【优化方案】高考数学一轮复习 第5章第四节 数列求和课件 文 苏教
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答案：6
4．数列{an}的通项公式an＝(－1)n－1(4n－3)， 其前n项和为Sn，则S100等于________． 答案：－200
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把 它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)， 其最简单的形式为：若数列{an}中有a1＋an ＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…，就可以用此方 法求和．
【名师点评】 当数列具有“首尾配对”， “中心对称”特征时，常用倒序相加法．
变式训练 1 已知函数 f(x)＝1＋x2x2，则 f(14)＋f(13)＋f(12) ＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
考点二 错位相减法求和
用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比 为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式． 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求 和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以 讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况 分别求和．
考点三 分组求和法
1．数列求和应从通项入手，若无通项，则 先求通项，然后通过对通项变形，转化为等 差或等比或可求数列前n项和的数列来求 之． 2．常见类型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式 直接求解；
(2)an ＝ a·qn － 1 ， 利 用 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 直接求解；
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
所以 f(x)＋f(1－x)＝1，所以 f(nk)＋f(1－nk) ＝1，即可利用倒序相加法求 Sn－1.
第四节 数列求和
双基研习·面对高考
第
四
节
考点探究·挑战高考
数
列
求 和
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．公式法求和 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和． (2)掌握一些常见数列n前n＋ n项1和 1＋2＋3＋…＋n＝_____2_____. 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝___n_2.___
【名师点评】 本题主要考查结论an＝Sn －Sn－1，错位相减法求和及运算能力，对 复杂的关系要善于概括、归纳，抽象其本
质特征
名师预测
1．等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3＝ S8，S7＝Sk，则k的值为________． 解析：因为数列{an}是等差数列，故 Sn＝An2＋ Bn，即 an 是关于 n 的二次函数且缺少常数项， 由 S3＝S8 知，函数的对称轴是3＋2 8＝121，故121＝ 7＋2 k，∴k＝4. 答案：4
2．错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的 方项_等__法和比__，，数__这其列__种中．__方{an法}，主{要bn用}分于别求是数_列_等__{差a_n_·数_b_n列_}的__前_和n 3．倒序相加法 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列
相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的
预测在2012年的江苏高考中，数列求和会以 解答题的形式出现，结合不等式的有关知识， 成为较为综合的问题．
规范解答
例 (本题满分 14 分)设数列{an}满足 a1＋ 3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项； (2)设 bn＝ann，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2 ． 将 正 偶 数 划 分 为 数 组 ： (2) ， (4,6) ， (8,10,12)，(14,16,18,20)，…，则第n组各数的 和是________(用含n的式子表示)．
解析：先将每个数除以 2 得(1)，(2,3)，(4,5,6) 可知第 n－1 组最后一个数字为nn2－1，则第 n 组的第一个数是nn2－1×2＋2＝n2－n＋2，根 据等差数列的前 n 项和公式有 S＝n(n2－n＋2) ＋nn2－1×2＝n3＋n.
1．求和问题可以利用等差、等比数列的前n项 和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列 的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要 注意项数． 2．非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思 路是： (1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思想 方法往往通过通项分解或错位相消来完成．
(2)不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通 过裂项相消、错位相减和倒序相加法求和．一 般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用 公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一 般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差， 一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项 分组法．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
答案：4nn＋4
2 ． (2011 年 镇 江 调 研 ) 设 f(n) ＝ 2 ＋ 24 ＋ 27 ＋ 210 ＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于________．
答案：27(8n＋1－1)
3．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n2－n 1，其 前 n 项和 Sn＝36241，则项数 n 等于________．
【思路分析】 (1)用a1，q代入两已知条 件，可求出a1，q；
(2)化简bn的式子，分组求和．
【解】 (1)设公比为 q，则 an＝a1qn－1，
由已知有a1＋a1q＝2a11＋a11q， a1q2＋a1q3＋a1q4＝64a11q2＋a11q3＋a11q4.
化简得aa2121qq＝ 6＝26，4. 又 a1>0，故 q＝2，a1＝1.所以 an＝2n－1.
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或 等 差 数 列 ， 采 用 分 组 求 和 法 求 {an} 的 前 n 项 和．
例3 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝2(a11＋a12)，a3＋a4＋a5＝64(a13＋a14＋a15)． (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝(an＋a1n)2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
考向瞭望·把脉高考
考情分析
从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉 及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是 错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点， 题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合， 考查综合运用知识的能力．江苏省的数列题往往 设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力， 题目有一定的难度．
3．数列求和的关键在于数列通项公式的表达 形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪 种方法是这类题的解题决窍．
4．通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求 Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论．
失误防范
1．利用裂项相减法求和，裂项能否等价转化 及怎样相消易出错，为避免出错，在裂项时， 可检验一下；前n项和的展开式可以多列举几 项寻找“相消”的规律． 2．数列求和结果易化简出错，若使用方法不 只一个，可以分别求出其中一部分的结果，化 简后再整理，结果不一定最简，但要易于观察， 符合数学的习惯即可．
答案：n3＋n
和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法 求和，它是_等__差__数__列___求和公式的推广．
4．分组转化法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，即能分别求和， 然后再合并． 5．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相 消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：
习
•18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
·
2022/1/162022/1/16
面
•
对
高
考
考 点 探 究 · 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 · 把 脉 高 考
山东水浒书业有限公司·
两式相加得 2Sn－1＝(n－1)·1，∴Sn－1＝n－2 1.
使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于 数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所 以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项 与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写 未被消去的项，未被消去的项有前后对称的 特点．实质上，正负项相消是此法的目的．
方法感悟
方法技巧
例4 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7 ＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝a2n－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
(1)nn1＋1＝_n1_－__n_＋_1_1_______.
(2)2n－112n＋1＝_12_(_2_n_1－__1_－__2_n_1＋__1_)_．
(3)
1 n＋k＋
n＋k－ n n＝______k_________.
思考感悟 裂项相消时的注意事项有哪些？
课前热身
1．数列2×1 4，4×1 6，6×1 8，…，2n21n＋2，… 的前 n 项和为________．
•14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。
双
•15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
基
•16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
研
•17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022
【名师点评】 错位相减法的运用并不困 难，其难点是运算的结果不易计算正确， 最后的结果，往往显得Βιβλιοθήκη 琐，因而整理化 简过程中要格外细心．
变式训练 3 在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝log2an·l1og2an＋1，n∈N*，求数列{bn} 的前 n 项和 Sn.
优化方案系列丛书 •11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
•12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
第5章 数 列
•13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022
【名师点评】 分组求和法要注意数列的特 征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列 求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要 注意的．
考点四 拆项、裂项求和法
1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消 后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将 通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系 数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
4．数列{an}的通项公式an＝(－1)n－1(4n－3)， 其前n项和为Sn，则S100等于________． 答案：－200
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把 它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)， 其最简单的形式为：若数列{an}中有a1＋an ＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…，就可以用此方 法求和．
【名师点评】 当数列具有“首尾配对”， “中心对称”特征时，常用倒序相加法．
变式训练 1 已知函数 f(x)＝1＋x2x2，则 f(14)＋f(13)＋f(12) ＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
考点二 错位相减法求和
用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比 为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式． 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求 和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以 讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况 分别求和．
考点三 分组求和法
1．数列求和应从通项入手，若无通项，则 先求通项，然后通过对通项变形，转化为等 差或等比或可求数列前n项和的数列来求 之． 2．常见类型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式 直接求解；
(2)an ＝ a·qn － 1 ， 利 用 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 直接求解；
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
所以 f(x)＋f(1－x)＝1，所以 f(nk)＋f(1－nk) ＝1，即可利用倒序相加法求 Sn－1.
第四节 数列求和
双基研习·面对高考
第
四
节
考点探究·挑战高考
数
列
求 和
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．公式法求和 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和． (2)掌握一些常见数列n前n＋ n项1和 1＋2＋3＋…＋n＝_____2_____. 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝___n_2.___
【名师点评】 本题主要考查结论an＝Sn －Sn－1，错位相减法求和及运算能力，对 复杂的关系要善于概括、归纳，抽象其本
质特征
名师预测
1．等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3＝ S8，S7＝Sk，则k的值为________． 解析：因为数列{an}是等差数列，故 Sn＝An2＋ Bn，即 an 是关于 n 的二次函数且缺少常数项， 由 S3＝S8 知，函数的对称轴是3＋2 8＝121，故121＝ 7＋2 k，∴k＝4. 答案：4
2．错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的 方项_等__法和比__，，数__这其列__种中．__方{an法}，主{要bn用}分于别求是数_列_等__{差a_n_·数_b_n列_}的__前_和n 3．倒序相加法 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列
相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的
预测在2012年的江苏高考中，数列求和会以 解答题的形式出现，结合不等式的有关知识， 成为较为综合的问题．
规范解答
例 (本题满分 14 分)设数列{an}满足 a1＋ 3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项； (2)设 bn＝ann，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2 ． 将 正 偶 数 划 分 为 数 组 ： (2) ， (4,6) ， (8,10,12)，(14,16,18,20)，…，则第n组各数的 和是________(用含n的式子表示)．
解析：先将每个数除以 2 得(1)，(2,3)，(4,5,6) 可知第 n－1 组最后一个数字为nn2－1，则第 n 组的第一个数是nn2－1×2＋2＝n2－n＋2，根 据等差数列的前 n 项和公式有 S＝n(n2－n＋2) ＋nn2－1×2＝n3＋n.
1．求和问题可以利用等差、等比数列的前n项 和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列 的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要 注意项数． 2．非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思 路是： (1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思想 方法往往通过通项分解或错位相消来完成．
(2)不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通 过裂项相消、错位相减和倒序相加法求和．一 般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用 公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一 般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差， 一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项 分组法．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
答案：4nn＋4
2 ． (2011 年 镇 江 调 研 ) 设 f(n) ＝ 2 ＋ 24 ＋ 27 ＋ 210 ＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于________．
答案：27(8n＋1－1)
3．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n2－n 1，其 前 n 项和 Sn＝36241，则项数 n 等于________．
【思路分析】 (1)用a1，q代入两已知条 件，可求出a1，q；
(2)化简bn的式子，分组求和．
【解】 (1)设公比为 q，则 an＝a1qn－1，
由已知有a1＋a1q＝2a11＋a11q， a1q2＋a1q3＋a1q4＝64a11q2＋a11q3＋a11q4.
化简得aa2121qq＝ 6＝26，4. 又 a1>0，故 q＝2，a1＝1.所以 an＝2n－1.
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或 等 差 数 列 ， 采 用 分 组 求 和 法 求 {an} 的 前 n 项 和．
例3 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝2(a11＋a12)，a3＋a4＋a5＝64(a13＋a14＋a15)． (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝(an＋a1n)2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
考向瞭望·把脉高考
考情分析
从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉 及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是 错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点， 题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合， 考查综合运用知识的能力．江苏省的数列题往往 设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力， 题目有一定的难度．
3．数列求和的关键在于数列通项公式的表达 形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪 种方法是这类题的解题决窍．
4．通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求 Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论．
失误防范
1．利用裂项相减法求和，裂项能否等价转化 及怎样相消易出错，为避免出错，在裂项时， 可检验一下；前n项和的展开式可以多列举几 项寻找“相消”的规律． 2．数列求和结果易化简出错，若使用方法不 只一个，可以分别求出其中一部分的结果，化 简后再整理，结果不一定最简，但要易于观察， 符合数学的习惯即可．
答案：n3＋n
和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法 求和，它是_等__差__数__列___求和公式的推广．
4．分组转化法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，即能分别求和， 然后再合并． 5．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相 消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：
习
•18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
·
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两式相加得 2Sn－1＝(n－1)·1，∴Sn－1＝n－2 1.
使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于 数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所 以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项 与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写 未被消去的项，未被消去的项有前后对称的 特点．实质上，正负项相消是此法的目的．
方法感悟
方法技巧
例4 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7 ＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝a2n－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
(1)nn1＋1＝_n1_－__n_＋_1_1_______.
(2)2n－112n＋1＝_12_(_2_n_1－__1_－__2_n_1＋__1_)_．
(3)
1 n＋k＋
n＋k－ n n＝______k_________.
思考感悟 裂项相消时的注意事项有哪些？
课前热身
1．数列2×1 4，4×1 6，6×1 8，…，2n21n＋2，… 的前 n 项和为________．
•14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。
双
•15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
基
•16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
研
•17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022
【名师点评】 错位相减法的运用并不困 难，其难点是运算的结果不易计算正确， 最后的结果，往往显得Βιβλιοθήκη 琐，因而整理化 简过程中要格外细心．
变式训练 3 在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝log2an·l1og2an＋1，n∈N*，求数列{bn} 的前 n 项和 Sn.
优化方案系列丛书 •11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
•12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
第5章 数 列
•13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022
【名师点评】 分组求和法要注意数列的特 征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列 求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要 注意的．
考点四 拆项、裂项求和法
1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消 后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将 通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系 数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．