°， ∴∠BAE =90°－∠AEB ．
又∵∠AEB +∠AED +∠CED ＝180°，
且∠AED ＝90°， ∴∠CED =90°－∠AEB ． ∴∠BAE ＝∠CED ． ∵DC ⊥BC 于点C ，∴∠ECD ＝90°． 由已知，有AE ED =．
于是在Rt △ABE 和Rt △ECD 中， ∵∠ABE=∠ECD ＝90°，∠BAE ＝∠CED ，AE ED =， ∴Rt △ABE ≌Rt △ECD ．（AAS ） ∴AB EC BE CD ==，．
∴BC BE EC CD AB =+=+．即AB CD BC +=．
（ii ）当A 、D 分别在直线l 两侧时，线段AB 、BC 、CD 有如下等量关系：
A B C D B C -=（AB CD >）或CD AB BC -=（AB CD <）. ························
第29题答案.
4和5 七、说理题
第30题答案.
（1）猜想：OG CD ⊥． 证明：如图，连结OC 、OD ．
A
D
E B l
A
∵OC OD =，G 是CD 的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG CD ⊥．
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． 而∠CAE ＝∠CBF （同弧所对的圆周角相等）． 在Rt △ACE 和Rt △BCF 中， ∵∠ACE =∠BCF ＝90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ） ∴ AE BF =．
（3）解：如图，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ． 则H 为BD 的中点．
∴OH ＝
1
2
AD ，即AD =2OH ． 又∠CAD ＝∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ． 在Rt △BDE 和Rt △ADB 中， ∵∠DBE ＝∠DAC ＝∠BAD ， ∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ∴
BD DE AD DB
=，即2
BD AD DE =·
∴226(2BD AD DE OG DE ===·· 又BD FD =，∴2BF BD =．
∴22424(2BF BD == … ①
设AC x =，则BC x =，．
∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴FAD BAD ∠=∠．
在Rt △ABD 和Rt △AFD 中， ∵∠ADB =∠ADF ＝90°，AD =AD ，∠F AD ＝∠BAD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ）．
∴AF =AB ，BD =FD ．
∴CF =AF -AC 1)x x -= 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得
2222221)]2(2BF BC CF x x x =+=+= …② ················· 1分
由①、②，得22(224(2x =．
∴2
12x =．解得x =-（舍去）．
∴AB ===
∴⊙O ∴π6πO S =⋅2⊙＝。