【学习】高二数学暑假自主检测试题

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江苏省平潮高级中学2016年暑假自主学习测试卷
新高二数学试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸的相应位置上）1．已知集合，，，则▲．
2．已知幂函数的图象过点，则▲ ．
3．设函数，若f(a)＝4，则实数a＝▲．
4．函数的定义域为▲ ．
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，则四棱锥A-BB1D1D的体积为▲．6．若O为坐标原点，，，且，，则点C的坐标为▲ ．
7．若将函数的图象向左平移，个单位后所得图象关于轴对称，则▲．
8．已知直线l经过点A(－1,1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为▲．
9．已知奇函数是上的单调函数，且函数有且只有一个零点，则实数k的值是▲．
10. 已知直线的倾斜角为，则的取值范围为▲．
11．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是▲ ．
12．已知为锐角，满足，则▲ ．
13．设向量、是夹角为60°的两个单位向量，向量＝x·＋y·，(x、y为实数)．若△PMN是以点M 为直角顶点的直角三角形，则x－y的值为▲．
14．在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且，则实数的值为▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．）
15.（本小题满分14分）
已知集合．
（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，． 求证：⑴ 直线平面；
⑵ 平面平面．
17．（本小题满分14分）
在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足． （1）求∠B 的大小；
（2）若△ABC 的面积为，且b ＝，求a ＋c 的值．
18．（本小题满分16分）
已知二次函数2()
1f x ax bx 满足(1)0f ，且x R 时，()f x 的值域为[0,)．
（1）求()f x 的表达式； （2）设函数()
()2g x f x kx ，k R ．
①若()g x 在[2,2]x 时是单调函数，求实数k 的取值范围； ②若()g x 在[2,2]x 上的最小值min
()15g x ，求k 值．
19．（本小题满分16分）
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是6
ECF π
∠=, 点,E F 在直径AB 上，
且6
ABC π
∠=
．
（1）若13CE =，求AE 的长；
（2）设ACE α∠=, 求该空地种植果树的最大面积．
20．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上 一点(2,4)A ．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；
（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．
江苏省平潮高级中学暑假自主学习测试卷
新高二数学参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在．．．．．．．答题纸的．．．．相应位置上．．．．．） 1．{}3,7 2．3 3．－4或2 4．(0,2] 5．6 6．(12,4)- 7．4
π
8．3250x y -+= 9．1
4 10．3[0,][,)44
πππ⋃ 11．1a -≤或2a ≥ 12．12 13．1 14．2-或3
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸的指定区域．．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
y
x
O
M
A
15.（本小题满分14分）
解：{13}A x x =-<<…………………………2分
（1）当3m =时，2
{680}{24}B x x x x x =-+<=<<，…………………4分
∴{23}A B x x ⋂=<<．…………………6分
（2）2
2{210}{11}B x x mx m x m x m =-+-<=-<<+，…………………9分
由A B A ⋃=得B A ⊆所以，1113m m -≥-⎧⎨
+≤⎩，即0
2
m m ≥⎧⎨≤⎩，…………………13分
所以02m ≤≤．……………………………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴
又
111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴，11//DE AC ∴，又
11AC ⊂平面11A C F ，且
11DE AC F ⊄
//DE ∴平面11A C F ；…………………6分
（2）
111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C 111AA AC ∴⊥， 又1111AC A B ⊥且1
111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B 11AC ∴⊥平面11AA B B ，
又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥ 又
11A F B D ⊥，1DE
B D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，
1A F ∴⊥平面1B DE ，又
111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．………………14分
17．（本小题满分14分）
解：(1) 因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )·cos B ＝sin B cos C ，
即2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ．…………………4分 在△ABC 中，0<A <π，sin A >0，所以cos B ＝12．又0<B <π，故∠B ＝π
3．……………7分
(2) 因为△ABC 的面积为334，所以12ac sin B ＝33
4
，所以ac ＝3．…………………10分
因为b ＝3，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，所以a 2
＋c 2
－ac ＝3，即(a ＋c )2
－3ac ＝3．
所以(a ＋c )2
＝12，所以a ＋c ＝23．………………………………………………14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）由题意得：2
1
40
4a b a b
a ，得
1
2
a b ，所以2()21f x x x …………………4分
（2）①2()
2(1)1g x x k x ；
所以12k 或12k ，即1k 或3k ；………………………………8分
②当12k
即1k 时，min ()(2)4115g x g k ，得4k ；
当12k 即3k
时，min
()(2)9
415g x g k
，得6k ；
当2
12k 即13k 时，2min
()(1)1(1)15g x g k k ，得
3k
（舍）或5k
（舍）………………………………………………………14分
综上4k
或6k ………………………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
（1）由已知得ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，6
ABC π
∠=
，所以3
BAC π
∠=
，4AC =，
在ACE ∆中由余弦定理2222
cos CE AC AE ACAE A =+-，且CE =
所以213164AE AE =+-，解得1AE =或3AE =，………………………………4分 （2）因为2ACB π∠=
，6ECF π∠=
，所以ACE α∠=[0,]3
π
∈，
所以362
AFC A ACF πππ
ππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭，……………………………6分
在ACF ∆中由正弦定理得：
sin sin cos sin()2
CF AC AC AC A CFA πα
α===∠-， 所以23
cos CF α
=
，………8分 在ACE ∆中，由正弦定理得：
sin sin sin()
3
CE AC AC
A AEC πα==∠+， 所以23sin()
3
CE π
α=
+ ，……………………………………………………………10分
1312
sin 2sin()cos 2sin(2)333
ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++，…………………14分
因为[0,]3πα∈，所以233ππαπ+≤≤，所以0sin(2)13π
α+≤≤，
所以当sin(23
π
α+)=0时，ECF
S
取最大值为3 16分
20．（本小题满分16分）
（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2
2
26x y n n -+-=，
0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()22
6725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，
即圆N 的标准方程为()()2
2
611x y -+-=；…………………………………………………5分 （2）由题意得25OA =，2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离
2
12755
21
b b d -++=
=
+，
则()
2
225252255
b BC d +=-=-
，25BC =，即()
2
5225255
b +-
=，
解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；…………………………………10分
（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，()
2
224TA t =
-+，
又10PQ ≤,即
()
2
22410t -+≤，解得2221,2221t ⎡⎤∈-+⎣⎦
，
对于任意2221,2221t ⎡⎤∈-+⎣⎦
，欲使TA PQ =，
此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为2
254
TA -，
必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =， 因此对于任意2221,2221t ⎡∈-+⎣，均满足题意，
综上2221,2221t ⎡
∈-+⎣．…………………………………………………16分
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