2021年山东省聊城市中考数学模拟试卷(含答案解析)
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山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(3分)−√2的相反数是( ) A .−
√2
2
B .
√2
2
C .−√2
D .√2
2.(3分)如图所示的几何体的左视图是( )
A .
B .
C .
D .
3.(3分)如果分式|x|−1x+1
的值为0,那么x 的值为( )
A .﹣1
B .1
C .﹣1或1
D .1或0
4.(3分)在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中,来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示.这些成绩的中位数和众数分别是( )
A .96分、98分
B .97分、98分
C .98分、96分
D .97分、96分
5.(3分)下列计算正确的是( ) A .a 6+a 6=2a 12
B .2﹣
2÷20×23=32
C .(−12
ab 2)•(﹣2a 2b )3=a 3b 3 D .a 3•(﹣a )5•a 12=﹣a 20
6.(3分)下列各式不成立的是( ) A .√18−√8
9=7
3√2
B .√2+23
=2√2
3
C .
√8+√18
2
=√4+√9=5
D .
√3+√2
=
√3−√2
7.(3分)若不等式组{x+13<x
2−1
x <4m
无解,则m 的取值范围为( )
A .m ≤2
B .m <2
C .m ≥2
D .m >2
8.(3分)如图,BC 是半圆O 的直径,D ,E 是BC
̂上两点,连接BD ,CE 并延长交于点A ,连接OD ,OE .如果∠A =70°,那么∠DOE 的度数为( )
A .35°
B .38°
C .40°
D .42°
9.(3分)若关于x 的一元二次方程(k ﹣2)x 2﹣2kx +k =6有实数根,则k 的取值范围为( ) A .k ≥0
B .k ≥0且k ≠2
C .k ≥3
2
D .k ≥32
且k ≠2
10.(3分)某快递公司每天上午9:00﹣10:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y (件)与时间x (分)之间的函数图象如图所示,那么当两仓库快递件数相同时,此刻的时间为( )
A .9:15
B .9:20
C .9:25
D .9:30
11.(3分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC =90°,一个三角尺的直角顶点与BC
边的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A 和点B ,将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB ,AC 分别交于点E ,F 时,下列结论中错误的是( )
A .AE +AF =AC
B .∠BEO +∠OF
C =180°
C .OE +OF =√2
2BC
D .S 四边形AEOF =1
2S △ABC
12.(3分)如图,在Rt △ABO 中,∠OBA =90°,A (4,4),点C 在边AB 上,且
AC CB
=1
3
,点
D 为OB 的中点,点P 为边OA 上的动点,当点P 在OA 上移动时,使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )
A .(2,2)
B .(5
2
,5
2)
C .(83
,8
3
)
D .(3,3)
二、填空题(本题共5个小题,每小题3分,共15分。
只要求填写最后结果) 13.(3分)计算:(−1
3
−12
)÷
5
4
= . 14.(3分)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm ),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 .
15.(3分)在阳光中学举行的春季运动会上,小亮和大刚报名参加100米比赛,预赛分A,B,C,D四组进行,运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组,小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是.
16.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,DE为△ABC的中位线,延
长BC至F,使CF=1
2BC,连接FE并延长交AB于点M.若BC=a,则△FMB的周长
为.
17.(3分)数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处,第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处,第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,A n.(n≥3,n 是整数)处,那么线段A n A的长度为(n≥3,n是整数).
三、解答题(本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
18.(7分)计算:1﹣(1
a+3+
6
a2−9
)÷
a+3
a2−6a+9
.
19.(8分)学习一定要讲究方法,比如有效的预习可大幅提高听课效率.九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况,对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位:min)进行了抽样调查,并将抽查得到的数据分成5组,下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图:
组别 课前预习时间t /min
频数(人数)
频率 1 0≤t <10 2 2 10≤t <20 a 0.10 3 20≤t <30 16 0.32 4 30≤t <40 b c 5
t ≥40
3
请根据图表中的信息,回答下列问题:
(1)本次调查的样本容量为 ,表中的a = ,b = ,c = ; (2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校九年级共有1000名学生,请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数.
20.(8分)某商场的运动服装专柜,对A ,B 两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如下表:
第一次 第二次 A 品牌运动服装数/件 20 30 B 品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元
10200
14400
(1)问A ,B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
(2)由于B 品牌运动服的销量明显好于A 品牌,商家决定采购B 品牌的件数比A 品牌件数的3
2倍多5件,在采购总价不超过21300元的情况下,最多能购进多少件B 品牌运动
服?
21.(8分)在菱形ABCD 中,点P 是BC 边上一点,连接AP ,点E ,F 是AP 上的两点,连接DE ,BF ,使得∠AED =∠ABC ,∠ABF =∠BPF .
求证:(1)△ABF ≌△DAE ; (2)DE =BF +EF .
22.(8分)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,CD 部分),在起点A 处测得大楼部分楼体CD 的顶端C 点的仰角为45°,底端D 点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处,测得顶端C 的仰角为63.4°(如图②所示),求大楼部分楼体CD 的高度约为多少米?(精确到1米)
(参考数据:sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,√2≈1.41,√3≈1.73)
23.(8分)如图,点A (3
2,4),B (3,m )是直线AB 与反比例函数y =n
x
(x >0)图象的
两个交点,AC ⊥x 轴,垂足为点C ,已知D (0,1),连接AD ,BD ,BC . (1)求直线AB 的表达式;
(2)△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1,S 2.求S 2﹣S 1.
24.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,作OD⊥AB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作⊙O的切线CE,交OF于点E.
(1)求证:EC=ED;
(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC 以及x轴于点P,D,E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;
(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.
山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(3分)−√2的相反数是( ) A .−√2
2
B .
√2
2
C .−√2
D .√2
【解答】解:−√2的相反数是√2, 故选:D .
2.(3分)如图所示的几何体的左视图是( )
A .
B .
C .
D .
【解答】解:从左向右看,得到的几何体的左视图是.
故选:B . 3.(3分)如果分式|x|−1x+1
的值为0,那么x 的值为( )
A .﹣1
B .1
C .﹣1或1
D .1或0
【解答】解:根据题意,得 |x |﹣1=0且x +1≠0, 解得,x =1. 故选:B .
4.(3分)在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中,来自不同年级的25名参赛
同学的得分情况如图所示.这些成绩的中位数和众数分别是( )
A .96分、98分
B .97分、98分
C .98分、96分
D .97分、96分
【解答】解:98出现了9次,出现次数最多,所以数据的众数为98分; 共有25个数,最中间的数为第13数,是96,所以数据的中位数为96分. 故选:A .
5.(3分)下列计算正确的是( ) A .a 6+a 6=2a 12
B .2﹣
2÷20×23=32
C .(−1
2ab 2)•(﹣2a 2b )3=a 3b 3 D .a 3•(﹣a )5•a 12=﹣a 20
【解答】解:A 、a 6+a 6=2a 6,故此选项错误; B 、2﹣
2÷20×23=2,故此选项错误;
C 、(−12ab 2)•(﹣2a 2b )3=(−1
2ab 2)•(﹣8a 6b 3)=4a 7b 5,故此选项错误; D 、a 3•(﹣a )5•a 12=﹣a 20,正确. 故选:D .
6.(3分)下列各式不成立的是( ) A .√18−√8
9=7
3√2 B .√2+23=2√2
3
C .
√8+√18
2
=√4+√9=5
D .
√3+√2
=
√3−√2
【解答】解:√18−√89
=3√2−
2√23=7√2
2
,A 选项成立,不符合题意; √2+23=√83=2√23
,B 选项成立,不符合题意;
√8+√18
2=2√2+3√22=5√22
,C 选项不成立,符合题意;
√3+√2
=
√3−√2
(√3+√2)(√3−√2)
=
√3−√2,D 选项成立,不符合题意;
故选:C .
7.(3分)若不等式组{x+13<x
2−1
x <4m
无解,则m 的取值范围为( )
A .m ≤2
B .m <2
C .m ≥2
D .m >2
【解答】解:解不等式x+13
<
x 2
−1,得:x >8,
∵不等式组无解, ∴4m ≤8, 解得m ≤2, 故选:A .
8.(3分)如图,BC 是半圆O 的直径,D ,E 是BC
̂上两点,连接BD ,CE 并延长交于点A ,连接OD ,OE .如果∠A =70°,那么∠DOE 的度数为( )
A .35°
B .38°
C .40°
D .42°
【解答】解:连接CD ,如图所示: ∵BC 是半圆O 的直径, ∴∠BDC =90°, ∴∠ADC =90°,
∴∠ACD =90°﹣∠A =20°, ∴∠DOE =2∠ACD =40°, 故选:C .
9.(3分)若关于x 的一元二次方程(k ﹣2)x 2﹣2kx +k =6有实数根,则k 的取值范围为( ) A .k ≥0
B .k ≥0且k ≠2
C .k ≥3
2
D .k ≥3
2且k ≠2
【解答】解:(k ﹣2)x 2﹣2kx +k ﹣6=0,
∵关于x 的一元二次方程(k ﹣2)x 2﹣2kx +k =6有实数根, ∴{k −2≠0△=(−2k)2−4(k −2)(k −6)≥0, 解得:k ≥3
2
且k ≠2. 故选:D .
10.(3分)某快递公司每天上午9:00﹣10:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y (件)与时间x (分)之间的函数图象如图所示,那么当两仓库快递件数相同时,此刻的时间为( )
A .9:15
B .9:20
C .9:25
D .9:30
【解答】解:设甲仓库的快件数量y (件)与时间x (分)之间的函数关系式为:y 1=k 1x +40,根据题意得60k 1+40=400,解得k 1=6, ∴y 1=6x +40;
设乙仓库的快件数量y (件)与时间x (分)之间的函数关系式为:y 2=k 2x +240,根据题意得60k 2+240=0,解得k 2=﹣4, ∴y 2=﹣4x +240,
联立{y =6x +40y =−4x +240,解得{x =20y =160,
∴此刻的时间为9:20. 故选:B .
11.(3分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC =90°,一个三角尺的直角顶点与BC 边的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A 和点B ,将三角尺绕点O 按顺时针方向旋
转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB ,AC 分别交于点E ,F 时,下列结论中错误的是( )
A .AE +AF =AC
B .∠BEO +∠OF
C =180°
C .OE +OF =
√2
2
BC
D .S 四边形AEOF =12
S △ABC
【解答】解:连接AO ,如图所示.
∵△ABC 为等腰直角三角形,点O 为BC 的中点, ∴OA =OC ,∠AOC =90°,∠BAO =∠ACO =45°.
∵∠EOA +∠AOF =∠EOF =90°,∠AOF +∠FOC =∠AOC =90°, ∴∠EOA =∠FOC .
在△EOA 和△FOC 中,{∠EOA =∠FOC
OA =OC ∠EAO =∠FCO ,
∴△EOA ≌△FOC (ASA ), ∴EA =FC ,
∴AE +AF =AF +FC =AC ,选项A 正确;
∵∠B +∠BEO +∠EOB =∠FOC +∠C +∠OFC =180°,∠B +∠C =90°,∠EOB +∠FOC =180°﹣∠EOF =90°,
∴∠BEO +∠OFC =180°,选项B 正确; ∵△EOA ≌△FOC , ∴S △EOA =S △FOC ,
∴S 四边形AEOF =S △EOA +S △AOF =S △FOC +S △AOF =S △AOC =1
2S △ABC ,选项D 正确. 故选:C .
12.(3分)如图,在Rt △ABO 中,∠OBA =90°,A (4,4),点C 在边AB 上,且
AC CB
=1
3
,点
D 为OB 的中点,点P 为边OA 上的动点,当点P 在OA 上移动时,使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )
A .(2,2)
B .(5
2
,5
2)
C .(83
,8
3
)
D .(3,3)
【解答】解:∵在Rt △ABO 中,∠OBA =90°,A (4,4), ∴AB =OB =4,∠AOB =45°, ∵
AC CB
=1
3
,点D 为OB 的中点,
∴BC =3,OD =BD =2, ∴D (0,2),C (4,3),
作D 关于直线OA 的对称点E ,连接EC 交OA 于P , 则此时,四边形PDBC 周长最小,E (0,2), ∵直线OA 的解析式为y =x , 设直线EC 的解析式为y =kx +b , ∴{b =24k +b =3, 解得:{k =1
4b =2
,
∴直线EC 的解析式为y =1
4
x +2, 解{y =x
y =14x +2
得,{x =
8
3y =83, ∴P (8
3
,8
3),
故选:C .
二、填空题(本题共5个小题,每小题3分,共15分。
只要求填写最后结果) 13.(3分)计算:(−1
3−1
2)÷5
4= −2
3 . 【解答】解:原式=(−5
6)×4
5=−2
3, 故答案为:−2
3
.
14.(3分)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm ),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 120° .
【解答】解:∵圆锥的底面半径为1, ∴圆锥的底面周长为2π, ∵圆锥的高是2√2, ∴圆锥的母线长为3, 设扇形的圆心角为n °, ∴
nπ×3180
=2π,
解得n =120.
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°. 故答案为:120°.
15.(3分)在阳光中学举行的春季运动会上,小亮和大刚报名参加100米比赛,预赛分A ,
B ,
C ,
D 四组进行,运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组,小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是
14
.
【解答】解:如下图所示,
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种,共有16种等可能的结果, ∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是416
=1
4
,
故答案为:1
4.
16.(3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =60°,DE 为△ABC 的中位线,延长BC 至F ,使CF =1
2
BC ,连接FE 并延长交AB 于点M .若BC =a ,则△FMB 的周长为
92
a .
【解答】解:在Rt △ABC 中,∠B =60°, ∴∠A =30°, ∴AB =2a ,AC =√3a . ∵DE 是中位线, ∴CE =√3
2a .
在Rt △FEC 中,利用勾股定理求出FE =a , ∴∠FEC =30°. ∴∠A =∠AEM =30°, ∴EM =AM .
△FMB 周长=BF +FE +EM +BM =BF +FE +AM +MB =BF +FE +AB =9
2a .
故答案为9
2
a .
17.(3分)数轴上O ,A 两点的距离为4,一动点P 从点A 出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO 的中点A 1处,第2次从A 1点跳动到A 1O 的中点A 2处,第3次从A 2点跳动到A 2O 的中点A 3处,按照这样的规律继续跳动到点A 4,A 5,A 6,…,A n .(n ≥3,n 是整数)处,那么线段A n A 的长度为 4−
1
2
n−2
(n ≥3,n 是整数).
【解答】解:由于OA =4,
所有第一次跳动到OA 的中点A 1处时,OA 1=1
2
OA =
1
2
×4=2, 同理第二次从A 1点跳动到A 2处,离原点的(12)2×4处, 同理跳动n 次后,离原点的长度为(1
2)n ×4=
1
2
n−2,
故线段A n A 的长度为4−1
2
n−2(n ≥3,n
是整数).
故答案为:4−
1
2
n−2.
三、解答题(本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 18.(7分)计算:1﹣(
1a+3
+
6a 2−9
)÷
a+3
a 2−6a+9
.
【解答】解:原式=1−a+3a 2−9•(a−3)
2
a+3
=1−a−3
a+3 =
a+3a+3−a−3
a+3 =6
a+3.
19.(8分)学习一定要讲究方法,比如有效的预习可大幅提高听课效率.九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况,对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位:min )进行了抽样调查,并将抽查得到的数据分成5组,下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图:
组别 课前预习时间t /min
频数(人数)
频率 1
0≤t <10
2
210≤t<20a0.10
320≤t<30160.32
430≤t<40b c
5t≥403
请根据图表中的信息,回答下列问题:
(1)本次调查的样本容量为50,表中的a=5,b=24,c=0.48;(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校九年级共有1000名学生,请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数.
【解答】解:(1)16÷0.32=50,a=50×0.1=5,b=50﹣2﹣5﹣16﹣3=24,c=24÷50=0.48;
故答案为:50,5,24,0.48;
(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°;
(3)每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1−2
50
−0.10=0.86,
∴1000×0.86=860,
答:这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人.
20.(8分)某商场的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如下表:
第一次第二次A品牌运动服装数/件2030
B品牌运动服装数/件3040
累计采购款/元1020014400(1)问A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
(2)由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌,商家决定采购B品牌的件数比A品牌
件数的3
2
倍多5件,在采购总价不超过21300元的情况下,最多能购进多少件B 品牌运动
服?
【解答】解:(1)设A ,B 两种品牌运动服的进货单价各是x 元和y 元,根据题意可得: {20x +30y =1020030x +40y =14400, 解得:{x =240
y =180
,
答:A ,B 两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元;
(2)设购进A 品牌运动服m 件,购进B 品牌运动服(3
2m +5)件,
则240m +180(3
2
m +5)≤21300,
解得:m ≤40,
经检验,不等式的解符合题意, ∴3
2m +5≤
3
2
×40+5=65, 答:最多能购进65件B 品牌运动服.
21.(8分)在菱形ABCD 中,点P 是BC 边上一点,连接AP ,点E ,F 是AP 上的两点,连接DE ,BF ,使得∠AED =∠ABC ,∠ABF =∠BPF . 求证:(1)△ABF ≌△DAE ; (2)DE =BF +EF .
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB =AD ,AD ∥BC , ∴∠BP A =∠DAE , ∵∠ABC =∠AED , ∴∠BAF =∠ADE ,
∵∠ABF=∠BPF,∠BP A=∠DAE,
∴∠ABF=∠DAE,
∵AB=DA,
∴△ABF≌△DAE(ASA);
(2)∵△ABF≌△DAE,
∴AE=BF,DE=AF,
∵AF=AE+EF=BF+EF,
∴DE=BF+EF.
22.(8分)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,CD部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4°(如图②所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到1米)
(参考数据:sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,√2≈1.41,√3≈1.73)
【解答】解:设楼高CE为x米,
∵在Rt△AEC中,∠CAE=45°,
∴AE=CE=x,
∵AB=20,
∴BE=x﹣20,
在Rt △CEB 中,CE =BE •tan63.4°≈2(x ﹣20),
∴2(x ﹣20)=x ,
解得:x =40(米),
在Rt △DAE 中,DE =AE tan30°=40×√33=
40√33, ∴CD =CE ﹣DE =40−40√33≈17(米),
答:大楼部分楼体CD 的高度约为17米.
23.(8分)如图,点A (32,4),B (3,m )是直线AB 与反比例函数y =n x
(x >0)图象的两个交点,AC ⊥x 轴,垂足为点C ,已知D (0,1),连接AD ,BD ,BC .
(1)求直线AB 的表达式;
(2)△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1,S 2.求S 2﹣S 1.
【解答】解:(1)由点A (32,4),B (3,m )在反比例函数y =n x (x >0)图象上 ∴4=n 32
∴n =6
∴反比例函数的解析式为y =6x
(x >0)
将点B (3,m )代入y =6x (x >0)得m =2
∴B (3,2)
设直线AB 的表达式为y =kx +b
∴{4=32k +b 2=3k +b 解得{k =−43b =6 ∴直线AB 的表达式为y =−43
x +6;
(2)由点A 、B 坐标得AC =4,点B 到AC 的距离为3−32=32
∴S 1=12×4×32=3 设AB 与y 轴的交点为E ,可得E (0,6),如图:
∴DE =6﹣1=5
由点A (32,4),B (3,2)知点A ,B 到DE 的距离分别为32,3 ∴S 2=S △BDE ﹣S △AED =
12×5×3−12×5×32=154 ∴S 2﹣S 1=154−3=34.
24.(10分)如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 为直径,作OD ⊥AB 交AC 于点D ,延长BC ,
OD 交于点F ,过点C 作⊙O 的切线CE ,交OF 于点E .
(1)求证:EC =ED ;
(2)如果OA =4,EF =3,求弦AC 的长.
【解答】(1)证明:连接OC,
∵CE与⊙O相切,为C是⊙O的半径,
∴OC⊥CE,
∴∠OCA+∠ACE=90°,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∴∠ACE+∠A=90°,
∵OD⊥AB,
∴∠ODA+∠A=90°,
∵∠ODA=∠CDE,
∴∠CDE+∠A=90°,
∴∠CDE=∠ACE,
∴EC=ED;
(2)解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△DCF中,∠DCE+∠ECF=90°,∠DCE=∠CDE,∴∠CDE+∠ECF=90°,
∵∠CDE+∠F=90°,
∴∠ECF =∠F ,
∴EC =EF ,
∵EF =3,
∴EC =DE =3,
∴OE =√OC 2+EC 2=√42+32=5,
∴OD =OE ﹣DE =2,
在Rt △OAD 中,AD =√OA 2+OD 2=√42+22=2√5,
在Rt △AOD 和Rt △ACB 中,
∵∠A =∠A ,∠ACB =∠AOD ,
∴Rt △AOD ∽Rt △ACB ,
∴
OA AC =AD AB , 即4AC =2√58
, ∴AC =16√55
. 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (﹣2,0),
点B (4,0),与y 轴交于点C (0,8),连接BC ,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ,沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点),且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ,D ,E .
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC ,AP ,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 的坐标;
(3)作PF ⊥BC ,垂足为F ,当直线l 运动时,求Rt △PFD 面积的最大值.
【解答】解:(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得:{4a −2b +c =0
16a +4b +c =0c =8
,解
得:{a =−1
b =2
c =8
,
故抛物线的表达式为:y =﹣x 2+2x +8;
(2)∵点A (﹣2,0)、C (0,8),∴OA =2,OC =8,
∵l ⊥x 轴,∴∠PEA =∠AOC =90°,
∵∠P AE ≠∠CAO ,
∴只有当∠PEA =∠AOC 时,PEA △∽AOC ,
此时AE CO =PE AO ,即:AE 8=PE 2,
∴AE =4PE ,
设点P 的纵坐标为k ,则PE =k ,AE =4k ,
∴OE =4k ﹣2,
将点P 坐标(4k ﹣2,k )代入二次函数表达式并解得:
k =0或2316(舍去0),
则点P (154,2316);
(3)在Rt △PFD 中,∠PFD =∠COB =90°,
∵l ∥y 轴,∴∠PDF =∠COB ,∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ,
∴S △PFD
S △BOC =(PD BC )2,
∴S △PDF =(
PD BC )2•S △BOC , 而S △BOC =12OB •OC =12×4×8=16,BC =√CO 2+BO 2=4√5,
∴S △PDF =(
PD BC )2•S △BOC =15PD 2, 即当PD 取得最大值时,S △PDF 最大,
将B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得:
直线BC 的表达式为:y =﹣2x +8,
设点P (m ,﹣m 2+2m +8),则点D (m ,﹣2m +8),
则PD =﹣m 2+2m +8+2m ﹣8=﹣(m ﹣2)2+4,
当m=2时,PD的最大值为4,
故当PD=4时,∴S△PDF=1
5PD
2=16
5。